ϕ4ϕ4{\phi}^4 Beschreibung des Ising-Ferromagneten

Angenommen, die Kopplung zwischen zwei Spins ist$C_{i,j}<0$, dann ist die klassische Zustandssumme gegeben durch

$$Z=\sum_{\{s_i\}}e^{\sum_{i,j}s_iK_{ij}s_j+h\sum_{i}s_i}$$ where $K_{ij}=-\beta C_{ij}$ and $h=\beta H$ After Hubbard-Stratonovich transformation and some simple manipulations we get $$Z=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{det}(4\pi K)}}\int D\phi e^{-\sum_{i,j}\phi_iK_{ij}\phi_j+h\sum_{i}\phi_i+\sum_{i}\mathrm{ln}(\mathrm{cosh}(2\sum_j K_{ij}\phi_j))}$$ wobei die Spinkonfigurationen summiert wurden.

Beim Versuch, niedrig aufzutragen$T$Störung,$K_{ij}$ist groß und positiv. Dann wird normalerweise einfach davon ausgegangen, dass starke Schwankungen unterdrückt werden, oder genauer gesagt wird davon ausgegangen$|\phi_i|<<1$und dass das räumliche Profil des Feldes glatt ist. Basierend auf diesen Annahmen wird dann die Standard-Landau-Mittelfeldentwicklung mit a${\phi}^4$Begriff erhalten werden kann.

Meine Frage ist: Nach der Transformation die Variablen$\phi_i$sollen zufällig schwankende Zahlen sein, die beliebige Werte annehmen können. Allerdings die Matrix$K$ist offensichtlich nicht positiv definit und daher etwas groß$\phi$erheblich zur Integration beitragen können, anstatt unterdrückt zu werden. Darüber hinaus scheint es auf der Grundlage desselben Arguments keinen Grund dafür zu geben, dass das fluktuierende Feld glatt ist. Wo geht meine Argumentation schief?