Renormalisierung, Integrieren hoher Impulse auf Wilson-Weise

Ich finde die ganze Notation hier etwas verwirrend, da wir über Momenta-Modi sprechen, während wir die Real-Space-Notation verwenden (vielleicht bin ich der einzige ...). Um zu verdeutlichen, was vor sich geht, können wir stattdessen in den Impulsraum wechseln. Betrachten Sie den quadratischen Term in der Exponentialfunktion:

$$\begin{align} \int d^4x \phi ^2 & = \int d^4x \int d^4k d^4k' \phi _k \phi ^\ast _{ k ' } e ^{ i ( k - k ' ) x } \\ & = \int d^4k \phi _k \phi _k ^\ast \\ & = \int _0 ^{ b \Lambda } d^4k \phi _k \phi _{ k} ^\ast + \int _{ b \Lambda } ^{ \Lambda } d^4k \phi _k \phi _k ^\ast \end{align}$$ Jetzt können wir klar die Aufteilung machen, die die Autoren machen wollen, $$\begin{equation} = \int _0 ^\Lambda ( \phi _k \phi _k ^\ast + \hat{\phi} _k \hat{\phi} _k ^\ast ) \end{equation}$$ Beachten Sie, dass der Kreuzbegriff aus dem Ausdruck herausgefallen ist.

Um nun zu sehen, warum dies für den quartischen Term nicht der Fall ist, wiederholen Sie einfach das obige Verfahren. Ich finde,

$$\begin{equation} \int d^4x \phi ^4 = \int _0 ^{ b \Lambda } d^4k _1 d^4k _2 d^4k _3 \phi _1 \phi _2 \phi _3 \phi _{ 1 + 2 + 3} + \int _{b \Lambda } ^{ \Lambda } d^4k _1 d^4k _2 d^4k _3 \phi _1 \phi _2 \phi _3 \phi _{ 1 + 2 + 3} \end{equation}$$ Das Problem ist, dass wir die Integrale nicht einfach wieder aufteilen können, da wir den Bereich von ``wählen'' können $\phi _1 ,\phi _2 ,$Und $\phi _3$die Reichweite von $\phi _{ 1+2+ 3}$ist unbestimmt. Wir können zum Beispiel haben $k _1 = b\Lambda / 2 , k _2 = b\Lambda / 2 , k _3 = b \Lambda /2$Aber $k _{1+2+3} = 3 b \Lambda /2$. Daher können wir die Kreuzterme für keine der quartischen Wechselwirkungen fallen lassen.

Hinweis: Ich war hier schlampig in Bezug auf Konjugate, aber ich bin sicher, Sie verstehen die Idee.

Ich bin nicht genau, aber moralisch:

Stellen Sie sich vor, Sie würden alle Modi oberhalb einer Frequenz integrieren$b\Lambda$. In Betracht ziehen$\omega < b\Lambda < 3 \omega$.

Ein Modus$\phi$mit Frequenz$\omega$wenn es in drei Würfel geteilt wird, wird es einen Teil davon als Frequenzmodus haben$3 \omega$, seit:$\sin (3x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^3 (x)$. (Einfacher zu sehen${(e^{i \omega t})}^3 = e^{i 3 \omega t}$). So$\phi^3$kann Frequenzen über dem "Wilsonian Cutoff" enthalten$b \Lambda$man muss also auf sein inneres produkt achten$\hat{\phi}$(Denken Sie daran, Sie haben immer noch die$\int d^d k$) -- es wird nicht identisch null sein -- also können Sie diese Terme nicht wegwerfen.

---

EDIT: Ah, mir ist jetzt klar, dass meine Notation verwirrend sein könnte. Ich entschuldige mich. @JeffDror hat eine nette Antwort.

Denken Sie im Wesentlichen daran, dass diese Begriffe immer noch über einige Sätze von Impulsen integriert werden. Jeff hat deutlich gezeigt, wie die Impulserhaltung (was eine Gesamtsumme ergibt$\delta$-Funktion für die überintegrierten Impulse) zeigt das$\phi \hat{\phi}$wird verschwinden, während Sie dasselbe für höhere Impulse nicht sagen können.

Was die Verallgemeinerung meines Arguments betrifft, beachten Sie das

$$\int d^d x \phi(x) \phi(x) \longrightarrow \int d^d k_1 d^d k_2 \phi(k_1) \phi(k_2) \delta(k_1 + k_2) = \int d^d k \phi(k) \phi(-k)$$ (Der $-k$kommt wegen der Impulserhaltung.)

Wenn Sie einen Term höherer Ordnung betrachten

$$\int d^d x \phi(x) \phi(x) \phi(x) \phi(x) \longrightarrow \\ \int \; d^d k_1 \, d^d k_2 \, d^d k_3 \, d^d k_4 \; \phi(k_1) \phi(k_2) \phi(k_3) \phi(k_4) \delta(k_1 + k_2 + k_3 + k_4) \\ \neq \int d^d k_1 d^d k_2 \phi^2(k_1) \phi^2(k_2) \delta(k_1 + k_2)$$

Der letzte Term könnte durch ähnliche Argumente wie die, die ich oben gemacht habe, Null sein. Aber beachten Sie, dass es nicht dem entspricht, womit Sie begonnen haben . Ich hoffe, das lichtet den Nebel.