Diskrete Hohlraumstrahlung vs. kontinuierliche Schwarzkörperstrahlung, Verletzung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik?

Das Plancksche Gesetz besagt, dass Lichtemission ist

Sagen wir das$I_\nu$ist die Energie, die von der Oberfläche des Schwarzkörpers pro Flächeneinheit pro in pro Raumwinkeleinheit pro Zeiteinheit emittiert wird.

Wenn der schwarze Körper in den freien leeren Raum emittiert, wissen wir, dass die Dichte der Photonenzustände ist,

Und weil Photonen Bosonen sind$f(\hbar\omega, T)$ist die Bose-Einstein-Verteilung.

So werden zwei in den freien Raum strahlende Schwarzkörper-Hohlräume schließlich miteinander ins Gleichgewicht kommen, indem sie Schwarzkörperstrahlung über alle Wellenlängen austauschen.

Wenn Sie nun einen Filter zwischen die Hohlräume setzen, der nur Energie mit einer einzelnen Photonenfrequenz durchlässt.

Das ändert nichts Grundlegendes, denn sie können immer noch Energie austauschen und werden irgendwann die gleiche Temperatur erreichen.

Es ist wie die Änderung der Zustandsdichte mit einer Delta-Funktion,

Zunächst einige experimentelle Tatsachen aus der Beobachtung. Wenn Sie durch ein kleines Loch in einen Hohlraum bei der Temperatur T schauen, sehen Sie das kontinuierliche Planck-Spektrum, wie es durch seine Formel gegeben ist. 1) Sie werden keine Variationen aufgrund von Moden des Hohlraums sehen. 2) Auch der Emissionsgrad der Kavitätswände spielt keine Rolle. Das Material der Wände (Ruß, Silber, Kupfer, Holz oder Zuckerwatte) macht für das sichtbare Planck-Spektrum keinen Unterschied. Wie kann das sein?

1. Die Frequenzdichte von Resonanzmoden des Hohlraums wurden bei der Ableitung des Planck-Spektrums verwendet. Aber kein Hohlraum hat Wände mit Nullwiderstand. Bei Wänden mit einem gewissen spezifischen Widerstand können stehende Wellen jeder Frequenz die Randbedingungen erfüllen. Die Schwänze dieser "nicht resonanten" Wellen erstrecken sich in die Wände und zerstreuen ihre Energie schnell im Widerstand der Wände. Diese Wellen dauern vielleicht nur eine Schwingung und haben im Vergleich zu den Resonanzmoden ein sehr niedriges Q. Betrachten wir nun die stehende Welle als die Summe der Reflexionen einer ebenen Welle, die zwischen gegenüberliegenden Wänden hin und her springt. Bei nicht resonanten Frequenzen macht dieses Photon vielleicht eine Reise durch den Hohlraum, bevor es absorbiert wird. Bei einer Resonanzfrequenz macht das Photon 1000 Fahrten durch den Hohlraum, bevor es absorbiert wird. Jedoch, da Emissionsgrad = Absorptionsgrad, emittieren die thermisch angeregten Oszillatoren in den Wänden 1000-mal mehr Photonen/s für die Nicht-Resonanz- gegenüber der Resonanzfrequenz! Wenn wir nun ein Volumen in der Mitte des Hohlraums betrachten, sehen wir die gleiche durchschnittliche Photonendichte von 1000 Photonen x 1 Trip oder 1 Photon x 1000 Trips. Die Moden des Resonators machen keinen Unterschied in der Photonenzahldichte bei unterschiedlichen Frequenzen.

2. Wir könnten das Hin- und Herspringen-Argument wieder mit Kirchoffs Emissionsgrad = Absorptionsgrad verwenden, aber lassen Sie uns sein thermodynamisches Argument anwenden. Zwei Hohlräume aus unterschiedlichen Materialien sind durch ein kleines Loch mit einem frequenzdurchlässigen Filter verbunden$\nu \pm \Delta \nu$. Die beiden Hohlräume haben beide die Temperatur T erreicht. Die Leistung, die den Filter in beiden Richtungen passiert, muss gleich sein, oder wir könnten den unausgeglichenen Energiefluss verwenden, um Arbeit zu verrichten. Dies würde gegen den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik verstoßen, indem aus zwei Wärmebädern bei gleicher Temperatur nutzbare Arbeit gewonnen würde. Kirchhoff schloss daraus, dass es ein universelles Spektrum unabhängig vom Hohlraummaterial gibt, das aus allen Hohlräumen hervorgeht, obwohl es Planck überlassen blieb, die tatsächliche Funktion abzuleiten. Daraus lässt sich auch schließen, dass die Kavitäten aufgrund von Moden keine Peaks aufweisen können. Andernfalls könnte das Filter so eingestellt werden, dass es eine Spitze von der ersten Kavität durchlässt, die die zweite Kavität nicht hatte. Strom würde wiederum von einem Hohlraum mit der Temperatur T ausgehen und einen Hohlraum mit der gleichen Temperatur T erwärmen, was gegen das zweite Gesetz verstößt.

Die Lösung der ursprünglichen Frage der Operation lautet also, dass das Schwarzkörperspektrum in Hohlräumen universell ist und keine Modi zeigt. Dies bedeutet nicht, dass Hohlraummoden nicht durch eine Antenne im Hohlraum angeregt werden können, die Leistung von einem Sinuswellengenerator sendet. Auch das Schwarzkörperspektrum eines Strahlers steht nicht im thermischen Gleichgewicht mit seinem$4\pi$umgibt, wird durch den Emissionsgrad seines Materials modifiziert.

Ich denke, Ihre Argumentation und Schlussfolgerung sind richtig. Ein Hohlraum, der nur bei diskreten Frequenzen strahlt, verhält sich nicht wie ein Schwarzkörperstrahler und gibt mehr Energie ab, als er bei diesen diskreten Frequenzen empfängt.

Es ist die Annahme, die falsch ist - die Idee, dass ein perfekt reflektierender Hohlraum mit Gleichgewichtsstrahlung bei diskreten Frequenzen strahlt. Gleichgewichtsstrahlung bedeutet, dass alle Frequenzen möglich sind, nicht nur einige diskrete.

Die Idee, dass es nur Wellen diskreter Frequenzen innerhalb des Hohlraums gibt, stammt wahrscheinlich von der üblichen Ableitung der Rayleigh-Jeans- oder Planck-Formel, bei der das Feld in Fourier-Reihen erweitert wird.

Fourier-Reihen haben die Eigenschaft, dass sie die Positionsfunktion ausdrücken$x$, nur Sinuswellen mit ganzzahligen Vielfachen einer Grundwellenzahl$\frac{\pi}{L}$vorhanden sind, wo$L$ist die Größe des Bereichs, in dem wir versuchen, die Funktion als Fourier-Reihe auszudrücken. Dieser Bereich wird normalerweise als das gesamte Innere des Hohlraums angesehen, aber nichts hindert uns daran, eine größere Box mit Seitenlänge zu nehmen$2L$.

Bei doppelt so großen Dimensionen des integrierenden Bereichs erhalten wir doppelt so dichte Wellenzahlen und doppelt so dichte entsprechende Frequenzen$\omega_{nlm} = \frac{\pi c\sqrt{n^2+l^2+m^2} }{2L}$. Anstelle einer Grundfrequenz (tiefste) bei$\frac{\pi c\sqrt{3}}{L}$wir erhalten Grundfrequenz bei$\frac{\pi c\sqrt{3}}{2L}$, was niedriger ist. Siehe, Strahlung mit niedrigerer Frequenz erschien, nur weil ein anderer Integrationsbereich verwendet wurde!

Es ist klar, dass die Position von Singularitäten und ihre Stärken ein Artefakt des bestimmten endlichen Integrationsbereichs in dem Fourier-Reihenverfahren sind. Sie sind für die verwendete Region korrekt, aber es gibt unendlich viele andere Möglichkeiten.

Wenn wir die Fourier-Integralentwicklung anstelle der Fourier-Reihenentwicklung verwenden, gibt es keine$L$in den Formeln und keine Diskretion in der Fourier-Amplitude$\tilde{E}_x(k,l,m)$als Funktion kontinuierlicher Wellenzahlen$k,l,m$. Das alles wird zu einzigartigen kontinuierlichen Größen.

Daher unterscheidet sich die Gleichgewichtsstrahlung in einem perfekt reflektierenden Hohlraum (außer in der Nähe der Hohlraumwände) physikalisch nicht von der eines größeren Hohlraums oder der Strahlung eines Hohlraums, dessen Wände aus schwarzen Körpern bei derselben Temperatur bestehen.