Ladungskonjugation auf willkürlicher Basis

Verwenden wir stattdessen die Majorana-Basis für Gamma-Matrizen, die ich mit einer Tilde bezeichne. Das Wichtigste an dieser Basis ist, dass alle Gammamatrizen imaginär sind, also die Dirac-Gleichung$(i\tilde{\gamma}^{\mu}\partial_\mu-m)\tilde{\psi}=0$ist real, und Lösungen können in rein reale und imaginäre Teile zerlegt werden. Also wenn$\tilde{\psi}$erfüllt die Gleichung so tut$\tilde{\psi}_c\equiv\tilde{\psi}^{*}$. So sieht die Ladungskonjugation in dieser Basis aus.

In einer anderen Basis von Gammamatrizen, sagen wir der chiralen Basis, müssen wir eine einheitliche Transformation durchführen$\psi=U\tilde{\psi}$. Dann

$$\psi_c=U\tilde{\psi}^*=U(U^\dagger \psi)^*=UU^T \psi^*\equiv\gamma^0C\psi^*,$$ wobei wir in der letzten Zeile die Matrix definiert haben $C$ $$\gamma^0C\equiv UU^T.$$ Oben ist also die Formel für die Ladungskonjugation auf willkürlicher Basis, wobei $C$ist durch die einheitliche Transformation von der Majorana-Basis definiert.

Der Grund, warum wir den Faktor von einbeziehen$\gamma^0$ist es$C$erfüllt die zweite von Ihnen erwähnte Identität. Dies folgt aus$\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0=\gamma^{\mu\dagger}$die durch unitäre Transformationen erhalten bleibt.

Daraus können wir die Verallgemeinerung der von Ihnen aufgelisteten Identitäten beweisen

$$C\gamma_\mu C^{-1}=-\gamma_\mu^T$$ $$-CC^*=1$$

Was nicht unbedingt allgemein ist$C=C^{-1}$. Ich habe hier das gleiche Argument wie im Artikel arXiv:1006.1718 präsentiert , also sollten Sie sich das vielleicht ansehen.