Wie kann man Singularitäten in der Physik verstehen?

Wie bereits erwähnt, sind innerhalb der klassischen Physik Singularitäten wie z$1/r^2$signalisieren einen Zusammenbruch der Theorie. Wenn wir wirklich daran interessiert sind, was am Punkt der Singularität passiert, sollten wir die Quantenphysik verwenden. Sie können sich vorstellen$1/r^2$als asymptotische Skalierungsform der Quantentheorie für groß$r$. Die eigentliche Singularität ist nicht physikalisch.

Andererseits sind die Singularitäten der Thermodynamik eine direkte Folge des thermodynamischen Limits. Wenn Sie viele Partikel haben, können sie alle zusammenarbeiten, um physikalische Größen (typischerweise Suszeptibilitäten) sehr groß zu machen. Im Grenzfall unendlicher Teilchen divergiert die entsprechende Menge. In der Praxis werden diese Singularitäten aus zwei Gründen nicht realisiert. Erstens befinden Sie sich nie wirklich im thermodynamischen Limit. Dies ist jedoch keine wirkliche Einschränkung, da Atome so klein sind, dass Sie sie leicht haben können$10^{23}$von ihnen. Eine so große Zahl ist nicht von unendlich zu unterscheiden. Der wahre Grund ist, dass man, um eine solche Abweichung zu finden, normalerweise einige Parameter des Systems fein abstimmen muss, damit es genau am kritischen Punkt sitzt. Temperatur und Druck müssen mathematisch gleich ihren kritischen Werten sein. Das schaffst du nie.

Es ist eigentlich natürlich, dass man bei einem Phasenübergang etwas Nicht-Analytisches findet. Physikalisch gesehen ist ein Phasenübergang ein Punkt im Phasenraum, an dem sich die Eigenschaften des Systems abrupt ändern. Du gehst vom Wasser zum Eis. Das System ist entweder flüssig oder fest, es gibt keinen interpolierenden Zustand dazwischen, in dem das System weich ist. Mathematisch manifestiert sich dies als eine nicht-analytische Änderung des thermodynamischen Potentials, dh eine Divergenz seiner Ableitung (von ausreichend hoher Ordnung).

Ich würde daraus schließen, dass diese beiden Arten von Singularitäten nicht zusammenhängen. Es gibt jedoch einen Zusammenhang in dem theoretischen Werkzeug, mit dem man diese Probleme löst: Renormierung.

Auf der$1/r^2$Andererseits sagt uns die Quantenfeldtheorie, dass die Teilchen tatsächlich mit sich selbst interagieren und dass dies zu Divergenzen in Theorien führt, die auf einem kontinuierlichen Raum definiert sind. Diese Divergenzen können wieder in die mikroskopischen (und nicht beobachtbaren) Parameter des Systems aufgenommen werden, die so divergieren, dass sich alle Unendlichkeiten aufheben. Siehe diesen Artikel.

Auf thermodynamischer Seite werden kritische Punkte Fixpunkten der Renormierungsgruppe zugeordnet . Dort ist das System invariant unter der kombinierten groben Körnung seiner feinen Details und dem Herauszoomen. Dann finden wir die Skaleninvarianz und die Potenzgesetze, die man bei einem Phasenübergang beobachten kann.

Obwohl diese Verfahren völlig unterschiedlich interpretiert werden, sind sie technisch sehr ähnlich und beinhalten die gleichen Ideen. Auf der Seite der Quantenfeldtheorie möchten Sie, dass der Raum kontinuierlich ist. Sie verwenden die Renormierung, um das Raum-Zeit-Gitter unendlich klein zu machen, ohne Divergenzen zu erzeugen. Andererseits ist an einem kritischen Punkt statistischer Systeme die Korrelationslänge des Systems so groß, dass das räumliche Gitter (z. B. in einem Kristall) irrelevant ist und Ihre Theorie effektiv kontinuierlich ist.

... r = 0 ist trivialerweise ausgeschlossen (zumindest für makroskopische Objekte), da sie gut definierte ausgeschlossene Volumina haben und nicht gleichzeitig denselben Raum einnehmen können. Daher kann man argumentieren, dass die Divergenz bei r = 0 ein mathematisches Artefakt ist

Der Radius von Elementarteilchen kann 0 sein, wenn es sich um Punktteilchen handelt (Elektronen stellt man sich bisher am besten als Punktteilchen vor). Wenn dies der Fall ist, handelt es sich um physikalische Massepunkte mit endlicher Ladung und Masse. Es gibt kein Problem mit einer solchen physikalischen Singularität, solange wir ihre Eigenschaften und Gesetze ihres Verhaltens unter gegebenen Bedingungen kennen.

Das$r=0$passiert nicht, ist wahr, wenn$r$steht für den Abstand von zwei Elektronen. Stellen Sie sich zwei Punktelektronen vor. Sie können sehr wohl Dimensionen und Volumen von null haben, solange sie einen positiven gegenseitigen Abstand haben. Sie können sich nicht bis zum Abstand 0 annähern, da dies nach dem Coulombschen Gesetz unendlich viel Energie erfordern würde.

Sind die meisten Singularitäten in der klassischen Physik nur Erinnerungen an die Tatsache, dass innerhalb klassischer Modelle nicht alle erklärt werden können und man sich allgemeineren Rahmenwerken wie QM zuwenden muss, wo dann die Singularitäten aufgelöst würden?

Es hängt davon ab, ob. Wenn ein Modell an einem bestimmten Punkt zusammenbricht, an dem wir wissen, dass die richtige Antwort existiert und quantifizierbar ist, dann ist das Modell an diesem Punkt falsch und es gibt einen guten Grund, nach einem besseren Modell zu suchen.

Wenn die Singularität physikalisch ist ( Punktteilchen ) und wir sie verwenden und konsistent damit rechnen können ( Entfernung wird in der Praxis nie 0 ), ist diese Art von Singularität in Ordnung und hat ihren Platz in der Physik.

Singularität in Kraftgesetzen

Wenn Kraftgesetze grundlegend für die Natur wären, wäre dies ein ernstes Problem. Stellen Sie sich zum Beispiel die Gravitationsenergie zwischen Photonen vor. Sie sind Bosonen und können daher den gleichen Quantenzustand einnehmen; Entscheidend ist, dass mehr als einer von ihnen an derselben Position sein und bleiben kann, an der die Gravitationskraft (sie haben Energie und damit relativistisch Masse) und die Erergie divergieren.

Tatsächlich ist die Situation sogar noch schlimmer: Selbst wenn wir irgendwie eine Lücke um die Divergenz herum gefunden haben, wenn sich interagierende Teilchen an genau derselben Stelle befinden, gibt es immer noch ein Problem mit einem einzelnen Teilchen. Für ein punktförmiges (oder sogar fast punktförmiges) Elektron übersteigt allein die Eigenenergie aus der elektrischen Abstoßung seiner Ladung, die auf sich selbst wirkt (stellen Sie sich vor, es würde durch Schrumpfen einer räumlich ausgedehnten Ladungsverteilung zusammengesetzt), leicht seine Ruhemasse. Woher könnte diese Energie kommen?

Die Wahrheit ist, dass Kräfte nur eine nützliche Vereinfachung von etwas Grundlegenderem sind. Virtuelle Teilchen beschreiben die Wechselwirkung zwischen Teilchen, die (nur) für niedrige Energien (mit entsprechend eingeschränkter Impuls- und damit Ortsauflösung) von Kraftgesetzen nicht mehr zu unterscheiden ist.

Singularität in Phasenübergängen

Ein Phasenübergang ist die plötzliche Änderung von etwas, normalerweise der Anordnung oder dem Verhalten eines Ensembles von Teilchen. Das entspricht typischerweise Veränderungen in fast jeder Eigenschaft des kollektiven Systems. Die von Ihnen verwendete Definition versucht, so breit wie möglich zu sein, beschränkt sich jedoch auf die Betrachtung einer Größe, der freien Energie. Um allgemeiner zu sein als nur eine plötzliche Änderung der freien Energie selbst vorzuschreiben, beinhaltet es das Konzept von$n$Phasenänderungen -ter Ordnung, bei denen die plötzliche Änderung nur in einer (möglicherweise höheren) Ableitung der freien Energie auftritt. Aber der wichtige Punkt ist einfach, dass sich (normalerweise) fast jede Größe ähnlich ändert (wenn auch möglicherweise in einer anderen minimalen Ableitung).

Der Hauptunterschied dieser Divergenz zu der Art, die in Kraftgesetzen anzutreffen ist, besteht darin, dass die Existenz dieser Divergenz, die plötzliche Änderung, für die beschriebene Physik von zentraler Bedeutung ist. Wenn es nicht da wäre, würde es keinen Phasenwechsel geben. Bei den Kraftgesetzen treten die Abweichungen in der mathematischen Idealisierung oder Vereinfachung der Realität auf, während die Realität subtil anders ist (oder komplizierter, wenn Sie möchten).

Das erklärt auch Ihre letzte Frage: Warum sollte ein Phasenübergang einer Divergenz oder mathematischen Singularität entsprechen? Dies liegt daran, dass es sich um eine nicht allmähliche Änderung eines Schlüsselparameters (z. B. Temperatur) handelt. Daher muss es (oder seine Ableitung oder die Ableitung davon usw.) eher einen plötzlichen als einen sanften Sprung machen. Möglicherweise können Sie den Übergang mathematisch auf irgendeine Weise glätten. zum Beispiel, wenn Sie es durch die Entropie statt durch die Temperatur parametrisieren, a$0$Phasenübergang -ter Ordnung kann oft als Übergang erster Ordnung angesehen werden, da zu seiner Herbeiführung bei einer definierten (konstanten) Temperatur dem System Entropie zugeführt oder entzogen werden muss, um den Übergang abzuschließen. Aber Sie werden immer noch auf Ihre Diskontinuität (oder Divergenz oder Singularität, wenn Sie möchten) stoßen, wenn möglicherweise nur in einer höheren Ableitung.

Den ersten Teil Ihrer Frage kann ich nur teilweise beantworten.

man stößt auf Funktionen, die an einem bestimmten Punkt divergieren, typische Beispiele wären das Coulomb oder die Gravitationskräfte, die ∝ 1/r² sind, offensichtlich divergieren sie bei r = 0 ...

Die Gravitationskraft ist nicht wirklich proportional zu 1/r². Schauen Sie sich die Darstellung des Gravitationspotentials auf Wikipedia an .

CCASA-Bild von AllenMcC, siehe Wikipedia Commons

Die Steigung des Diagramms zeigt die Schwerkraft für einen äquatorialen Schnitt durch die Erde und den umgebenden Raum. Und während die Steigung mit abnehmendem r zunächst zunimmt, nimmt sie schließlich ab . Die Unendlichkeit bei r=0 ist also eine mathematische Fiktion.

Sind die meisten Singularitäten in der klassischen Physik nur Erinnerungen daran, dass innerhalb klassischer Modelle nicht alle erklärt werden können ...

Ich würde nein sagen, aber dass einige Singularitäten das Ergebnis von "nicht realen Lösungen" sind. Beispielsweise könnte das Gravitationspotential mithilfe von Lichttaktraten aufgetragen werden, die über die äquatoriale Scheibe verteilt sind – Uhren gehen langsamer, wenn sie niedriger sind. Wenn Sie dies dann für ein Schwarzes Loch getan haben, ist die Lichtuhrrate am Ereignishorizont null. Und tiefer kann es nicht gehen . Ihr Diagramm sieht also wie das Bild unten aus, ohne eine Punktsingularität in der Mitte.

Ich kann nicht von Singularitäten im Sinne der allgemeinen Relativitätstheorie sprechen, aber Ihr Beispiel von$1/r^2$Gesetze in der klassischen Physik werden tatsächlich meistens durch interne Strukturen gelöst. Einer meiner Physikprofessoren hat immer gesagt, dass die Natur Unendlichkeiten mit innerer Struktur löst.

Beispielsweise sieht das elektrische Feld für eine geladene Kugel mit gleichmäßiger Ladungsdichte wie folgt aus$r$für$r<R$(der Radius der Kugel) und dergleichen$1/r^2$für$r>R$. Dasselbe gilt für einen kugelförmigen Gravitationskörper gleicher Massendichte. Die interne Struktur hilft Ihnen also, Unendlichkeiten zu vermeiden.

Offensichtlich berücksichtigt dies nicht die Tatsache, dass Elektronen und Quarks, wie wir bisher wissen, punktförmige Objekte sind, aber das liegt nur daran, dass die Präzision und Genauigkeit bei Experimenten begrenzt ist. Wir können feststellen, dass sie eine innere Struktur haben, aber dennoch muss die Quantenmechanik ins Spiel kommen, wenn wir uns damit befassen.