Koordinieren Sie die Abhängigkeit in einer Operator-Produkterweiterung

Question

Koordinieren Sie die Abhängigkeit in einer Operator-Produkterweiterung

Jim123

Nach Cardys Vorlesungen zur Conformal Field Theory ist die allgemeine Form eine Operatorproduktexpansion

ϕ_{ich} (R_{ich}) \cdot ϕ_{J} (R_{J}) = \sum_{k} C_{ich J k} (R_{ich} - R_{J}) ϕ_{k} ((R_{ich} + R_{J}) / 2)),

$\phi_{i}(r_{i})\cdot\phi_{j}(r_{j})=\sum_{k}C_{ijk}(r_{i}-r_{j})\phi_{k}((r_{i}+r_{j})/2)),$ siehe Seite 5 Gl.(4).

Ich verstehe nicht, warum die Felder auf der rechten Seite dieser Gleichung unbedingt nur von abhängen $(r_{i}+r_{j})/2$ . Im Prinzip scheint es mir, dass sie sich auf beide verlassen könnten $r_{i}$ Und $r_{j}$ oder gleichwertig auf beiden $(r_{i}+r_{j})/2$ Und $r_{i}-r_{j}$ .

Nehmen wir das einfache Beispiel von Vertexoperatoren, die erfüllen

: e^{ich a ϕ (z)} :: e^{ich β ϕ (w)} := e^{- a β ⟨ ϕ (z) ϕ (w) ⟩} : e^{ich a ϕ (z) + ich β ϕ (w)} :

$:e^{i\alpha\phi(z)}::e^{i\beta\phi(w)}: = e^{-\alpha\beta\langle\phi(z)\phi(w)\rangle} :e^{i\alpha\phi(z)+i\beta\phi(w)}:$ Normalerweise haben wir

e^{- α β ⟨ ϕ (z) ϕ (w) ⟩} \propto \ln (z - w)

$e^{-\alpha\beta\langle\phi(z)\phi(w)\rangle}\propto\ln(z-w)$ woraus ich verstehen kann warum die

C_{i j k}

$C_{ijk}$ nur abhängen

z - w

$z-w$ . Aber es ist mir nicht klar, warum das Feld

e^{i α ϕ (z) + i β ϕ (w)}

$e^{i\alpha\phi(z)+i\beta\phi(w)}$ hängt nur davon ab

(z + w) / 2

$(z+w)/2$ .

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand diesen Punkt erklären könnte.

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QMechaniker · Answer 1

Das allgemeinste OPE ist von der Form
$\begin{matrix} (1) & ϕ_{ich} (X) ϕ_{J} (j) = \sum_{k} C_{ich J}^{k} (X - j, j - z, z - X) ϕ_{k} (z), \end{matrix}$ $\phi_i(x)\phi_j(y)~=~\sum_k C_{ij}^k(x-y, y-z,z-x) ~\phi_k(z),\tag{1}$ Wo $z$ ist ein dritter Punkt. Gl. (1) ist eine Abkürzung für $\begin{matrix} (2) & ⟨ \dots ϕ_{ich} (X) ϕ_{J} (j) \dots ⟩ = \sum_{k} C_{ich J}^{k} (X - j, j - z, z - X) ⟨ \dots ϕ_{k} (z) \dots ⟩, \end{matrix}$ $\langle \ldots \phi_i(x)\phi_j(y)\ldots\rangle~=~\sum_k C_{ij}^k(x-y, y-z,z-x) ~\langle \ldots\phi_k(z)\ldots\rangle,\tag{2}$ Wo $\ldots$ bezeichnet andere Operatoreinfügungen. In euklidischer Signatur für eine Konvergente $^1$ Summe, die Punkte $x$ Und $y$ sollte näher sein $z$ als andere Einfügepunkte.
Es wird typischerweise angenommen, dass die OPE die Form hat
$\begin{matrix} (3) & ϕ_{ich} (X) ϕ_{J} (j) = \sum_{k} C_{ich J}^{k} (X - j) ϕ_{k} (z_{λ}), \end{matrix}$ $\phi_i(x)\phi_j(y)~=~\sum_k C_{ij}^k(x-y) ~\phi_k(z_{\lambda}),\tag{3}$ Wo $z_{\lambda}$ wird angenommen, auf der Linie zu liegen $^2$ $\begin{matrix} (4) & z_{λ} = λ X + (1 - λ) j \end{matrix}$ $z_{\lambda} ~=~ \lambda x + (1-\lambda)y \tag{4}$ das geht durch die punkte $x$ Und $y$ . Hier $\lambda\in\mathbb{R}$ ist eine feste konventionelle Konstante, die typischerweise so gewählt wird, dass sie beispielsweise $0$ , $\frac{1}{2}$ , oder $1$ . Cardy-Picks $\lambda=\frac{1}{2}$ . Viele Lehrbücher zur Stringtheorie über CFT wählen $\lambda=0$ .
Es wird implizit davon ausgegangen, dass die $k$ -sum auf der rechten Seite des OPE (3) läuft über einen vollständigen Satz lokaler Operatoren $\phi_k$ in der Theorie. Das bedeutet insbesondere, dass für jeden $k$ , die Derivate von $\phi_k$ wrt. $z_{\lambda}$ sollte wieder eine lineare Kombination von sein $\phi_{\ell}$ 'S.
Beachten Sie, dass, wenn wir eine andere konventionelle Konstante auswählen $\mu\in\mathbb{R}$ , dann der Unterschied
$\begin{matrix} (5) & z_{λ} - z_{μ} = (λ - μ) (X - j) \end{matrix}$ $z_{\lambda}-z_{\mu} ~=~(\lambda-\mu)(x-y) \tag{5}$ ist proportional zur Differenz $x-y$ .
Vor allem die Unterschiede $x-z_{\lambda}$ Und $y-z_{\lambda}$ sind wieder proportional zur Differenz $x-y$ . Naiv gesprochen, wenn es sinnvoll wäre, Taylor die linke Seite des OPE (3) um den Punkt zu erweitern $z_{\lambda}$ Anstelle der zwei Punkte $x$ Und $y$ , würden wir einen Operator erhalten, der von den beiden Punkten abhängt $z_{\lambda}$ Und $x-y$ . Solche heuristischen Argumente machen die rechte Seite des OPE (3) zu einem plausiblen Ansatz.
Nun, das ist alles, was wir über die Existenz der OPE (3) sagen wollen. Bezüglich der Eindeutigkeit, wenn wir Taylor erweitern $\phi_k(z_{\lambda})$ im OPE (3) um den Punkt herum $z_{\mu}$ anstatt $z_{\lambda}$ , dann wäre die OPE noch in der Form
$\begin{matrix} (4) & ϕ_{ich} (X) ϕ_{J} (j) = \sum_{k} {\tilde{C}}_{ich J}^{k} (X - j) ϕ_{k} (z_{μ}) . \end{matrix}$ $\phi_i(x)\phi_j(y)~=~\sum_k \tilde{C}_{ij}^k(x-y) ~\phi_k(z_{\mu}).\tag{4}$ Die Koeffizienten $\tilde{C}_{ij}^k(x-y)$ unterschiedlich sein könnten, aber der entscheidende Punkt ist, dass sie immer noch nur von der Differenz abhängen würden $x-y$ ; nicht auf $x$ Und $y$ individuell.

Verweise:

J. Cardy, Theorie konformer Felder und statistische Mechanik, arXiv:0807.3472 ; Gl. (3) & (4).
P. Ginsparg, Applied Conformal Field Theory, arXiv:hep-th/9108028 ; Gl. (2.11).

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$^1$ Für eine generische Nicht-CFT ist die rhs. von Gl. (2) ist nur eine asymptotische Reihe.

$^2$ Genau genommen sollte die Linie eine affin parametrisierte Geodäte sein.

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Jim123

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QMechaniker

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