Warum hat jede Mode des elektromagnetischen Feldes zwei Freiheitsgrade?

Bei der Ableitung des Rayleigh-Jeans-Gesetzes wird unter Verwendung des Equipartition-Theorems die Anzahl der Moden pro Frequenzeinheit pro Volumeneinheit multipliziert mit k T , was bedeutet, dass jeder elektromagnetische Resonanzmodus zwei Freiheitsgrade hat.

Ich habe sie als die Amplitude des elektrischen Felds und die Amplitude des magnetischen Felds betrachtet, aber beide sind im Vakuum proportional.

Ich habe auch in Betracht gezogen, dass es die zwei möglichen Polarisationen jedes Modus sind, aber das wird bereits berücksichtigt, wenn die Modi gezählt werden.

Bist du sicher, dass es schon abgerechnet wurde?

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Das ist eine nette Frage, die in vielen Lehrbüchern beschönigt wird! Beginnen wir mit dem elektromagnetischen Feld Hamiltonian,

H ∼ 1 2 ( E 2 + B 2 ) .
Naiv würde man das sagen E Und B sind die beiden Freiheitsgrade, die den Faktor zwei ergeben. Aber wie du schon bemerkt hast, das ist nicht richtig. Die Felder E Und B sind keine konjugierten Phasenraumvariablen, daher geht die Argumentation nicht in Analogie zum harmonischen Oszillator durch
H ∼ 1 2 ( P 2 + ω 2 X 2 ) .
In der Tat E Und B sind stattdessen proportional, wie Sie bemerkt haben. Ein weiterer Hinweis darauf, dass etwas nicht stimmt, ist, dass es eine geben sollte ω 2 vor einem der Begriffe.

Eine Mode des elektromagnetischen Feldes ist wirklich analog zu einem harmonischen Oszillator, aber die Argumentation erfordert mehr Sorgfalt. Wir notieren das E ist der konjugierte Impuls zu A , und schreiben Sie den Hamiltonoperator in Bezug auf diese Variablen um. Wir gebrauchen B = ∇ × A und arbeiten in Coulomb-Eichung ∇ ⋅ A = 0 , wodurch eine der Polarisationen entfernt wird. Alle Konstanten löschen, nach Teilen integrieren und verwenden ω 2 = k 2 , wir finden

H ∼ 1 2 ( E 2 + ω 2 A 2 ) .
Dies ist in der Tat ein harmonischer Oszillator, der den gewünschten Faktor von ergibt 2 .

Erstaunliche Antwort, aber wie gehen wir beim Beweisen vor? E Ist A 's konjugierter Impuls?
@ user140323 Ich empfehle, mit dem Lagrange zu beginnen, L = − 1 4 F μ v F μ v , wo es eindeutig ist, dass A μ ist die „allgemeine Position“. Kannst du dann zeigen E ist der konjugierte Impuls zu A durch direkte Differenzierung. Ab dem "Hamiltonian" ist es kniffliger E 2 + B 2 weil es nicht in den richtigen Variablen ist - aber ich nehme an, Sie können es zurückentwickeln, indem Sie fordern, dass Maxwells Gleichungen Hamiltons Gleichungen sind.
Auch mögliche Fallstricke: Es gibt kein konjugiertes Momentum für A 0 weil Elektromagnetismus seltsam ist. Ich habe dieses Problem umgangen, indem ich direkt zum Coulomb-Messgerät gegangen bin.

Der klassische Gleichverteilungssatz für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator ergibt eine mittlere kinetische Energie von k 2 und eine mittlere potentielle Energie k 2 so dass die gesamte mittlere Energie ist k . Analog können die elektromagnetischen Moden als harmonische Oszillatoren betrachtet werden, die eine mittlere Gesamtenergie (kinetisch und potentiell) von haben k .

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