Plancks Katastrophe?

Bei der Ableitung der Planckschen Schwarzkörperformel wird die Anzahldichte der Normalmoden (pro Frequenzeinheit † ) gefunden wird, gegeben durch

N ( ω ) = v π 2 C 3 ω 2 ,
Wo v ist das Volumen des schwarzen Körpers. Dann die durchschnittliche Energie eines Frequenzmodus ω Mit Hilfe der Planckschen Quantisierung wird diese Energie einer Normalmode mit der Frequenz berechnet ω kann nur sein N ℏ ω für eine ganze Zahl N .

Aber Moment mal!

Die Energie eines linearen Quantenoszillators mit Frequenz ω kann sein ( N + 1 / 2 ) ℏ ω , und da es sich bei der Ableitung der Planckschen Formel um die Analogie der Normalmoden der elektromagnetischen Wellen im Hohlraum des schwarzen Körpers mit den Normalmoden des linearen Oszillators handelt, würde ich erwarten, dass wir diese "Nullpunktenergie" berücksichtigen. , ϵ ω = ℏ ω / 2 für jeden normalen Modus. Beachten Sie, dass diese Nullpunktenergie ϵ ω kommt drauf an ω .

Aber wenn ich das berücksichtige, erhalte ich bizarre Ergebnisse!

Die durchschnittliche Energie des Normalmodus der Frequenz ω wird dann durch gegeben

⟨ E ω ⟩ = ℏ ω e ℏ ω / k B T − 1 + ϵ ω ,
und dies führt zu folgender Energiedichte.

ρ ( T , ω ) := 1 v N ( ω ) ⟨ E ω ⟩ = ℏ π 2 C 3 ω 3 e ℏ ω / k B T − 1 + 1 π 2 C 3 ω 2 ϵ ω ⏟ zusätzlicher Begriff

Nun, dieses Ergebnis ist katastrophal! Es sei denn ϵ ω = 0 für alle ω 's (in diesem Fall stimmt dies mit der "richtigen" Planck-Formel überein), ρ weicht ab als ω → ∞ .

Fragen: Also, was ist der Ausweg? Ist die oft präsentierte Analogie mit dem Quantenoszillator schlichtweg falsch? Bei elektromagnetischer Strahlung ist die Nullpunktsenergie für alle genau Null ω 'S?

† Mit Frequenz meine ich Winkelfrequenz.

Antworten (1)

Bei der Thermodynamik dreht sich alles um das Studium der Veränderung . Zum Beispiel das erste Gesetz D U = P D v + T D S drückt die Energieänderung in Form von Arbeit und Wärmestrom aus.

Beachten Sie, dass die Nullpunktsenergie nur von der Frequenz und den Grundkonstanten abhängt. Es gibt keinen externen Parameter, den wir variieren können, um die Nullpunktsenergie zu ändern. Die Nullpunktsenergie ist also thermodynamisch vom Rest des Systems entkoppelt und kann daher vernachlässigt werden.

Jetzt gibt es einige Vorbehalte.

Erstens stimmt es nicht ganz, dass die Schwankungen nicht an einen externen Parameter koppeln. Wenn Sie eine Box mit beweglichen, reflektierenden Wänden betrachten, dann gibt es einen Unterschied darin, wie viel Nullpunktenergie in der Box enthalten ist, dann wäre ohne die reflektierenden Wände eine äquivalente Menge an leerem Raum vorhanden. Der Grund dafür ist, dass die reflektierenden Wände Randbedingungen auferlegen, die einige der Moden aus der Summe entfernen N . Dieser Energieunterschied führt dazu, dass die Casimir-Kraft auf die Wände des Kastens wirkt. Dies ist jedoch ein sehr kleiner Effekt.

Zweitens sollte die Schwerkraft an diese Schwankungen koppeln. Es gibt eine unendliche (oder zumindest sehr große) Menge an Energiedichte, die von den Nullpunktschwankungen stammt, die dazu führen sollten, dass das Universum mit einer unendlichen (oder zumindest sehr großen) Geschwindigkeit beschleunigt, aber wir beobachten dies nicht. Dies ist das Problem der kosmologischen Konstante, für das es keine allgemein anerkannte Lösung gibt.

Aber hier schaue ich nicht auf Veränderungen. Ich finde die Energiedichte im Gleichgewicht. Daher halte ich die Vernachlässigung der Nullpunktsenergie für nicht ganz gerechtfertigt.
Ich könnte mir vorstellen zu sagen, dass es eine Energiedichte von "Geistern" gibt, die existiert, aber an keinen experimentell kontrollierbaren Parameter koppelt und die keinen Einfluss auf irgendwelche Experimente hat. Einerseits könnte ich darauf bestehen, dass Sie die Energiedichte von Geistern in Ihre Berechnungen einbeziehen, andererseits erhalten Sie die gleiche Antwort für jede beobachtbare Größe, wenn Sie den Geisterbeitrag einfach weglassen. Ähnlich verhält es sich mit der Nullpunktenergie, außer in ganz speziellen Situationen, in denen Sie sie einbeziehen müssen (z. B. beim Casimir-Effekt oder vielleicht in der Schwerkraft).
Entschuldigung, aber ich kann diese "Kopplung mit experimentell kontrollierbaren Parametern" nicht verstehen. Können Sie das erläutern (oder mich auf eine Ressource verweisen)?
Eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken, ist, dass Sie die Nullpunktsenergie nicht in eine andere Art von Energie umwandeln können und umgekehrt. Aus thermodynamischer Sicht macht es also keinen Sinn, diese Art von Energie einzubeziehen. Es ist, als hätte man eine Kiste, mit der man keine Energie oder Entropie austauschen kann, man kann sagen, dass die Kiste da ist, aber es hat keine beobachtbaren Konsequenzen. Der Casimir-Effekt ist die einzige Situation, die ich kenne, in der Sie ihn tatsächlich einbeziehen müssen, aber für> 99% der Anwendungen müssen Sie sich keine Sorgen um den Casimir-Effekt machen.
Es ist analog (aber nicht ganz dasselbe), als würde man sagen, dass die Energie nur bis zu einer Gesamtkonstante definiert ist.
Oh, das ergibt für mich jetzt mehr Sinn. Danke!
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