Produktregel für Teilsummen ZN=(Z1)NZN=(Z1)NZ_N=(Z_1)^N

Für das 1D-Ising-Modell mit dem Hamilton-Operator

H = C Ö N S T . − μ H ' ∑ ich S ich z

wir können die kanonische Partitionssumme schreiben als

Z N = ∑ { S ich z } N e − β μ H ∑ ich S ich z = ∑ { S ich z } N ∏ ich e − β μ H S ich z

für die wir dann später verwendet haben

Z N = ( Z 1 ) N
mit der Einzelteilchenverteilungssumme Z 1

Wir sind in der Vorlesung nicht weiter auf den Beweis eingegangen, und er ist mir nicht sofort ersichtlich.

Mein Versuch:

Für das klassische ideale Gas könnte ich den Multinomialsatz verwenden

( X 1 + X 2 + ⋯ + X N ) k = ∑ k 1 + ⋯ + k N = k k ! k 1 ! … k N !   X 1 k 1 X 2 k 2 … X N k N

aber dafür der Faktor k ! k 1 ! … k N ! müsste sein 1 .

Wie beweise ich am besten Z N = ( Z 1 ) N ?

Antworten (2)

In der Tat, Z N = ( Z 1 ) N gilt für alle nicht wechselwirkenden Systeme mit identischen Komponenten, wobei der Hamilton-Operator geschrieben werden kann als H = H 1 + . . . + H N Wo H k kommt nur auf den zustand an k -tes Teilchen (/spin/...) und alle H k sind gleich.

Das kann man so sehen.

Z N = ∑ S T A T e S   S 1 . . . S N e − β H = ∑ S 1 ∑ S 2 . . . ∑ S N e − β ( H 1 + . . . + H N ) = ∑ S 1 e − β ( H 1 ) ∑ S 2 e − β ( H 2 ) . . . ∑ S N e − β ( H N ) = ( ∑ S 1 e − β H 1 ) N = Z 1 N

Hinweis: Bei identischen Partikeln ein Faktor 1 / N ! zusätzlich erforderlich sein.

Zunächst einmal ist die letzte Manipulation der Partitionssumme nicht korrekt. Sie können keinen globalen Faktor herausziehen e − β μ H .

Um Ihnen einen Hinweis zu geben: Es könnte hilfreich sein, zu schreiben

∑ { S ich } = ∏ ich ∑ S ich = ± 1 = ∑ S 1 = ± 1 ∑ S 2 = ± 1 ⋯ ∑ S N = ± 1
und nutzen Sie aus, dass der Boltzmann-Faktor faktorisiert.

Produktregel für Teilsummen ZN=(Z1)NZN=(Z1)NZ_N=(Z_1)^N
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