Es ist wichtig zu beachten, dass es zwei verschiedene Randbedingungen gibt, die erste ist die Randbedingung für das reale Spinmodell, die zweite für das Fermionenmodell. Tatsächlich kann es für ein reales Spinmodell mit einer bestimmten Randbedingung unterschiedliche entsprechende Randbedingungen für den Fermionenoperator geben. Wenn wir in der Realität eine Simulation durchführen, müssen wir uns sorgfältig mit diesem "Problem der Randbedingungen" befassen.

Jordan-Wigher-Transformation

Für ein Ising-Modell mit Spin-$\frac{1}{2}$, können wir es über die Jordan-Wigher-Transformation in ein spinloses Fermion-Modell verwandeln:

$$\sigma_i^z=1-c_i^\dagger c_i$$ Das heißt, wir ordnen den Spin-up-Zustand dem leeren Zustand und den Spin-down-Zustand dem besetzten Zustand zu: $$|\uparrow\rangle \longmapsto |0\rangle\\|\downarrow\rangle \longmapsto |1\rangle$$ Naiv gesprochen können wir den Erzeugungs- und Vernichtungsoperator für Fermion mit dem Leiteroperator für Spin vereinheitlichen:$c_i^\dagger\sim \sigma_i^-$,$c_i\sim \sigma_i^+$. Der Fermion-Operator folgt jedoch der Anti-Kommunikationsbeziehung und der Spin-Operator verhält sich wie ein Hardcore-Boson, das der Kommunikationsbeziehung folgt. Um diese beiden unterschiedlichen Kommunikationsbeziehungen zu vereinheitlichen, müssen wir eine zusätzliche Zeichenfolge einführen: $$\sigma_i^+=P_{i-1}c_i\\\sigma_i^-=P_{i-1}c_i^\dagger$$ Wo$P_{i}$ist der sogenannte String-Operator, der definiert ist als $$P_{i}\prod_{j=1}^i(1-c_j^\dagger c_j)$$ . Der Effekt des String-Operators besteht darin, die Parität, gerade oder ungerade, der Anzahl der Fermionen zu messen, die sich auf der linken Seite der i-Site befinden.

Der Einfachheit halber drehen wir die Achse:

$$\sigma_z \longmapsto \sigma_x\\\sigma_x \longmapsto -\sigma_z$$

Offene Randbedingung (OBC)

Für das reale Spinsystem, dh Ising-Modell, mit offener Randbedingung:

$$H_I=-J\sum_{i=1}^N g\sigma_i^x-J\sum_i^{N-1}\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z$$ Wir können es über den Fermion-Operator erneut ausdrücken: $$H_I=-Jg\sum_{i=1}^N (1-2c_i^\dagger c_i)-J\sum_i^{N-1}P_{i-1}(c_i^\dagger+c_i)P_i(c_{i+1}^\dagger+c_{i+1}) \\=-Jg\sum_{i=1}^N (1-2c_i^\dagger c_i)-J\sum_i^{N-1}P_{i-1}(c_i^\dagger+c_i)P_{i-1}(1-2n_i)(c_{i+1}^\dagger+c_{i+1}) \\=-Jg\sum_{i=1}^N (1-2c_i^\dagger c_i)-J\sum_i^{N-1}(c_i^\dagger+c_i)(1-2n_i)(c_{i+1}^\dagger+c_{i+1}) \\=-Jg\sum_{i=1}^N (1-2c_i^\dagger c_i)-J\sum_i^{N-1}(c_i^\dagger-c_i)(c_{i+1}^\dagger+c_{i+1})$$

Wir können feststellen, dass der OBC des realen Spinmodells mit dem OBC des spinlosen Fermionmodells nach der Jordan-Wigher-Transformation übereinstimmt.

Periodische Randbedingung (PBC)

Für das reale Spinsystem, dh Ising-Modell, mit periodischer Randbedingung :

$$\sigma_{N+1}=\sigma_1$$ Es gibt einen zusätzlichen Begriff: $$-J\sigma_N^z\sigma_{N+1}^z \\=-J\sigma_N^z\sigma_{1}^z \\=-JP_{N-1}(c_N^{\dagger}+c_N)(c_1^{\dagger}+c_1) \\=-JP_{N}(c_N^{\dagger}-c_N)(c_1^{\dagger}+c_1)$$ Die$P_N$Operator messen die Parität der Anzahl der Fermionen im gesamten System. Es ist wichtig zu beachten, dass für das gesamte System mit ungerader Fermionenzahl$P_N=1$, können wir diesen zusätzlichen Term mit dem normalen Ausdruck des Fermionenmodells über vereinheitlichen$c^\dagger_{N+1}=c_i^\dagger$, was das PBC für Fermion-Modell bedeutet. Andererseits gilt für das Gesamtsystem mit gerader Fermionenzahl$P_N=-1$, können wir diesen zusätzlichen Term mit dem normalen Ausdruck des Fermionenmodells über vereinheitlichen$c^\dagger_{N+1}=-c_i^\dagger$, was das APBC für Fermion-Modell bedeutet. Als Ergebnis hat für das reale Spinsystem mit periodischer Randbedingung die entsprechende periodische Randbedingung des Fermionenmodells zwei Situationen: - PBC: wenn die Gesamtzahl von Fermionen ungerade ist, folgt das spinlose Fermion PBC. Die Wirkung von PBC wird den Wert des Momentums einschränken. Nämlich nach der Fourier-Transformation,$c_{k}=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=1}^{N} c_{j} \exp (-i k j)$, Wo$k=2 \pi n / N$, schränkt die PBC ein$n$kann nur ganzzahlig sein. - APBC: Wenn die Gesamtzahl der Fermionen gerade ist, folgt das spinlose Fermion auf APBC. was einschränkt$n$kann nur halbzahlig sein.

Als Ergebnis kann der spinlose Fermion-Hamiltonoperator im Impulsraum geschrieben werden:

$$H=J \sum_{k}\left[2(g-\cos k) c_{k}^{\dagger} c_{k}+i \sin k\left(c_{-k}^{\dagger} c_{k}^{\dagger}+c_{-k} c_{k}\right)-g\right]$$ wo der Wert von$k$hängt von der Randbedingung ab.

Nach der Bogoliubov-Transformation:

$$\gamma_{k}=u_{k} c_{k}-i v_{k} c_{-k}^{\dagger}$$ können wir den endgültigen diagonalen Hamilton-Operator erhalten: $$H_{I}=\sum_{k} \varepsilon_{k}\left(\gamma_{k}^{\dagger} \gamma_{k}-1 / 2\right)$$ wo die Streuung ist: $$\varepsilon_{k}=2 J\left(1+g^{2}-2 g \cos k\right)^{1 / 2}$$

Vereinheitlichende Randbedingung

Nun wird ein Widerspruch entstehen. Für ein echtes Spin-$\frac{1}{2}$Modell mit PBC, vorausgesetzt, es gibt$N$Websites, die Zahl der Staat ist$2^N$. Für das spinlose Fermion mit bestimmten Randbedingungen gilt jedoch$k$haben$N$Werte, also gibt es total$2^N$Zustände für eine bestimmte Randbedingung. Mit anderen Worten, wenn wir zwei Randbedingungen berücksichtigen, dh PBC und APBC für das Fermionenmodell, gibt es sie$2\times2^N$Staaten, was bedeutet, dass die Hälfte davon überflüssig ist.

Tatsächlich sind nicht alle Zustände, die aus dem Fermionenmodell für eine bestimmte Randbedingung berechnet wurden, physikalisch, wir müssen nur die Zustände mit der richtigen Fermionenzahl nehmen. Zum Beispiel, wenn wir wählen$k=2 \pi n / N, n\in Z$, was die PBC erfüllt, sollte die Anzahl der gesamten Fermionen ungerade sein, daher müssen wir alle Zustände mit gerader Fermionenzahl weglassen. Als Ergebnis müssen wir für jede Randbedingung nur die Hälfte davon nehmen.

Bis jetzt haben wir diskutiert, wie mit Randbedingungsproblemen für reale Spinmodelle mit PBC umzugehen ist. Für reale Spin-Modelle mit APBC sind die Methoden ähnlich.