Darstellungen der Dirac-Algebra, hermiteschen Adjunkten und Spuren

Genau genommen ist das eine Mathe-Frage, aber da die Dirac-Algebra in der Physik viel wichtiger ist als in der Mathematik, dachte ich, ich hätte hier bessere Chancen, eine Antwort zu bekommen.

Die Dirac-Algebra kann als die der Minkowski-Metrik zugeordnete Clifford-Algebra definiert werden. In Physiktexten ist nicht immer klar, ob die reelle oder die komplexe Clifford-Algebra gemeint ist, ich würde sagen, moralisch ist es die reelle, aber streng genommen die komplexe. Letztere ist isomorph zur Algebra von$4\times 4$komplexe Matrizen, aber nicht auf kanonische Weise. Durch das Skolem-Noether-Theorem (und wahrscheinlich auch auf eine elementarere Weise) sehen wir, dass alle diese Isomorphismen konjugiert sind, und sogar, dass alle komplexen Darstellungen der echten Dirac-Algebra (die einfach ist) konjugiert sind.

In Physiktexten wird die Dirac-Algebra oft als Algebra von definiert$4\times 4$Matrizen, aber mit einer Darstellung von$\Bbb R^{1,3}$darin enthalten, in Form der vier (nicht spezifizierten) Matrizen$\gamma^\mu$.

In diesem Zusammenhang gibt es naheliegende Definitionen der Spur und des Hermiteschen Adjungierten, nämlich als Spur und Hermitescher Adjunkt der Matrix. Durch die obige Bemerkung und die Tatsache, dass die Spur unter Konjugation invariant ist, sehen wir, dass die Spur auf der Ebene der abstrakten Algebra wohldefiniert ist. Von der hermiteschen Konjugation ist das nicht so klar (ich weiß nicht, ob es stimmt).

Dies ist aus mehreren Gründen unbefriedigend:

• Wir wollen wirklich mit verschiedenen Repräsentationen arbeiten, daher wäre es schön, wenn wir die Spur auf eine Weise definieren könnten, die unabhängig von einer bestimmten Repräsentation ist, oder vielleicht einer kanonischen Repräsentation wie der regulären Repräsentation oder (noch besser) falls es welche gibt kanonischer 4-dimensionaler Raum, auf den es wirkt.
• Für andere Räume funktioniert das nicht so gut$\Bbb R^{1,d}$.
• Dinge wie die Trace-Identitäten sind chaotisch und schwer zu merken.

Meine Fragen:

• Funktioniert das nur gut in$\Bbb R^{1,3}$?
• Ist es richtiger oder sinnvoller, die Dirac-Algebra als die reelle oder die komplexe Clifford-Algebra zu betrachten?
• Gibt es eine kanonische oder darstellungsunabhängige Definition der Spur? Idealerweise eine, die für alle Clifford-Algebren funktioniert.
• Gibt es eine kanonische Definition des hermitischen Adjoints oder vielleicht ein hermitisches inneres Produkt?
• Kann die Dirac-Gleichung oder eher ein Dirac-Spinorfeld bequem in Bezug auf die abstrakte Dirac-Algebra interpretiert werden, ohne dass explizit auf eine 4-dimensionale Darstellung davon Bezug genommen wird?

BEARBEITEN

Es ist nicht schwer zu zeigen, dass die Dirac-Algebra eine einzigartige Anti-Involution hat, die ich bezeichnen werde$\ast$das befriedigt$\gamma^{\mu\ast} = g^\mu_{\ \ \nu}\gamma^\nu$. Wenn wir dies den Hermiteschen Adjoint nennen, würde dies das sagen$\gamma^0$ist hermitesch, und$\gamma^i$ist antihermitesch. Wir könnten dann verlangen, dass diese in einer Matrixdarstellung auf eine hermitische und antihermitische Matrizen abgebildet werden. Dies ist jedoch nicht automatisch: Es folgt nicht aus der algebraischen Struktur, dass dies der Fall sein muss, und muss als zusätzliche Anforderung an eine Darstellung der Dirac-Algebra angesehen werden.

Um explizit zu sein, könnte man die echte Clifford-Algebra oder betrachten$\Bbb R^{1,1}$. Diese lässt sich isomorph abbilden$\mathcal M_2(\Bbb R)$Sodass$\gamma^0$ist symmetrisch und$\gamma^1$ist antisymmetrisch. Es kann auch auf eine Unteralgebra von abgebildet werden$\mathcal M_2(\Bbb C)$Sodass$\gamma^0$ist hermitesch, und$\gamma^1$ist antihermitesch.