Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Temperaturabhängigkeit des Widerstands und der Fermienergie in Metallen?

Die Tatsache, dass die Leitfähigkeit$\sigma=\frac{1}{\rho}$einer Metallwaage wie$\propto\frac{1}{T}$beruht auf elastischer Elektron-Phonon-Streuung , dh der Coulombschen Wechselwirkung zwischen der durch ein Phonon und ein Elektron induzierten Ladungsdichteschwankung .

In einer inkohärenten Transporttheorie von Elektronen in Festkörpern (dh Korrekturen aufgrund von Interferenzen wie schwacher Lokalisierung vermeiden ) wird die Leitfähigkeit durch das Drude-Modell gut beschrieben :

$$\sigma=\frac{ne^2\tau}{m}$$ Wo $\tau$ist die typische Zeitskala für das Elektron, um zu "kollidieren" und seinen Impuls zu ändern, $n$ist die Elektronendichte. Es gibt verschiedene Prozesse, die bestimmen $\tau$, eine ist die elastische Elektron-Phonon-Streuung, aber es gibt auch die inelastische Elektron-Phonon-Streuung, die Elektron-Elektron-Streuung und auch die Streuung an statischen Verunreinigungen usw. Alle diese Prozesse haben eine unterschiedliche Skalierung in Bezug auf die Temperatur $T$.

Es stellt sich heraus, dass bei hoher Temperatur (Raumtemperatur) die elastische Elektron-Phonon-Streuung dominiert. Es kann gezeigt werden, dass:

$$\tau_{\text{el-ph}}=\frac{\hbar}{k_B T}$$ die nicht von der Fermi-Energie abhängt. Allerdings der Fermi-Impuls $k_F$und die Elektronendichte $n$sind miteinander verbunden durch: $$k_F^3=3\pi^2n\quad\text{i.e.}\quad n=\frac{1}{3\pi^2}\left(\frac{2mE_F}{\hbar^2}\right)^{3/2}$$ Dann lautet der spezifische Widerstand bei Raumtemperatur: $$\rho=\frac{3\pi^2m\,k_BT}{\hbar e^2}\left(\frac{\hbar^2}{2mE_F}\right)^{3/2}\propto T$$

Aus meiner Sicht ist es eine unabhängige Sache. Die Abhängigkeit des Widerstands von der Temperatur wird durch die Nernst-Einstein-Gleichung bestimmt.

$$R=\frac{l k_B T}{S D Z^2 e^2 C}$$ Wo $T$-ist eine Widerstandstemperatur, $k_B$ist eine Boltzmann-Konstante, l- Länge, S - Querschnittsfläche, $D$- Diffusionskoeffizient, $C$ist eine Ladungsträgerdichte, $Z$eine Menge an elektrischem Ladungsträger ist, und $e$ist eine Elektronenladung. Diese Gleichung folgt aus der kinetischen Theorie. Aus Sicht der Fermi-Energie ist keine Bandlücke erforderlich (dh es handelt sich um Metall).