Der Energiebeitrag einer Frequenz bei endlicher Temperatur

In der statistischen Mechanik, zumindest wenn Sie den Spin der Teilchen, mit denen Sie es zu tun haben, ignorieren können, die Besetzungszahl eines Quantenzustands (d. h. die Anzahl der Teilchen in dem Zustand oder die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen in dem Zustand gefunden wird). ) ist proportional zu$e^{-E/kT}$, Wo$E$ist die Energie des Staates. Wenn Sie einen harmonischen Oszillator bei Temperatur haben$T$, die Zustände mit Energien hat$(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$, das heißt die durchschnittlich im Oszillator gespeicherte Energie ist

$$\begin{align} \langle E\rangle &= \sum_n P(n) E_n \\ &= \frac{1}{Z}\sum_n e^{-(n + 1/2)\hbar\omega/kT}\biggl(n + \frac{1}{2}\biggr)\hbar\omega \\ &= \frac{1}{Z}\frac{\hbar\omega}{2}e^{\hbar\omega/2kT}\frac{e^{\hbar\omega/kT} + 1}{e^{\hbar\omega/kT} - 1} \end{align}$$ Die Partitionsfunktion $Z$ist nur ein Normalisierungsfaktor, um die Anforderung zu erfüllen, dass $\sum_n P(n) = 1$; es klappt $$Z = \sum_n e^{-(n+1/2)\hbar\omega/kT} = \frac{e^{\hbar\omega/2kT}}{e^{\hbar\omega/kT} - 1}$$ und wenn Sie das in den Ausdruck for einfügen $\langle E\rangle$, das findest du $$\langle E\rangle = \frac{\hbar\omega}{2}\coth\frac{\hbar\omega}{2kT}$$

Körperlich die$\coth$Der Faktor kommt von der Tatsache, dass in einer Population von harmonischen Oszillatoren bei einer Temperatur ungleich Null (beachten Sie, dass in dem Artikel "endlich" mit "ungleich Null" gemeint ist) einige von ihnen auf höhere Energiezustände als ihren Grundzustand angeregt werden, und wird somit mehr als die Grundlinie haben$\frac{\hbar\omega}{2}$von Energie.