Höherrangige γγ\gamma-Matrix-Frage

Question

Höherrangige γγ\gamma-Matrix-Frage

Physik
Spinoren
Dirac-Matrizen
Clifford-Algebra
Quantenfeldtheorie
Klassische-Feld-Theorie

Marion

Ich habe gelesen, dass der höhere Rang $\gamma$ Matrizen können als alternative Kommutatoren und Antikommutatoren geschrieben werden. Beispielsweise kann die Rang-3-Gammamatrix geschrieben werden als

\begin{matrix} (1) & γ^{123} = \frac{1}{2} {γ^{1}, γ^{23}}, \end{matrix}

$\gamma^{123} = \frac{1}{2}\{\gamma^{1}, \gamma^{23} \}, \tag{1}$ Wo

\begin{matrix} (2) & γ^{23} = \frac{1}{2} [γ^{2}, γ^{3}] . \end{matrix}

$\gamma^{23} = \frac{1}{2}[\gamma^{2},\gamma^{3}]. \tag{2}$ Wenn wir nun (2) in (1) einsetzen, erhalten wir vier Terme und einen Gesamtfaktor von 1/2. Trotzdem erhalten wir, wenn wir die Permutationen von 1,2,3 nehmen, 6 Elemente, nämlich die symmetrischen

123, 312, 231

$123, 312, 231$ und die Antisymmetrie

132, 321, 213

$132, 321, 213$ . Somit haben wir 6 Elemente und wir sollten einen Gesamtfaktor von haben

1 / 3! = 1 / 6

$1/3! = 1/6$ .

Meine Frage ist: Gibt es einen Fehler in der Definition von (1)?

PS Beachten Sie das $\gamma^{1 \ldots d} = \gamma^{[1}\gamma^2 \ldots \gamma^{d]}$

Rexcirus

Meinst du Seite 41 von Supergravity? (Freedman-Van Proeyen)

Marion

Ja! genau das meine ich

Antworten (2)

Höherrangige γγ\gamma-Matrix-Frage

Rexcirus · Answer 1

Die Definition (achten Sie darauf, generischen Tensor nicht mit Tensorkomponenten zu verwechseln) des antisymmetrischen Gamma-Tensors lautet:

γ^{μ_{1} μ_{2} \dots μ_{R}} = γ^{[μ_{1} μ_{2} \dots μ_{R}]}

$\gamma^{\mu_1 \mu_2 \dots \mu_r}=\gamma^{[\mu_1 \mu_2 \dots \mu_r]}$

Für den höchsten Rang, den Sie haben $r=D$ , also müssen Sie alle möglichen Indizes verwenden. In Komponenten haben Sie beispielsweise die Identität:

γ^{123} = \frac{1}{3!} (γ^{123} - γ^{132} - γ^{213} + γ^{231} - γ^{321} + γ^{312})

$\gamma^{1 2 3}=\frac{1}{3!} (\gamma^{1 2 3}-\gamma^{132}-\gamma^{21 3}+\gamma^{231}-\gamma^{321}+\gamma^{312})$

das ist wahr, unter Verwendung der Antikommutativität der Gammamatrizen und der Tatsache, dass in Komponenten $\gamma^{1 2 3}=\gamma^{1 }\gamma^{2}\gamma^{ 3}$ . Mit dieser Argumentation können Sie zeigen, dass Ihr Ausdruck (1) wahr ist. (Sie haben zwei Faktoren 1/2, also insgesamt 1/4 und vier Terme)

Noch expliziter:

γ^{123} = \frac{1}{2} {γ^{1}, γ^{23}} = \frac{1}{2} (γ^{1} γ^{23} + γ^{23} γ^{1}) = \frac{1}{4} (γ^{1} γ^{2} γ^{3} - γ^{1} γ^{3} γ^{2} + γ^{2} γ^{3} γ^{1} - γ^{3} γ^{2} γ^{1}) = γ^{1} γ^{2} γ^{3} = γ^{123}

$\gamma^{123} = \frac{1}{2}\{\gamma^{1}, \gamma^{23} \}= \frac{1}{2}\left(\gamma^{1} \gamma^{23}+ \gamma^{23}\gamma^{1} \right)=\frac{1}{4}\left(\gamma^{1} \gamma^{2}\gamma^{3}-\gamma^{1} \gamma^{3}\gamma^{2}+\gamma^{2} \gamma^{3}\gamma^{1}-\gamma^{3} \gamma^{2}\gamma^{1} \right)=\gamma^{1} \gamma^{2}\gamma^{3}=\gamma^{123}$

Sicher, ich stimme dem zu, was Sie sagen. Aber wenn Sie (1) erweitern, erhalten Sie 4 Terme. Zwei, die haben $\gamma^1$ am Anfang und zwei, die es am Ende haben. Mir fehlen noch die beiden Begriffe, die es in der Mitte haben.
Ok, ich sehe, was ich falsch gemacht habe. Vielen Dank @Rexcirus. Wie dumm von mir!

Achmeteli · Answer 2

Achmeteli

Vielleicht fehlt mir etwas, aber in Ihrer Gl. (2) Auf der rechten Seite befinden sich zwei gleiche Terme, und der Faktor ist 1/2, um dies zu berücksichtigen. In Ihrer Gleichung (1) gibt es auch zwei gleiche Terme auf der rechten Seite, und der Faktor ist 1/2, um dies zu berücksichtigen. Es gibt keine Summierung über alle Permutationen in Ihren Formeln.

Marion

Welches sind die gleichen Begriffe?

γ^{2} γ^{3} \neq γ^{3} γ^{2}

$\gamma^2 \gamma^3 \neq \gamma^3 \gamma^2$

Achmeteli

@Marion:

γ^{2} γ^{3} = - γ^{3} γ^{2}

$\gamma^2 \gamma^3 = -\gamma^3 \gamma^2$

Marion

Klar, das kenne ich.

Achmeteli

@Marion: Was scheint dann das Problem zu sein? Der Antikommutator in (2) enthält diese beiden gleichen Terme.

Marion

Ich würde vergessen, diese Tatsache zu verwenden und würde versuchen, den gesamten 3-Rang-Tensor vollständig zu erweitern. Es ist wirklich einfach, aber in der Tat.

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