Photonenspinprojektion auf eine beliebige Achse

Der Grund hängt tatsächlich mit dem Fehlen des Ruherahmens zusammen.

Der Drehimpuls in Bezug auf die Achse$x$Einwirken auf einen Zustand (Objekt)$|\psi\rangle$wird von gegeben

Befindet sich das Teilchen im Ruhesystem, so ist sein Impuls$\vec p=0$. In diesem Fall ändern sich nur die$|\psi\rangle$Rotationsinduzierte sind solche, die etwas mit den Polarisationsvektoren oder Spinoren zu tun haben, also mit dem intrinsischen (Spin-)Anteil des Drehimpulses.

Wie auch immer, wenn$\vec p\neq 0$, und der Impuls eines Photons ist zwangsläufig ungleich Null, weil Photonen kein Ruhesystem haben können, dann die Drehung herum$x$ändert auch den Wert von$\vec p$, vorausgesetzt, dass$\vec p$zeigt in eine andere Richtung als$x$. Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass es auch einen Bahndrehimpuls ungleich Null gibt,$\vec L=\vec r\times \vec p$.

Also die Rotationskarten$|\psi\rangle$in einen völlig anderen Zustand, einen mit einer anderen Richtung$\vec p$. Folglich ist der Zustand kein Eigenzustand von Rotationen um$x$und ist daher kein Eigenzustand von$J_x$, entweder.

Für masselose Teilchen kann man nur Eigenvektoren von finden$J_x$für Teilchenzustände, deren Impuls$\vec p$geht auf der gleichen Achse$x$, dh man kann Eigenwerte von finden$\vec J\cdot \vec p / |\vec p|$, bekannt als Helizität.

Nur der Gesamtdrehimpuls bleibt erhalten. Aber selbst wenn Sie versuchen, den Spin des Photons (und ähnlich der Weyl-Neutrinos) künstlich von seinem Bahndrehimpuls zu trennen, werden Sie es versäumen, den Spin in Bezug auf andere Richtungen als die Bewegungsrichtung zu definieren. Das liegt an den Polarisationsvektoren$\vec \epsilon$von Photonen sind quer zur Bewegungsrichtung, so dass es überhaupt keine physikalischen Zustände der Photonen geben würde$\vec \epsilon$neben$\vec p$. Solche Längszustände wären erforderlich, um alles zu definieren$SO(3)$Drehungen eines gegebenen Photonenzustands, dh die Transformation des Zustands unter allen Komponenten zu untersuchen$\vec J$.

Entschuldigen Sie die Wiederholung einiger bereits von Luboš gemachter Punkte, aber kurz gesagt, der Spinoperator eines masselosen Teilchens ist kein Vektor und daher kann man seine räumliche Projektion nicht definieren.

Um den Unterschied zu verstehen, ist es wichtig, darauf hinzuweisen, warum der Operator für ein massives Teilchen ein Vektor ist . Dies ist aus dem von Luboš erklärten Grund so: Der Schwerpunktrahmen lässt die Rotationssymmetrie zu, die mit der Gruppe SU (2) (auch bekannt als Spin (3), eine Abdeckgruppe von SO (3)) und der entsprechenden Lie-Algebra ausgedrückt wird${\mathfrak su}(2) = {\mathfrak so}(3)$, die Algebra dreidimensionaler euklidischer Vektoren. Die Wirkung dieser Lie-Algebra auf Zustände des Teilchens bestimmt den sogenannten Spin-Operator. Sie können sich auch auf Warum sind die möglichen Ergebnisse der Messung der Spinprojektion in jeder Richtung für ein Spin-½-Teilchen gleich? Thread für Details über Spin-½-Teilchen.

Ein masseloses Teilchen mit gegebenem 4-Impuls lässt keine SO(3)-Symmetrie zu (hauptsächlich, weil es keine CoM-Rahmen gibt). Seine „kleine“ Symmetriegruppe ist E(2) , wobei eine physikalische Interpretation von Generatoren (der Lie-Gruppe) eine Rotation und zwei Lorentz-Boosts sind. Es führt nicht zu euklidischen Vektoren. Siehe auch den Kommentar unter Warum hat Photon nur zwei mögliche Eigenwerte der Helizität? für Gruppenaktionsdetails.