Fermi-Dirac-Statistik vs. Maxwell-Boltzmann-Statistik bei der atomaren Anregung von Lasersystemen

In Lasern erhalten wir, während wir Einsteins Koeffizienten mit der Energiedichte (die von der Frequenz abhängt) in Beziehung setzen,

$$U(\nu)=\frac{\frac{B}{A}}{e^\frac{h\nu}{k_{B}T}-1}$$ Wo $B$ist der Koeffizient der spontanen Emission und $A$ist der Koeffizient der stimulierten Emission.

Wir beziehen diese Energiedichte weiter auf die Plancksche Formel der Energiedichte der Schwarzkörperstrahlung, die ist

$$U(\nu)=\frac{\frac{8(\pi)h\nu^{3}}{c^{3}}}{e^\frac{h\nu}{k_{B}T}-1}$$ Während wir dies alles tun, nehmen wir eine Besetzungsinversion (für ein Zweizustandssystem) an und nehmen an, dass sich die Atome des Gases in einer Maxwell-Boltzmannschen Weise verhalten. Dies würde zutreffen, weil angeregte Atome der Maxwell-Boltzmann-Statistik folgen. Der Grundzustand habe eine Energie $E_{1}$und eine Bevölkerung $N_{1}$und der erste angeregte Zustand haben eine Energie $E_{2}$und eine Bevölkerung $N_{2}$, wir beziehen sie dann durch $$\frac{N_{2}}{N_{1}}=e^{\frac{-h\nu}{k_{B}T}}$$ Meine Frage ist folgende: Die Anregung kann verschiedene Formen haben, atomar, thermisch usw.; aber wenn wir von Atomanregung sprechen, müssen wir uns mit den angeregten Elektronen innerhalb der Atome befassen und fortan das Konzept des Spins einführen, da Elektronen Fermionen sind, die dem Pauli-Ausschlussprinzip gehorchen. Wie können wir also nun die Population von Elektronen in Grund- und angeregten Zuständen in Beziehung setzen? in einer MB-ian Weise. Müssen wir hier nicht die Fermi-Dirac-Statistik verwenden? Wenn wir FD-Statistiken verwenden, auf welche Energiedichte würden wir dann die Energiedichte der Koeffizienten beziehen (weil wir sie nicht auf die Energiedichte der Schwarzkörperstrahlung von Planck beziehen können)?

Ich habe unten meine Überlegungen:

$$\frac{N_{2}}{N_{1}}=\frac{1}{e^{\frac{-E_{f}+E}{k_{B}T}}+1}$$

Wo

$$\frac{-E_{f}+E}{k_{B}T}=\frac{-\left[\frac{3n}{\pi}\right]^{\frac{2}{3}}\frac{h^{2}}{8m}+h\nu}{k_{B}T}$$

Wo ich eine Funktion definiere$\gamma$was mit der Frequenz variiert wie

$$\gamma(\nu)=-\left[\frac{3n}{\pi}\right]^{\frac{2}{3}}\frac{h}{8m}+\nu$$

$$U(\nu)=\frac{B_{21}}{A_{21}}\frac{1}{\frac{A_{12}}{A_{21}}}\frac{1}{e^{\frac{\gamma(\nu)h}{k_{B}T}}+1}$$

$$\frac{A_{12}}{A_{21}}=\alpha$$ Multiplizieren Sie nun Zähler und Nenner mit $\alpha$Ich erhielt eine Gleichung, die ich benutzte, um sie mit der Energiedichte der BB-Strahlung von Planck zu vergleichen.

$$U(\nu)=\frac{B_{21}}{A_{21}}\alpha\frac{1}{\alpha^{2}e^{\frac{\gamma(\nu)h}{k_{B}T}}-{[-\alpha^{2}+\alpha}]}$$

Nun durch Vergleich der obigen Formel mit der BB-Strahlungsenergiedichte, die ich erhalten habe$\frac{B_{21}}{A_{12}}\alpha=\frac{8(\pi)h\nu^{3}}{c^{3}}$Und$-\alpha^{2}+\alpha=1$Diese quadratische Gleichung ergibt zwei reelle Wurzeln und durch Vergleich$\alpha^{2}=1$wir erhalten insgesamt drei mögliche Werte von alpha,Ie

Fall eins:$\alpha= 1.618$

Fall zwei:$\alpha=-0.618$

Fall drei:$\alpha=1$

Wenn ich dies nun im Ausdruck der Energiedichte verwende, habe ich Let erhalten$\frac{B_{21}}{A_{21}}=\beta$

Fall eins:

$$U(\nu)\approx\beta\frac{1}{e^{\frac{\gamma(\nu)h}{k_{B}T}+0.5}+e^{-0.5}}$$

Fall zwei:

$$U(\nu)\approx\beta\frac{1}{e^{\frac{\gamma(\nu)h}{k_{B}T}-0.5}+e^{0.5}}$$

Fall drei:

$$U(\nu)=\beta\frac{1}{e^{\frac{\gamma(\nu)h}{k_{B}T}}}$$ Einführung eines anderen Begriffs $\epsilon$, das ist das chemische Potential des Systems, das wir beobachten, $$\gamma(\nu)=-E_{f}+\nu-\epsilon$$ Fall drei ändert sich wie $$U(\nu)=\beta\frac{1}{e^{\frac{(-E_{f}+\nu-\epsilon)h}{k_{B}T}}}$$ Nun ist die Näherung der Taylor-Reihe von e^x $$e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...\approx1+x$$ Bei niedrigen Frequenzen $$\frac{\gamma(\nu)h}{k_{B}T}<<1$$ $$e^{\frac{(-\left[\frac{3n}{\pi}\right]^{\frac{2}{3}}\frac{h}{8m}+\nu- \epsilon)h}{k_{B}T}}\approx\frac{(-E_{f}+\nu-\epsilon)h}{k_{B}T }+1$$ Dadurch wird die Energiedichte

$$U(\nu)\approx\beta\frac{k_{B}T}{(-E_{f}+\nu-\epsilon)h+k_{B}T}$$

Vergleicht man dies mit der BB-Strahlungsenergiedichte des Plancks,

$$\frac{h\nu}{k_{B}T}+1=\frac{(-E_{f}+\nu-\epsilon)h}{k_{B}T }+1$$ Daher sage ich das $$E_{f}\alpha\frac{-∂U}{∂N}$$ wo der letzte Begriff ist $\epsilon$Dies gilt, da beim Millikan-Potential (chemisches Potential eines Elektrons) eine ähnliche Abhängigkeit zwischen Fermi-Energie und chemischem Potential besteht.