Verwirrung über die Dualitätstransformation im 1+1D-Ising-Modell in einem transversalen Feld

Das ist eine sehr gute Frage. Die gleiche Operatoralgebra impliziert das nicht$H(J,h)$und$H(h,J)$haben das gleiche Spektrum. Wie in Dominics Antwort erwähnt, ist sogar die Entartung des Grundzustands unter dem Austausch von unterschiedlich$J$und$h$($J\gg h$: symmetriegebrochene zweifache Entartung und$J\ll h$einzigartigen Grundzustand), daher ist es unmöglich, eine Eins-zu-eins-Abbildung zwischen den Eigenzuständen von herzustellen$H(J,h)$und$H(h,J)$. Man muss bedenken, dass die Dualitätstransformation nur die lokale Dynamik bewahrt, aber die globalen (topologischen) Eigenschaften verloren gehen . Diese Aussage wird in höheren Dimensionen schärfer. Wie in 2D, die$\mathbb{Z}_2$Die Gittereichtheorie ist dual zum Quanten-Ising-Modell, jedoch geht die topologische Ordnung der Eichtheorie (am deutlichsten die topologieabhängige Entartung des Grundzustands) im dualen Ising-Modell vollständig verloren, obwohl es eine schöne Übereinstimmung zwischen ihren lokalen Anregungen gibt (z. B. Ladung und Sicht).

Trotzdem ist die Dualität immer noch sehr nützlich, wenn wir uns nur auf die lokalen Erregungen konzentrieren. Viele wichtige Probleme wie Niederenergiedynamik, Phasenübergänge und Kritikalität beziehen sich nur auf lokale Anregungen, dann kann uns die Dualitätstransformation sehr helfen, diese Dinge zu verstehen.

Um die Dualität im 1D-Transversalfeld-Ising-Modell zu verstehen, ist es besser, nur lokal zu schauen und zu versuchen, die lokale Entsprechung der Volumenanregungen herauszufinden, ohne sich zu sehr um die globalen Eigenschaften wie Randbedingungen, unendliche Strings, Grundzustand zu kümmern Entartung usw. Die Idee der Dualität ist eigentlich einfach: Man kann eine 1D-Ising-Kette entweder durch die Spin- Variablen beschreiben, die an jeder Stelle leben, oder durch die Knick - Variablen, die an jedem Glied leben. Ein Knick in der Spin-Kette ist ein Glied, über dem die Ising-Spins entgegengesetzt sind. Dann jeder Link$l$kann nur zwei mögliche Zustände haben:

$$\tau_l^z=\left\{\begin{array}{cc}+1 & \text{unkinked,}\\ -1 & \text{kinked,}\end{array}\right.$$

Wenn wir alle die Knickkonfiguration angegeben haben$\tau_l^z$auf jedem Link$l$, können wir tatsächlich die Spinkonfiguration bestimmen$\sigma_i^z$auf jeder Seite$i$, mit nur einem zusätzlichen Wissen über den ganz linken Spin$\sigma_0^z$. Der Trick besteht darin, die Knickkonfigurationen von links nach rechts zu akkumulieren.

$$\sigma_i^z=\sigma_0^z\prod_{0<l<i}\tau_l^z.$$ Die Spinkonfiguration wird also eindeutig durch die Knickkonfiguration bestimmt (bis zum Spin ganz links). Wenn wir die Anzahl der Zustände im Hilbert-Raum zählen, wird die Hilbert-Raum-Dimension sein $2^{N_\text{site}}$in der Spinnsprache und $2^{N_\text{link}}$in der Knicksprache, wo $N_\text{site}$und $N_\text{link}$sind die Anzahl der Sites bzw. Links, die auf dem 1D-Gitter gleich sind (abgesehen von der Site ganz links), sodass die Dimension des Hilbert-Raums in beiden Sprachen tatsächlich gleich ist. In diesem Sinne können wir sagen, dass die Entsprechung zwischen den Spin- und den Kink-Beschreibungen fast eins zu eins ist (insbesondere im thermodynamischen Limit), obwohl es einige Komplikationen geben könnte, die sich aus der äußersten linken Grenze ergeben (was jedoch der Fall ist in der Dualitätstransformation zu ignorieren, da die Dualität sich nur um lokale Eigenschaften kümmert).

Jetzt können wir das ursprüngliche Transversalfeld-Ising-Modell umformulieren

$$H=-J\sum_{i}\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z-h\sum_{i}\sigma_i^x,$$ in der Knicksprache. Es ist unschwer zu erkennen, dass die Kopplung zwischen den Ising-Spins nur das chemische Potential für den Knick ist $$-J\sum_{i}\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z=-J\sum_l\tau_l^z,$$ was im Wesentlichen aus der physikalischen Bedeutung der Knickvariable folgt $\tau_l^z$. Zugegebenermaßen kann diese Gleichheit an der Grenze, wo einige Seiten oder Links fehlen, ein wenig in Schwierigkeiten geraten, aber sie wirken sich nicht auf die lokalen Eigenschaften tief in der Masse aus, also ignorieren wir sie einfach. Die Übersetzung des transversalen Feldbegriffs ist komplizierter. In der Spinnensprache $\sigma_i^x$Der Bediener dreht einfach vor Ort den Spin um $i$, was der gleichzeitigen Erstellung oder Vernichtung von zwei Kinks auf den Links neben dieser Website oder dem Verschieben eines bestehenden Knicks über die Website entsprechen würde.

In jedem Fall würde das Umdrehen eines Spins dem gleichzeitigen Ändern der Knickvariablen entsprechen$\tau^z$auf benachbarte Links, die durch durchgeführt werden können$\tau^x_l\tau^x_{l+1}$, st

$$-h\sum_i\sigma_i^x=-h\sum_{l}\tau^x_l\tau^x_{l+1}.$$ Offensichtlich die Beziehung zwischen $\tau^x$und $\tau^z$ist genau das gleiche wie unser vertrautes $2\times 2$Pauli-Matrizen $\sigma^x$und $\sigma^z$, st $\tau^x|\tau^z=+1\rangle=|\tau^z=-1\rangle$und $\tau^x|\tau^z=-1\rangle=|\tau^z=+1\rangle$, und die algebraischen Beziehungen wie $\{\tau^x,\tau^z\}=0$sind nur Konsequenzen, die folgen. Wie das OP betont hat, können die algebraischen Beziehungen nicht garantieren, dass die Darstellung grundlegend ist, es ist tatsächlich das obige physikalische Bild, das die Darstellung der Knickoperatoren garantiert.

Wenn wir die obigen Ergebnisse zusammenfügen, gelangen wir zum Hamilton-Operator in Bezug auf die Knickoperatoren$\tau_l^x$und$\tau_l^z$

$$H=-h\sum_{l}\tau^x_l\tau^x_{l+1}-J\sum_l\tau_l^z.$$ Man mag sich eine Weile gefragt haben, warum ich das Symbol immer wieder verwende $\tau$Anstatt von $\mu$im Originalbeitrag. Jetzt ist das klar $\tau$ist noch einen Schritt davon entfernt $\mu$durch eine Basistransformation an jedem Link, der neu definiert $\tau^x=\mu^z$und $\tau^z=\mu^x$(Umbenennen $x\leftrightarrow z$). Eine solche einheitliche Transformation wird keine Physik ändern, sondern nur die Standardform des Transversalfeld-Ising-Modells zurückbringen, um die Dualitätstransformation zu erreichen. $$H=-h\sum_{l}\mu^z_l\mu^z_{l+1}-J\sum_l\mu_l^x.$$ Also die Dualität zwischen $J$und $h$ist jetzt offensichtlich, aber was ist die physikalische Bedeutung von $\mu_l^z$in der Tat? Um diese Frage zu beantworten, sollte man zunächst verstehen, dass die Beziehung zwischen $\tau^z$und $\tau^x$ist genau so zwischen der Koordinate und dem Impuls. Sie sind verwandt durch a $\mathbb{Z}_2$Version der Fourier-Transformation. Wenn wir die beiden Zustände von behandeln $|\tau^z=\pm 1\rangle$als Eigenzustände mit zwei Positionen in einem System mit zwei Orten, dann die $\tau^x$Eigenzustände $|\tau^z=+1\rangle\pm|\tau^z=-1\rangle$sind nichts anderes als die Impuls-Eigenzustände mit Impuls = $0$und $\pi$beziehungsweise. In diesem Sinne können wir sagen $\mu_l^z\equiv\tau_l^x$ist der konjugierte Impuls der Knickvariablen $\tau_l^z$auf jedem Link. Tatsächlich ist dieses Konzept so wichtig, dass die Leute einen Namen dafür erfinden $\mu^z$, dh die Vison- Variable, st $$\mu_l^z=\left\{\begin{array}{cc}+1 & \text{vison off,}\\ -1 & \text{vison on.}\end{array}\right.$$ Wenn wir sagen, dass das Vison der konjugierte Impuls des Knicks ist, meinen wir, dass, wenn ein Vison auf einem Link sitzt, die geknickten und die nicht geknickten Konfigurationen über diesem Link durch ein Minuszeichen in der Wellenfunktion unterschieden werden. Im Gegensatz zum Knick, der nur eine andere Möglichkeit ist, die Spinkonfiguration zu codieren, hat das Vison keine entsprechende Spinkonfiguration. Tatsächlich ist die Vison-Konfiguration im relativen Vorzeichen zwischen verschiedenen Spin-Konfigurationen in der Wellenfunktion kodiert. Es stellt die Wechselbeziehung zwischen den Spinkonfigurationen außer irgendeiner bestimmten Spinkonfiguration selbst dar, oder mit anderen Worten, die Quantenverschränkung in der Spinwellenfunktion.

Mathematisch ist dies daran zu erkennen, dass der Vison-Operator$\mu_l^z$ist bezüglich des Spin-Operators nicht lokal

$$\mu_l^z=\prod_{i<l}\sigma_i^x=\tau_l^x,$$ wodurch alle Drehungen nach links gedreht werden, um einen Knick zu erzeugen (oder zu vernichten). Lassen Sie uns nun mehr über diese unendliche Kette von diskutieren $\sigma^x$ganz nach links strecken. Eine erste Frage ist, ob wir diese Saite richtig "messen" können. Dies kann durch Anwendung des Operators erfolgen $S\equiv\prod_i\sigma_i^x$, wie $$\mu_l^z\to S\mu_l^z= \prod_{i}\sigma_i^x\prod_{i<l}\sigma_i^x = \prod_{i>l}\sigma_i^x.$$ Man kann den Betreiber sehen $S$dreht einfach alle Spins im System um, was bedeutet, dass es tatsächlich die globale Ising-Symmetrietransformation für die Spins implementiert $\sigma_i^z\to-\sigma_i^z$. Da $S$ist eine Symmetrie des Hamiltonoperators (as $[S,H]=0$), die Eigenzustände von $H$werden ins selbe gespuckt ( $S=+1$) und die ungeraden ( $S=-1$) Sektoren. Im geraden Sektor können wir die Saite nach rechts messen; während im ungeraden Sektor das Messen der Saite nach rechts a auslöst $\mathbb{Z}_2$messen die Transformation des Sehens $\mu_l^z\to-\mu_l^z$. In Kombination mit der Dickentransformation des Visons kann die Vison-Schnur also tatsächlich unsichtbar gemacht werden. Was ist dann die Bedeutung dieser Visionszeichenkette? Erinnere dich daran $\mu_l^z=\tau_l^x$ist auch der Erstellungs-/Vernichtungsoperator des Knicks. Also Anwenden einer Zeichenfolge von $\sigma^x$Operatoren erzeugen tatsächlich zwei Knicke an beiden Enden der Zeichenfolge $$\tau_{l_1}^x\tau_{l_2}^x=\prod_{l_1<i<l_2}\sigma_i^x.$$ Der Knick ist eine lokale Erregung des Systems (in der $J>h$Phase), so dass es als Teilchen betrachtet werden kann. Aus dieser Perspektive können wir entstehende Teilchen an den Enden der Schnur sehen, was genau eines der zentralen Themen des Levin-Wen-Modells und der Schnur-Netz-Kondensation ist.

Tatsächlich gibt es eine sehr interessante Beziehung zwischen dem 1D-Transversalfeld-Ising-Modell und dem 2D-Levin-Wen-Modell (mit$\mathbb{Z}_2$topologische Ordnung), dass Ersteres als synthetische Verschiebung des Letzteren durch Anyon-Kondensation betrachtet werden kann, was in einem Artikel ( arXiv:1208.4109 ) beschrieben wurde, den ich mit meinem Freund Chao-Ming und Prof. Wen verfasst habe. Wir haben im Wesentlichen gezeigt, dass das 1D-Transversalfeld-Ising-Modell im 2D entstehen kann$\mathbb{Z}_2$topologisches geordnetes System als eine Art Liniendefekt, bei dem ein bestimmter Typ der Strings zwischen den Anyons in 2D auf natürliche Weise zu den Vison-Strings entlang der entstehenden 1D-Ising-Kette abgebaut wird. In diesem Sinne ist die unsichtbare Schnur im Ising-Modell also wirklich die gleiche unsichtbare Schnur im Schnur-Netz-Kondensat (aber nur auf das 1D-System beschränkt).

1) Im Allgemeinen kann eine Algebra viele Darstellungen haben. Wenn Sie in diesem Fall jedoch davon ausgehen, dass es einen eindeutigen gemeinsamen +1-Eigenzustand der gibt $\sigma_i$'s, die die Darstellung eindeutig bestimmt. [Alle anderen Zustände können aus diesem Zustand heraus gefunden werden, indem man Produkte von anwendet$\sigma_i^x$dazu. Und von der Anti-commtation von$\sigma_i^x$und$\sigma_i^z$du kennst das beim bewerben$\sigma_i^x$zu einem Zustand muss das Vorzeichen des Eigenwerts von umkehren$\sigma_i^z$]. Und wie Sie leicht überprüfen können, sind sowohl die$\sigma_i^z$und die$\mu_i^z$haben tatsächlich einen eindeutigen gemeinsamen +1-Eigenzustand, sodass der Hilbert-Raum dieselbe Struktur hat und es eine einheitliche Transformation zwischen den beiden Darstellungen gibt.

Woher also die paradoxe Viele-zu-Eins-Natur der Transformation, die Sie in Frage 2) hervorheben? Das Problem ist, dass Sie ein unendliches System betrachten. Der Hilbert-Raum eines unendlichen Systems ist nicht wirklich wohldefiniert (er hätte unzählige Dimensionen!). Viel besser ist es, ein endliches System zu betrachten. Dann müssen Sie die Randbedingungen festlegen. Die natürlichste Wahl sind periodische Randbedingungen, dh Spin 1 und Spin N+1 identifizieren. Aber das führt zu etwas Unbeholfenheit bezüglich der Definition der Dualitätstransformation – wie geht man mit den Strings von um$\sigma^x$'s, die in der Definition von bis ins Unendliche gehen sollen$\mu^z$? Es gibt Möglichkeiten, es zum Laufen zu bringen, aber am Ende müssen Sie zwei verschiedene Sektoren des Hilbert-Raums getrennt betrachten, und es ist ein Durcheinander.

Machen wir stattdessen offene Randbedingungen – halten Sie einfach die Enden der Kette getrennt und lassen Sie die Wechselwirkungsterme im Hamilton-Operator weg$\sigma_0^z \sigma_1^z$und$\sigma_N^z \sigma_{N+1}^z$das würde die Enden der Kette mit etwas koppeln, das nicht da ist. Dann können wir die Dualitätstransformation mehr oder weniger so lassen, mit Ausnahme von$\mu_N^x = \sigma_N^z \sigma_{N+1}^z$. Das funktioniert nicht, weil es keinen (N+1)-ten Spin gibt. Lassen Sie uns stattdessen einfach definieren$\mu^x_N= \sigma_N^z$. Sie können überprüfen, ob dies die Algebra nicht beeinflusst. Es löst jedoch das Problem, das Sie bezüglich der Viele-zu-Eins-Zuordnungen angesprochen haben. Betrachten Sie, wie in der Frage, den Staat $|\rightarrow \rangle_{\mu}$. Dann ist der einzige Zustand, dem es entspricht, in der$\sigma$Vertretung ist$|\uparrow\uparrow\rangle_{\sigma}$. Der Staat$|\downarrow \downarrow \rangle_{\sigma}$, andererseits im Gegensatz zur naiven unendlichen Systemanalyse) nun genügt$\mu^x_N = -1$, daher ist es nicht dasselbe wie$|\rightarrow \rangle_{\mu}$.

Zusammenfassend war die Uneinheitlichkeit, die Sie gesehen haben, einfach eine Manifestation der Tatsache, dass das unendliche System nicht wohldefiniert ist. Stattdessen löst die Betrachtung eines endlichen Systems die Schwierigkeiten.

Es gibt noch eine andere interessante Betrachtungsweise dieses Problems: H(J,h) hat zwei entartete Grundzustände, wenn$J \gg h$(spontane Symmetriebrechung) und nur einem Grundzustand, wenn$h\gg J$. Daher war es unvermeidlich, dass ein Versuch, eine exakte Abbildung zu erstellen, die J und h vertauscht, auf Schwierigkeiten stoßen würde. Der Grund, warum alles funktioniert, wenn wir zu einem endlichen System mit Randbedingungen wie beschrieben gehen, bleibt dem Leser als Übung überlassen.