Ableitung der Sommerfeld-Erweiterung durch Konturintegration (Le Bellac S. 277)

Question

Ableitung der Sommerfeld-Erweiterung durch Konturintegration (Le Bellac S. 277)

Physik
Fermionen
Analytizität
Temperatur
Statistische Mechanik
Dirac-Delta-Verteilungen

k-selectride

In Le Bellacs Buch über statistische Physik leitet er die Sommerfeld-Entwicklung durch ein Konturintegral ab.

Die Idee ist, Integrale des Typs zu erweitern $I(\beta)\equiv \int_{0}^{\infty}d\epsilon\, \frac{\varphi'(\epsilon)}{e^{\beta(\epsilon-\mu)}+1}$ . Teileweise integrieren und erweitern $\varphi(\epsilon)$

φ (ϵ) = \sum_{M = 0}^{\infty} \frac{(ϵ - μ)^{M}}{M!} (\frac{D^{M} φ}{D ϵ} |_{ϵ = μ})

$\varphi(\epsilon)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\epsilon-\mu)^{m}}{m!}\left(\frac{d ^{m}\varphi}{d \epsilon}\Bigg |_{\epsilon=\mu}\right)$

Nehmen Sie eine Änderung der zu schreibenden Variablen vor $I(\beta)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\beta^{-m}\varphi^{(m)(\mu)}}{m!}I_{m}$ Wo $I_{m}=\int_{-\infty}^{\infty}dx\, \frac{x^{m}e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}$ .

Die Idee dann, das auszuwerten $I_m$ ist das folgende Integral zu betrachten

J (P) = \int_{- \infty}^{\infty} D X \frac{e^{ich P X}}{(e^{X} + 1) (e^{- X} + 1)} = \sum_{M = 0}^{\infty} \frac{(ich P)^{M}}{M!} \int_{- \infty}^{\infty} D X \frac{X^{M}}{(e^{X} + 1) (e^{- X} + 1)} = \sum_{M = 0}^{\infty} \frac{(ich P)^{M}}{M!} {ICH}_{M}

$J(p)=\int_{-\infty}^{\infty}dx\, \frac{e^{ipx}}{(e^{x}+1)(e^{-x}+1)}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(ip)^{m}}{m!}\int_{-\infty}^{\infty}\, dx \frac{x^{m}}{(e^{x}+1)(e^{-x}+1)}= \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(ip)^{m}}{m!}I_{m}$

Integrieren $J(p)$ gibt $J(p)=\frac{2\pi pe^{-\pi p}}{1-e^{-2\pi p}}=1-\frac{1}{6}(\pi p)^2+\ldots$ somit,

ICH (β) = φ (μ) + \frac{π^{2}}{6} (k_{B} T)^{2} φ^{(2)} (μ) + Ö (k_{B} T^{4})

$I(\beta)= \varphi(\mu) + \frac{\pi^{2}}{6}(k_{B}T)^{2}\varphi^{(2)}(\mu)+O(k_{B}T^{4})$

So weit so gut, mein Problem kommt, wenn er die Erweiterung der Fermi-Dirac-Distribution selbst so schreibt

\frac{1}{e^{β (ϵ - μ)} + 1} ≃ Θ_{H} (μ - ϵ) - \frac{π^{2}}{6} (k_{B} T)^{2} δ^{'} (ϵ - μ) + Ö (k_{B} T^{4})

$\frac{1}{e^{\beta(\epsilon-\mu)}+1}\simeq \Theta_{H}(\mu-\epsilon)-\frac{\pi^{2}}{6}(k_{B}T)^{2}\delta'(\epsilon-\mu)+O(k_{B}T^{4})$

was unter einem Integral gelten soll. Es scheint die Erweiterung der erzeugenden Funktion nachzuahmen, zumindest was die Vorzeichen betrifft. Betrachten wir die Definition der Sommerfeld-Erweiterung aus Wikipedia, so haben wir eine Formel in der Form

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{H (ε)}{e^{β (ε - μ)} + 1} D ε = \int_{- \infty}^{μ} H (ε) D ε + \frac{π^{2}}{6} {(\frac{1}{β})}^{2} H^{'} (μ) + Ö {(\frac{1}{β μ})}^{4}

$\int_{-\infty}^\infty \frac{H(\varepsilon)}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1}\,\mathrm{d}\varepsilon = \int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon + \frac{\pi^2}{6}\left(\frac{1}{\beta}\right)^2H^\prime(\mu) + \mathrm{O} \left(\frac{1}{\beta\mu}\right)^4$

Wenn wir Le Bellacs Form ausprobieren,

ICH (β) ≃ \int_{0}^{\infty} D ϵ φ^{'} (ϵ) [Θ_{H} (μ - ϵ) - \frac{π^{2}}{6} (k_{B} T)^{2} δ^{'} (ϵ - μ) + Ö (k_{B} T^{4})] = φ (μ) - \frac{π^{2}}{6} (k_{B} T)^{2} \underset{K}{\underset{⏟}{\int_{0}^{\infty} D ϵ φ^{'} (ϵ) δ^{'} (ϵ - μ)}}

$I(\beta)\simeq\int_{0}^{\infty}d\epsilon\, \varphi'(\epsilon)\left[\Theta_{H}(\mu-\epsilon)-\frac{\pi^{2}}{6}(k_{B}T)^{2}\delta'(\epsilon-\mu)+O(k_{B}T^{4}) \right] \\ =\varphi(\mu)-\frac{\pi^{2}}{6}(k_{B}T)^{2}\underbrace{\int_{0}^{\infty}d\epsilon\, \varphi'(\epsilon)\delta'(\epsilon-\mu)}_{K}$

aber integrieren $K$ durch Teile gibt

K = {[δ (ϵ - μ) φ^{'} (ϵ)]}_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} D ϵ φ^{″} (ϵ) δ (ϵ - μ) = - φ^{″} (μ)

$K=\left[\delta(\epsilon-\mu)\varphi'(\epsilon) \right]_{0}^{\infty}- \int_{0}^{\infty}d\epsilon\, \varphi''(\epsilon)\delta(\epsilon-\mu)=-\varphi''(\mu)$

Die Vorzeichen stimmen also, und das negative Vorzeichen ist wahrscheinlich kein Tippfehler. Andererseits stünde die nächste Amtszeit im Ausbau $+\frac{7\pi^4}{360}(k_{B}T)^{4}\delta^{(3)}(\epsilon-\mu)$ was beim Integrieren ein negatives Vorzeichen annehmen würde.

Das alternierende Verhalten der Vorzeichen ist, soweit ich das beurteilen kann, auf die imaginäre Einheit zurückzuführen, die in der Exponentialfunktion für das Konturintegral enthalten war. Ein sehr ähnlicher Ansatz wird auf S. 255 der folgenden Notizen , außer dass es keine imaginäre Einheit in der Exponentialfunktion gibt. Auch der Ausbau soll nur weiter betrieben werden $\varphi$ anstatt die Fermi-Dirac-Verteilung tatsächlich auf klein zu korrigieren $T$ .

Meine Fragen lauten wie folgt:

Sind die von Le Bellac angegebenen Korrekturen der Fermi-Dirac-Verteilung für alle Ordnungen korrekt? Sie scheinen für die Terme 0. und 1. Ordnung zu funktionieren.
Unter der Annahme, dass (1) richtig ist, woher „wissen“ wir oder was ist die Begründung dafür, dass die Reihenentwicklung der erzeugenden Funktion die Korrekturen der Fermi-Dirac-Verteilung liefern würde? Denn es schien mir, dass die erzeugende Funktion nur die zu bestimmen war $I_m$ Koeffizienten.

Antworten (1)

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QMechaniker · Answer 1

I) Vorläufe. Lassen Sie uns zunächst ausdrücklich die Sommerfeld-Erweiterung zu allen Bestellungen erwähnen . Lassen Sie zu diesem Zweck

\begin{matrix} (1) & B (X) := \frac{X}{e^{X} - 1} = \sum_{M = 0}^{\infty} \frac{B_{M}}{M!} X^{M} = 1 - \frac{X}{2} + \frac{X^{2}}{12} - \frac{X^{4}}{720} + \frac{X^{6}}{30240} + Ö (X^{8}) \end{matrix}

$\tag{1} B(x)~:=~\frac{x}{e^x-1}~=~\sum_{m=0}^{\infty}\frac{B_m}{m!}x^m~=~1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}-\frac{x^4}{720}+\frac{x^6}{30240}+{\cal O}(x^8)\qquad$

sei die erzeugende Funktion für die Bernoulli-Zahlen $^1$ . Lassen

\hat{A} (X) := \frac{X / 2}{Sünde \frac{X}{2}} = 2 B (\frac{X}{2}) - B (X) = \sum_{M = 0}^{\infty} \frac{{\hat{A}}_{M}}{M!} X^{M} = \hat{A} (- X)

$\widehat{A}(x)~:=~\frac{x/2}{\sinh\frac{x}{2}}~=~2B(\frac{x}{2})-B(x)~=~\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\widehat{A}_m}{m!}x^m = \widehat{A}(-x)$

\begin{matrix} (2) & = 1 - \frac{X^{2}}{24} + \frac{7 X^{4}}{5760} - \frac{31 X^{6}}{967680} + Ö (X^{8}) \end{matrix}

$\tag{2} ~=~1-\frac{x^2}{24}+\frac{7x^4}{5760}-\frac{31x^6}{967680}+{\cal O}(x^8)$

seien die sogenannten $A$ -Roof-Funktion mit den Koeffizienten

\begin{matrix} (3) & {\hat{A}}_{M} := (2^{1 - M} - 1) B_{M}, M \in N_{0}, \end{matrix}

$\tag{3} \widehat{A}_m~:=~(2^{1-m}-1)B_m, \qquad m~\in~\mathbb{N}_0,$

in Form der Bernoulli-Zahlen angegeben. Lassen

\begin{matrix} (4) & F (ε) := \frac{1}{e^{β ε} + 1} \end{matrix}

$\tag{4} f(\varepsilon)~:=~\frac{1}{e^{\beta\varepsilon}+1}$

sei die nackte Fermi-Dirac-Verteilung ohne das chemische Potential $\mu$ . In dieser Antwort werden wir aus technischen Gründen mit (minus) der Ableitung arbeiten

\begin{matrix} (5) & - F^{'} (ε) = \frac{β}{4 {cosch}^{2} \frac{β ε}{2}} > 0, \end{matrix}

$\tag{5} -f^{\prime}(\varepsilon) ~=~\frac{\beta}{4\cosh^2 \frac{\beta\varepsilon}{2}}~>~0,$

weil im Gegensatz zur Fermi-Dirac-Verteilung $f(\varepsilon)$ selbst, die Ableitung $f^{\prime}(\varepsilon)$ wird exponentiell unterdrückt für $\varepsilon \to -\infty$ . (Als zusätzlichen Bonus das Derivat $f^{\prime}(\varepsilon)=f^{\prime}(-\varepsilon)$ zufällig eine gerade Funktion.)

II) Das Sommerfeld-Funktional. Definieren Sie das Sommerfeld-Funktional als

\begin{matrix} (6) & ICH [Φ] := - \int_{R} D ε F^{'} (ε - μ) Φ (ε) . \end{matrix}

$\tag{6} I[\Phi] ~:=~-\int_{\mathbb{R}} \! d\varepsilon~f^{\prime}(\varepsilon-\mu) \Phi(\varepsilon).$

Energien $\varepsilon$ mit $|\varepsilon-\mu|\gg 1/\beta$ tragen effektiv nicht zum Integral (6) bei. Hier $\Phi:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ ist eine echte analytische Testfunktion

\begin{matrix} (7) & Φ (ε) = \sum_{M = 0}^{\infty} \frac{Φ^{(M)} (μ)}{M!} (ε - μ)^{M} . \end{matrix}

$\tag{7} \Phi(\varepsilon)~=~\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\Phi^{(m)}(\mu)}{m!}(\varepsilon-\mu)^m.$

Beachten Sie, dass Analytizität (7) eine mathematische Abstraktion ist, die in tatsächlichen physikalischen Anwendungen fast nie zu rechtfertigen ist. Nehmen wir weiter an, dass der Integrand (6) die Funktion hat

\begin{matrix} (8) & ε \mapsto - F^{'} (ε) \sum_{M = 0}^{\infty} \frac{| Φ^{(M)} (μ) |}{M!} | ε - μ |^{M} \geq 0 \end{matrix}

$\tag{8}\varepsilon~\mapsto~ -f^{\prime}(\varepsilon) \sum_{m=0}^{\infty}\frac{|\Phi^{(m)}(\mu)|}{m!}|\varepsilon-\mu|^m~\geq~0$

als Lebesgue-integrierbarer Majorant, so dass (nach dem Lebesgue-dominierten Konvergenzsatz ) die Reihenfolge der Integration und Summation in Gl. (6) kann ausgetauscht werden

\begin{matrix} (9) & ICH [Φ] = - \sum_{M = 0}^{\infty} \frac{Φ^{(M)} (μ)}{M!} \int_{R} D ε (ε - μ)^{M} F^{'} (ε - μ) . \end{matrix}

$\tag{9} I[\Phi]~=~-\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\Phi^{(m)}(\mu)}{m!}\int_{\mathbb{R}} \! d\varepsilon~ (\varepsilon-\mu)^m f^{\prime}(\varepsilon-\mu) .$

Die Existenz eines Lebesgue-integrierbaren Majoranten (8) ist eine relativ milde technische Annahme, die in tatsächlichen physikalischen Anwendungen fast immer erfüllt ist.

III) Die Sommerfeld-Erweiterung. Die Integrale in Gl. (9) sind wohldefiniert und können entweder durch reelle oder komplexe Methoden berechnet werden, vgl. Ref. 1, 2 und 3. Die Sommerfeld-Erweiterung zu allen Bestellungen wird

\begin{matrix} (10) & ICH [Φ] = \sum_{M = 0}^{\infty} {(\frac{2 π ich}{β})}^{M} \frac{{\hat{A}}_{M}}{M!} Φ^{(M)} (μ), \end{matrix}

$\tag{10} I[\Phi]~=~\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{2\pi i}{\beta}\right)^{m} \frac{\widehat{A}_m}{m!}\Phi^{(m)}(\mu),$

Wir betrachten Gl. (10) als Hauptergebnis.

IV) Es ist verlockend, Gl. (10) als

\begin{matrix} (11) & ICH [Φ] = \hat{A} (\frac{2 π ich}{β} \frac{D}{D μ}) Φ (μ), \end{matrix}

$\tag{11}I[\Phi] ~=~ \widehat{A}\left(\frac{2\pi i}{\beta} \frac{d}{d\mu}\right) \Phi(\mu),$

oder als

\begin{matrix} (12) & - F^{'} (ε - μ) = \sum_{M = 0}^{\infty} {(\frac{2 π}{ich β})}^{M} \frac{{\hat{A}}_{M}}{M!} δ^{(M)} (ε - μ) . \end{matrix}

$\tag{12} -f^{\prime}(\varepsilon-\mu) ~=~ \sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{2\pi }{i\beta}\right)^{m} \frac{\widehat{A}_m}{m!}\delta^{(m)}(\varepsilon-\mu).$

Eine formale Integration von Gl. (12) wrt. $\varepsilon$ Erträge

\begin{matrix} (13) & F (ε - μ) = θ (μ - ε) - \sum_{M = 1}^{\infty} {(\frac{2 π}{ich β})}^{M} \frac{{\hat{A}}_{M}}{M!} δ^{(M - 1)} (ε - μ) . \end{matrix}

$\tag{13} f(\varepsilon-\mu) ~=~\theta(\mu-\varepsilon)- \sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{2\pi}{i\beta}\right)^{m} \frac{\widehat{A}_m}{m!}\delta^{(m-1)}(\varepsilon-\mu).$

Gl. (12) und (13) sind streng genommen mathematischer Unsinn. Sie sollten nur als Gedächtnisstütze betrachtet werden, um sich an Gl. (10).

V) Lassen Sie uns abschließend die Fragen von OP ansprechen. Obwohl auf der einen Seite die Sommerfeld-Entwicklung (10) für alle Ordnungen mathematisch genau ist (wenn sie auf die obige reelle analytische Testfunktion angewendet wird). $\Phi$ ), andererseits in physikalischen Anwendungen die Testfunktion $\Phi$ oft nicht wirklich analytisch.

Beispiel: $I[\phi]$ könnte die Anzahl der Teilchen (pro Volumen) eines Systems und die Ableitung sein $\Phi^{\prime}(\varepsilon)$ könnte die Dichte sein $g(\varepsilon)$ von Energieniveaus (pro Volumen). Es sind keine körperlichen Gründe zu erwarten $\Phi$ um echt analytisch zu sein.

Daher vertrauen wir in physikalischen Anwendungen nur den ersten paar Termen in der Taylorentwicklung (7) mit $|\varepsilon-\mu|\ll \mu$ . Deshalb die effektive Unterstützung von $f^{\prime}(\varepsilon-\mu)$ im Integral (6) sollte auf dieses Intervall beschränkt werden. Dies ist im Niedertemperaturbereich gewährleistet $1/\beta\ll\mu$ . In dieser niedrigen Temperaturgrenze $1/\beta\ll\mu$ , führen die ersten paar Terme in der Taylor-Entwicklung (7) effektiv zu den ersten paar Termen in der Sommerfeld-Entwicklung (10).

Verweise:

NW Ashcroft und ND Mermin, Solid State Physics, 1976, Anhang C, S. 760–761.
M. Le Bellac, F. Mortessagne und GG Batrouni, Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Thermodynamics, 2004, Abschnitt 5.2.2, p. 276-279.
Daniel Arovas, Lecture Notes on Thermodynamics and Statistical Mechanics, 2012, Abschnitt 5.8.5, p. 255-257. Die pdf-Datei ist hier verfügbar .

--

$^1$ Hüten Sie sich vor leicht unterschiedlichen Definitionen von Bernoulli-Zahlen in der Literatur.

Danke für die Antwort. Ich hatte nur eine Frage, bevor ich deine als Antwort markiere. Wie kommst du auf Gleichung 12? Ich hätte die Form wahrscheinlich durch Raten und Überprüfen ableiten können, aber ich habe mich gefragt, ob mehr dahinter steckt.
Gl. (12) folgt formal durch Umschreiben von Gl. (10) mit Deltafunktionen, partielles Integrieren und schließlich Entfernen der Testfunktion $\Phi$ auf beiden Seiten. Fragst du wirklich nach Gl. (10)?
Nein, meine Schwierigkeit liegt in dem Schritt, den Sie gerade beschrieben haben, dem Umschreiben mit Delta-Funktionen. Macht es einen Ersatz des Typs $\phi^{(m)}(\mu) \to \int \phi^{(m)}(\epsilon) \delta(\epsilon- \mu$ ?
Ja. Konkret müssen wir davon ausgehen, dass der Test funktioniert $\Phi\in{\cal S}(\mathbb{R})$ gehört zum Schwartzraum ${\cal S}(\mathbb{R})$ .
Letzte Frage, bei der Integration von 12 nach 13, sind die Grenzen $\epsilon \to \infty$ ? Auf meiner Seite bekomme ich $f(\epsilon-\mu)=-\int_{\epsilon}^{\infty}d\epsilon \delta(\epsilon-\mu)-\sum...=-\theta(\mu-\epsilon)-\sum...$ . Ich bin mir nicht sicher, wo mein Fehler liegt, um mich mit den Zeichen in 13 in Einklang zu bringen.
$f(\varepsilon-\mu)-f(-\infty)=-\int_{-\infty}^{\varepsilon}\! d\varepsilon^{\prime} ~ \delta(\varepsilon^{\prime}-\mu)+\ldots$ , oder gleichwertig, $f(\varepsilon-\mu)-f(\infty)=+\int_{\varepsilon}^{\infty}\!d\varepsilon^{\prime} ~\delta(\varepsilon^{\prime}-\mu)+\ldots$
Angesichts dessen, was ich im OP gepostet habe. ich habe das $I(\beta)=-\int_0^\infty d\varepsilon\, \phi(\varepsilon)f'(\varepsilon-\mu)$ , und ähnlich $I(\beta)=\sum_{m=0}\frac{\beta^{-m}}{m!}\phi^{(m)}(\mu)I_m=\sum_{m=0}(-k_BT)^{m}\frac{I_m}{m!}\int_0^\infty d\varepsilon \phi(\varepsilon)\delta^{(m)}(\varepsilon-\mu)$ Vorschlagen, dass $-f'(\varepsilon-\mu)=\sum_{m=0}(-\frac{1}{\beta})^m\frac{I_m}{m!}\delta^{(m)}( \varepsilon -\mu)$ , aber die $I_m$ sind streng positiv, also habe ich auch nach der Integration nicht das richtige Vorzeichen, es sei denn, ich habe beim Integrieren von Ableitungen von Delta-Funktionen etwas übersehen
Das heißt, meine Erweiterung wäre $f(\varepsilon-\mu) = \theta(\mu -\varepsilon) + \sum_{m=1}(\frac{-1}{\beta})^{m} \frac{I_m}{m!}\delta^{(m-1)}(\varepsilon-\mu)=\theta(\mu -\varepsilon)+ \frac{\pi^2}{6}(k_BT)^2\delta'(\varepsilon-\mu)+\ldots$

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