Verbinden von Wärme und statistischen Definitionen von Entropie

Meine Frage:

Danke fürs Lesen.

Ich verstehe, dass, als Entropie zum ersten Mal definiert wurde, in einem Versuch zu erklären, welche Prozesse stattgefunden haben und welche nicht, sie wie folgt definiert wurde :

Δ S = Q T

Wenn ich die Definition von Entropie als die einem System zugeführte Wärme geteilt durch die Temperatur dieses Systems akzeptiere, habe ich die folgende Gleichung gesehen ...

D S = N C v ∗ D T T + N R ∗ D v v

...abgeleitet von Q = D U + W .

Hier ist ein Video, in dem sie es ableiten: https://www.youtube.com/watch?v=JidcDhDXH5I

Andererseits habe ich erfahren, dass Boltzmann entdeckt hat, dass die Entropie eines Systems definiert werden kann als...

S = k B l N ( W )

...Wo W ist die Gesamtzahl möglicher Mikrozustände des Systems.

Ich verstehe jedoch nicht ganz, wie die beiden Gleichungen zusammenhängen, und würde mich sehr über Hilfe freuen, die erste Gleichung mit Boltzmanns statistischer Interpretation in Beziehung zu setzen!

Danke!

Einige Gedanken bisher...

Ich habe gelernt, dass es zwei Arten von Entropie gibt: Volumenentropie und thermische Entropie.

Daher gibt es zwei Möglichkeiten, wie die Entropie zunehmen kann.

  1. Die thermische Entropie nimmt zu (es gibt mehr Möglichkeiten, die Energie auf die Teilchen zu verteilen), weil die innere Energie des Systems zunimmt.

    1. Die Volumenentropie nimmt zu (es gibt mehr Möglichkeiten, die Moleküle in einem größeren Volumen zu verteilen), weil ... nun, das Volumen zunimmt.

Zuerst zum Begriff auf der linken Seite:

N C v ∗ D T T = D U T

Das erklärt definitiv eine Zunahme der thermischen Entropie. Es bedeutet, dass wir für eine winzige Änderung der inneren Energie diese durch die aktuelle Temperatur dividieren müssen, um die Änderung der Entropie zu erhalten.

Aber warum ist das statistisch gesehen so (wie Boltzmann es erklärt hätte)?

Nun zum Begriff rechts:

N R ∗ D v v

Ich bin mir nicht sicher, was N R ∗ D v ist ... aber es muss etwas sein .

Warum ist es (wieder statistisch) so, dass eine winzige Volumenänderung (multipliziert mit N R ...ich bin mir nicht sicher warum) geteilt durch das aktuelle Volumen wäre gleich einer winzigen Änderung der Entropie?

Danke noch einmal.

Antworten (1)

In der statistischen Physik kann man Entropie definieren als

S = k B ln ⁡ Z + U T
Wo Z = ∑ ich e − E ich / k B T ist die Partitionsfunktion. Dies ist dasselbe wie F = U − T S wo die freie Helmholtz-Energie ist F = − k B T ln ⁡ Z . Dann mit P ich = 1 Z e − E ich / k B T und verwenden U = ∑ ich P ich E ich , es ist eine Frage einer einfachen Manipulation von Logarithmen, um das zu zeigen
S = − k B ∑ ich P ich ln ⁡ P ich .
Wenn alle Zustände zufällig gleich wahrscheinlich sind, P ich = 1 / W , dies reduziert sich auf S = k B ln ⁡ W .

Für ein ideales Gas wird Ihnen die erste Definition leicht geben

S = N ( R ln ⁡ v + C v ln ⁡ T + konst ) .

Beachten Sie zu Ihrer Frage zur Interpretation des Volumenbegriffs Folgendes N R D v v = D ( N R ln ⁡ v ) . Verdoppelt sich also beispielsweise das Volumen, so steigt die Entropie um N R ln ⁡ 2 = N k B ln ⁡ 2 , dh k B ln ⁡ 2 pro Molekül. Das ist genau das, was Sie erwarten würden k B ln ⁡ W : Sie verdoppeln W einmal für jedes Molekül, da sich die Zahl der möglichen Zustände verdoppelt.

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