Verwirrung bei der Realraum-Renormalisierungsgruppe für das Ising-Modell im Gitter

Question

Verwirrung bei der Realraum-Renormalisierungsgruppe für das Ising-Modell im Gitter

Physik
ising-Modell
Renormalisierung
Phasenübergang
Statistische Mechanik

xjtan

Wenn wir für das Ising-Modell mit nur der Wechselwirkung des nächsten Nachbarn auf einem quadratischen Gitter das RG durch Integrieren des halben Freiheitsgrads ausführen, erhalten wir ein neues Ising-Modell mit vielen Arten von Wechselwirkungen, sodass das Ising-Modell mit nur der Wechselwirkung des nächsten Nachbarn nicht möglich ist ein Fixpunkt von RG.

Im Allgemeinen sollte der Fixpunkt unendlich viele Arten von Wechselwirkungen beinhalten, und wir können ihn nicht genau finden.

Aber jetzt nehmen wir an, wir finden es, dh wir haben ein Ising-Modell mit unendlich vielen Arten von Wechselwirkungen und es ist ein Fixpunkt von RG, und wir betrachten die Zwei-Punkt-Spin-Spin-Korrelation, $\langle s(0)s(r)\rangle$ . Vor dem RG ist der Abstand für zwei Spins $r$ , nach dem RG wird die Distanz $\frac{r}{2}$ , aber der Hamilton-Operator bleibt derselbe, außer dass die Anzahl der Drehungen halbiert wird. Also denke ich das $\langle s(0)s(r)\rangle=\langle s(0)s(\frac{r}{2})\rangle$ . Aber offensichtlich ist es falsch, da die Spin-Spin-Korrelationsfunktion als Potenzgesetz zerfallen sollte. Was ist an meiner Argumentation falsch?

Abdelmalek Abdesselam

Sie haben die Neuskalierung vergessen, die kein Raplacing ist

s (r)

$s(r)$ von

s (r / 2)

$s(r/2)$ sondern durch

2^{Δ} s (r / 2)

$2^{\Delta}s(r/2)$ Wo

Δ = 1 / 8

$\Delta=1/8$ ist die Skalierungsdimension des Spinfelds.

xjtan

Danke für die Antwort und ich stimme ihr zu. Das Bild für diese Dezimierung RG ist also: nach dem Integrieren von Halbspins, die Kopplungen davor

n -

$n-$ Begriff der Körperinteraktion

s^{n}

$s^n$ sind nicht genau die gleichen wie zuvor haben einen Unterschied von

2^{- n Δ}

$2^{-n \Delta }$ , also durch Neuskalieren der

s

$s$ Zu

2^{Δ} s

$2^\Delta s$ , wird der Hamiltonoperator wiederhergestellt? Und das Richtige berechnen

Δ

$\Delta$ ist im Allgemeinen keine einfache Aufgabe.

xjtan

Und ich denke, es ist Magie, dass eine einfache Neuskalierung von

s

$s$ konnte das ganze Problem in der Kupplung beheben.

Abdelmalek Abdesselam

Ich habe eine etwas ausführlichere Antwort geschrieben.

Antworten (3)

Verwirrung bei der Realraum-Renormalisierungsgruppe für das Ising-Modell im Gitter

Sie haben die Neuskalierung vergessen, die kein Raplacing ist $s(r)$ von $s(r/2)$ sondern durch $2^{\Delta}s(r/2)$ Wo $\Delta=1/8$ ist die Skalierungsdimension des Spinfelds.
Danke für die Antwort und ich stimme ihr zu. Das Bild für diese Dezimierung RG ist also: nach dem Integrieren von Halbspins, die Kopplungen davor $n-$ Begriff der Körperinteraktion $s^n$ sind nicht genau die gleichen wie zuvor haben einen Unterschied von $2^{-n \Delta }$ , also durch Neuskalieren der $s$ Zu $2^\Delta s$ , wird der Hamiltonoperator wiederhergestellt? Und das Richtige berechnen $\Delta$ ist im Allgemeinen keine einfache Aufgabe.
Und ich denke, es ist Magie, dass eine einfache Neuskalierung von $s$ konnte das ganze Problem in der Kupplung beheben.

Lorenz Mayer · Answer 1

Bei der Iteration der Renormierungsprozedur ist die Menge der Transformationen:

1) Eine räumliche Transformation, insbesondere eine Neuskalierung

X \mapsto X^{'} = F (X) .

$x \mapsto x' = f(x) \ .$

2) Eine Transformation der Variablen

S (X) \mapsto S^{'} (X^{'}) .

$S(x) \mapsto S'(x') \ .$

3) Eine Transformation des Staates

⟨ \cdot ⟩ \mapsto ⟨ \cdot ⟩^{'} .

$\langle \cdot \rangle \mapsto \langle \cdot \rangle' \ .$

Genauer gesagt, wenn Sie ein Ising-Modell mit Hamilton-Operator betrachten

β H [S] = \sum_{X} J^{(1)} (X) S (X) + \sum_{X, j} J^{(2)} (X, j) S (X) S (j) + \sum_{X, j, z} J^{(3)} (X, j, z) S (X) S (j) S (z) + \dots,

$\beta H[S] = \sum_{ x} J^{(1)}(x) S(x) + \sum_{ x,y} J^{(2)}(x,y)S(x) S(y) + \sum_{ x,y,z} J^{(3)}(x,y,z)S(x) S(y) S(z) + \cdots \ ,$

Dann der Staat $\langle \cdot \rangle$ ist einfach der Gibbs-Zustand $H[S]$ , Und $\langle \cdot \rangle'$ ist der Gibbs-Zustand eines Hamilton-Operators $H'[S']$ , Wo $H'$ Parameter hat $J^{'(i)}$ .

Diese müssen so gewählt werden, dass alle Korrelationsfunktionen übereinstimmen:

⟨ S (X_{1}) S (X_{2}) \dots S (X_{N}) ⟩ = ⟨ S^{'} (X_{1}^{'}) S^{'} (X_{2}^{'}) \dots S^{'} (X_{N}^{'}) ⟩^{'} .

$\langle S(x_1) S(x_2) \cdots S(x_n) \rangle = \langle S'(x_1') S'(x_2') \cdots S'(x_n') \rangle' \ .$

An einem Fixpunkt zu sein, das haben wir $\langle \cdot \rangle = \langle \cdot \rangle'$ . Ihre Schlussfolgerung gilt, wenn $S = S'$ . Aber das ist nicht wahr. Im Allgemeinen haben die Spin-Operatoren eine gewisse Skalierungsdimension ( https://en.wikipedia.org/wiki/Scaling_dimension ).

Danke für die Antwort, obwohl ich nicht damit einverstanden bin, dass sich ihr Abstand auf dem Gitter nicht geändert hat. Es gibt einen Schritt in RG namens Neuskalierung, der den Abstand zwischen zwei Standorten in unserem Kontext um 1/2 neu skaliert. Der Grund für die Neuskalierung ist der Vergleich der Modelle vor und nach der RG. Sie können sich MacGreevys Notiz zu RG ansehen, die ich fantastisch finde. mcgreevy.physics.ucsd.edu/f18/2018F-217-lectures.pdf
Auch dies hängt vom Verfahren ab. Wenn Sie Hilfe für Ihr spezifisches Verfahren benötigen, würde ich empfehlen, die Schritte zu skizzieren, die Sie im Sinn haben. Konkret würde ich vermuten, dass in Ihrem Fall die Spin-Operatoren neu definiert werden.
Das Verfahren ist meiner Meinung nach wie folgt: (1) Das quadratische Gitter ist ein zweigeteiltes Gitter, also haben wir alle Spins auf einem Untergitter integriert und ein neues Ising-Modell erhalten; (2) wenn wir die betrachten $<S_0 S_2>$ auf dem alten Gitter, auf dem alten Gitter ist der Abstand 2 auf der Einheit der Gitterkonstante $a$ , im neuen Gitter ist der Abstand 1 in der neuen Gitterkonstante $2a$ ; also skalieren wir die Gitterkonstante zurück auf $a$ .

Abdelmalek Abdesselam · Answer 2

Das Problem ist, dass das Dezimierungsverfahren nicht wirklich erlaubt, mit zu multiplizieren $2^{\Delta}$ beim Wechsel von alten Spin-Variablen $s(r)$ Zu $2^{\Delta}s(2r)$ . Dies ist der Fehler, den Wilson selbst in der linken Spalte auf Seite 801 seines Artikels „Die Renormalisierungsgruppe: Kritische Phänomene und das Kondo-Problem“ in Rev. Mod. Phys. Eine bessere Transformation ist das Block-Spin-Verfahren, bei dem die neuen Spins wirklich neu sind und nicht nur eine Teilmenge der alten. Ein weiteres Problem besteht darin, dass der Fixpunkt eigentlich ein Wahrscheinlichkeitsmaß sein sollte ${\mathbb{R}}^{\mathbb{Z}^d}$ statt $\{-1,1\}^{\mathbb{Z}^d}$ und sei es nur, um andere realwertige Modelle in derselben Universalitätsklasse wie die unterzubringen $\phi^4$ Modell. Beim Blockspin sind die neuen Spins so etwas wie

T (R) = 2^{Δ - D} \sum_{u \in 2 R + {0, 1}^{D}} S (u)

$t(r)=2^{\Delta-d}\sum_{u\in 2r+\{0,1\}^d} s(u)$ Für 2D-Ising,

Δ = 1 / 8

$\Delta=1/8$ Und

d = 2

$d=2$ . Beim Wiederholen der Transformation

n

$n$ Mal ist der Abstand zwischen den Werten

2^{n (Δ - d)} \to 0

$2^{n(\Delta-d)}\rightarrow 0$ . Andererseits extreme Werte (z. B. wenn alle

s (r)

$s(r)$ Sind

+ 1

$+1$ 's) gehen wie

2^{n Δ} \to \infty

$2^{n\Delta}\rightarrow \infty$ . Genau wie im zentralen Grenzwertsatz für die Binomialverteilung nähert man sich also der Verteilung einer reellwertigen Zufallsvariablen mit einer Dichte. Beachten Sie, dass Wilson einen Zwischenansatz aufgrund von Kadanoff erwähnt, bei dem sich der neue dreht

t

$t$ sind noch drin

{- 1, 1}^{Z^{d}}

$\{-1,1\}^{\mathbb{Z}^d}$ aber mit einem Kopplungsparameter

ρ

$\rho$ zu den alten Spins

s

$s$ . Schließlich kann der klassische zentrale Grenzwertsatz im obigen Rahmen mit verstanden werden

Δ = d / 2

$\Delta=d/2$ .

Danke für die nette Antwort. Ich habe auch ein wenig Literatur recherchiert und Kadanoff schrieb auf Seite 295 seines Buches „Statistische Physik, Statik, Dynamik und Renormierung“ Folgendes: „Die einzige Möglichkeit besteht darin, dass das Renormierungsschema, das wir verwenden, selbst darin fehlerhaft ist, dass man es nie bekommt der Fixpunkt. Das ist die richtige Antwort. (In der Fußnote steht, dass dies auf seiner privaten Kommunikation mit Wilson basiert)".
Dann wunderte ich mich über das Verhalten des kritischen Hamilton-Operators während des Dezimierungsverfahrens. McGreevy schrieb in seiner Notiz mcgreevy.physics.ucsd.edu/f18/2018F-217-lectures.pdf , dass zwei weitere mögliche Situationen Chaos oder begrenzter Zyklus sein könnten. Ich denke, hier sollte Chaos herrschen.

Gec · Answer 3

Du hattest deine Überlegungen abgebrochen und keine endgültige Schlussfolgerung gezogen. Die auf Dezimierungen basierende Renormierungstransformation hat keinen Fixpunkt. Die akzeptierte Antwort in diesem Thema Critical 2d Ising Model enthält einen Link zu den Hinweisen zu diesem Thema.

Nach meinem bisherigen Verständnis ja, kein Fixpunkt. Aber Hinzufügen der Operation der Neuskalierung $s$ Zu $2^\Delta s$ würde einen Fixpunkt geben.

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