Ist Spinor die Summe aus Skalar, Vektor, Bi-Vektor, Pseudo-Vektor und Pseudo-Skalar?

Question

Ist Spinor die Summe aus Skalar, Vektor, Bi-Vektor, Pseudo-Vektor und Pseudo-Skalar?

Physik
Spinoren
Vektoren
Dirac-Matrizen
Standardmodell
Clifford-Algebra

Verrückter Max

Ist Spinor $\psi$ eigentlich die Summe aus Skalar, Vektor, Bi-Vektor, ..., Pseudo-Skalar?

Bevor wir über Spinoren sprechen, müssen wir zwei Arten von Raumzeit unterscheiden, demonstriert am Beispiel der Spinverbindung 1-Form $\omega$ in der Einstein-Cartan-Schwerkraft

ω = \frac{1}{4} ω_{μ}^{A B} γ_{A} γ_{B} D X^{μ} .

$\omega = \frac{1}{4}\omega^{ab}_{\mu}\gamma_a\gamma_bdx^{\mu}.$ Die Drehverbindung 1-Form

ω

$\omega$ ist ein

Vektor in Raumzeit-Mannigfaltigkeit, gekennzeichnet durch differentielle Vektorbasis $dx^{\mu}$ .
Bi-Vektor in interner (lokaler, tangentialer oder Spinorbündel) Raumzeit, gekennzeichnet durch Antisymmetrie $\gamma_a\gamma_b$ , Wo $\gamma_a$ sind Dirac-Vektorbasis.

(Ein Bonusbeispiel: die Torsion 2-Form $T = \frac{1}{2}T^{a}_{\mu\nu}\gamma_a dx^{\mu}dx^{\nu}$ ist ein Bi-Vektor bzw. ein Vektor in den beiden obigen Räumen)

Nun zurück zu unserer ursprünglichen Behauptung: Ein Spinor ist a

Skalar in Raumzeit-Mannigfaltigkeit, gekennzeichnet durch differentielle Vektorbasis $dx^{\mu}$ . Der Spinner $\psi$ ist ein $0$ -form.
Summe aus Skalar, Vektoren, Bi-Vektoren, ..., Pseudo-Skalar, in interner (Spinorbündel) Raumzeit, gekennzeichnet durch Dirac-Vektorbasis $\gamma_a$ : $\psi = \xi_s + \xi_v^{a}\gamma_a + \xi_{bv}^{ab}\gamma_a\gamma_b + ...$ . Die einzelnen Koeffizienten wie $\xi_s$ Und $\xi_v^a$ sind nur Zahlen (Grassmann ungerade), keine Spalten. Mit anderen Worten, ein Dirac-Spinor (zB ein Neutrino und ein Elektron zusammen als Isospin-Dublett) überspannt den gesamten Raum der 16 Elemente der "Dirac-Algebra"! Nicht nur irgendein Unterraum davon. Dies wird teilweise durch indirektes Projizieren eines Spinors auf die messbaren Komponenten wie Skalar-Bilinear belegt $tr(\bar{\psi}\psi)$ , Vektor bilinear (Strom) $tr(\bar{\psi}\gamma_a\psi)$ , Bivektor bilinear $tr(\bar{\psi}\gamma_a\gamma_b\psi)$ usw. Beachten Sie, dass hier ein Dirac-Spinor keine 4*1-Spalte mehr ist, sondern im selben Operatorraum lebt (4*4-Matrizen, wenn Sie so wollen, deshalb müssen wir Spuren tr(.. .) für Spinor-Bilineare oben), die von der Dirac-Algebra aufgespannt werden. Der konventionelle Säulenspinor ist nur eine idempotente Projektion (ein individuelles linkes Ideal wie ein Neutrino oder ein Elektron) des Matrixspinors. Es gibt nur 2 Spaltenspinoren (Elektron/Neutrino-Isospin-Dublett) statt 4: Die Reduktion von 4 auf 2 hat damit zu tun, dass 4*4-Komplexmatrizen eine 2-fache Überdeckung der echten Dirac-Algebra sind. Genauer gesagt das EchteDie Dirac-Algebra ist isomorph zu 2*2-Matrizen von Quaternionen anstelle von komplexen Zahlen, daher gibt es nur 2 Spalten. Das Schöne an diesem Matrix-Spinor-Ansatz (Isospin-Dublett) ist, dass Sie die interne Transformation der Lorentz-Gruppe modellieren können, die auf einer Seite des Spinors wirkt $\exp(\epsilon^{ab}\gamma_a\gamma_b)\psi$ (a,b = 0, 1, 2, 3) und eine schwache Gruppentransformation, die auf der anderen Seite desselben Spinors ähnlich wie wirkt $\psi \exp(\epsilon'^{ab}\gamma_a\gamma_b)$ (a, b = 1, 2, 3) . Wie sieht es mit Quarks und starken Wechselwirkungen aus? Hinweis: Sie müssen über die Dirac-Algebra hinausgehen.

Beachten Sie, dass es zwei Arten (externe und interne) von Lorentz-Transformationen gibt:

Externe Lorentz-Transformation (globaler Rotationsanteil des lokalen Diffeomorphismus) auf Differentialformen (z. B. elektromagnetisches Eichfeld 1-Form $A = A_{\mu}dx^{\mu}$ ) wird in der Raumzeit-Mannigfaltigkeit durchgeführt, die durch die differentielle Vektorbasis gekennzeichnet ist $dx^{\mu}$ .
Interne Lorentz-Transformation $\exp(\epsilon_{ab}\gamma_a\gamma_b)$ auf Dirac-Algebra-wertige Objekte wird in der inneren Raumzeit durchgeführt, die durch die gesamte Dirac-Algebra (Spinorfeld) gekennzeichnet ist $\psi$ ) oder Bi-Vektor/Vektor-Teil davon (Spin-Verbindung 1-Form $\omega$ /Tetrade 1-Form $e$ ).

Meistens gehen wir zwischen den Außen- und Innenräumen (zB Kahler-Dirac-Fermion) hin und her (und kommen damit durch), ohne es ausdrücklich zu erwähnen, dank der gelöteten 1-Form Vielbein/Frame/Tetrade $e$ , der ein Vektor in der Raumzeit-Mannigfaltigkeit ist, der durch eine differenzielle Vektorbasis gekennzeichnet ist $dx^{\mu}$ , sowie ein Vektor im Internal/Spinor-Bündel, der von der Dirac-Vektorbasis überspannt wird $\gamma_{a}$ .

In der flachen Raumzeit das Vielbein/Frame/Tetrade $e$ hat die Form:

e = e_{μ}^{A} γ_{A} D X^{μ} = δ_{μ}^{A} γ_{A} D X^{μ},

$e = e^{a}_{\mu}\gamma_adx^{\mu} = \delta^{a}_{\mu}\gamma_adx^{\mu},$ die die beiden Zwischenräume schön überbrückt, "Löten"

γ_{a}

$\gamma_a$ Und

d x^{μ}

$dx^{\mu}$ über Deltafunktion

δ_{μ}^{a}

$\delta^{a}_{\mu}$ und Erzeugen einer Minkowskischen Metrik

G_{μ v} \sim T R (e_{μ}^{A} γ_{A} e_{v}^{B} γ_{B}) = T R (γ_{μ} γ_{v}) \sim η_{μ v} .

$g_{\mu\nu} \sim tr(e^{a}_{\mu}\gamma_ae^{b}_{\nu}\gamma_b) = tr(\gamma_\mu \gamma_\nu) \sim \eta_{\mu\nu} .$

Beachten Sie, dass

< 0 | e_{μ}^{A} | 0 >= δ_{μ}^{A}

$<0|e^{a}_{\mu}|0>= \delta^{a}_{\mu}$ ein Vakuumerwartungswert ungleich Null des 1-Form-Feldes ist

e

$e$ , die sowohl die externe (Diffeomorphie) als auch die interne lokale Lorentz-Invarianz aufhebt . Ohne diesen gottgegebenen symmetriebrechenden Effekt wird unsere Raumzeit ohne Metrik und ohne die Vorstellung von Entfernung und Zeitintervall sein

G_{μ v} = 0.

$g_{\mu\nu} = 0.$ Eine (fast) metrische Raumzeit wäre ein perfekter Spielplatz für Wurmlöcher und Zeit-/Raumreisende.

ACuriousMind

Ich verstehe diese Frage nicht. 1. „Differenzraumverteiler“ ist kein Fachbegriff. Was meinst du? 2. Die Spin-Verbindung ist kein Spinor, daher ist unklar, warum Sie davon sprechen, dass es sich um einen "Vektor" oder einen "Bivektor" handelt (es ist kein "Bivektor"), und was dies mit der Frage zu tun hat was ein Spinor ist.

QMechaniker

Bemerkungen: 1. Dirac-Matrizen sollten von links nicht rechts multiplizieren. 2. Und nein, das ist kein Dirac-Spinor.

Verrückter Max

Es spielt keine Rolle @Qmechanic. Die Koeffizienten wie

ψ_{s}

$\psi_s$ Und

ψ_{v}^{a}

$\psi_v^a$ sind nur Zahlen (Grassmann ungerade), keine Spalten.

QMechaniker

Ein Dirac-Spinor

ψ

$\psi$ ist ein

4 \times 1

$4\times 1$ Spaltenvektor.

Verrückter Max

Nein, ein Dirac-Spinor lebt im Operatorraum, der von der Dirac-Vektorbasis aufgespannt wird

γ_{a}

$\gamma_a$ .

David z

@MadMax Bitte versuchen Sie, die Anzahl der von Ihnen vorgenommenen individuellen Änderungen zu minimieren. Jede Bearbeitung sollte alle Probleme mit Ihrer Frage beheben, die Sie zu diesem Zeitpunkt sehen, und Sie sollten einzelne Änderungen bündeln und nur einen Stapel davon auf einmal vornehmen. Wenn Sie feststellen, dass Sie einen bestimmten Beitrag insgesamt mehr als 3-5 Mal bearbeiten , machen Sie wahrscheinlich etwas falsch. Dieser spezielle Beitrag wurde 40 Mal bearbeitet, was viel zu oft ist. Bearbeiten Sie ihn also bitte nicht noch einmal und behalten Sie dasselbe Prinzip für andere von Ihnen erstellte Beiträge im Hinterkopf.

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Ist Spinor die Summe aus Skalar, Vektor, Bi-Vektor, Pseudo-Vektor und Pseudo-Skalar?

Ich verstehe diese Frage nicht. 1. „Differenzraumverteiler“ ist kein Fachbegriff. Was meinst du? 2. Die Spin-Verbindung ist kein Spinor, daher ist unklar, warum Sie davon sprechen, dass es sich um einen "Vektor" oder einen "Bivektor" handelt (es ist kein "Bivektor"), und was dies mit der Frage zu tun hat was ein Spinor ist.
Bemerkungen: 1. Dirac-Matrizen sollten von links nicht rechts multiplizieren. 2. Und nein, das ist kein Dirac-Spinor.
Es spielt keine Rolle @Qmechanic. Die Koeffizienten wie $\psi_s$ Und $\psi_v^a$ sind nur Zahlen (Grassmann ungerade), keine Spalten.
Nein, ein Dirac-Spinor lebt im Operatorraum, der von der Dirac-Vektorbasis aufgespannt wird $\gamma_a$ .
@MadMax Bitte versuchen Sie, die Anzahl der von Ihnen vorgenommenen individuellen Änderungen zu minimieren. Jede Bearbeitung sollte alle Probleme mit Ihrer Frage beheben, die Sie zu diesem Zeitpunkt sehen, und Sie sollten einzelne Änderungen bündeln und nur einen Stapel davon auf einmal vornehmen. Wenn Sie feststellen, dass Sie einen bestimmten Beitrag insgesamt mehr als 3-5 Mal bearbeiten , machen Sie wahrscheinlich etwas falsch. Dieser spezielle Beitrag wurde 40 Mal bearbeitet, was viel zu oft ist. Bearbeiten Sie ihn also bitte nicht noch einmal und behalten Sie dasselbe Prinzip für andere von Ihnen erstellte Beiträge im Hinterkopf.

ACuriousMind · Answer 1

Es gibt keine "zwei Raumzeiten". Es gibt eine einzige Raumzeit $M$ , das ist eine vierdimensionale Lorentzsche Mannigfaltigkeit, und es gibt ein paar Bündel darüber.
Die Spinverbindung ist formal eine Verbindungsform auf a $\mathrm{SO}(1,3)$ - Hauptbündel vorbei $M$ die auf alles wirken kann, was sich in eine Darstellung der Lorentz-Algebra umwandelt. Es ist kein Bivektor, sondern eine lokale 1-Form $\mathfrak{so}(1,3)$ -geschätzt. Als 1-Form hat es also Komponenten $\omega_\mu$ und als $\mathfrak{so}(1,3)$ -wertigen Objekt können wir es auf Basis der Lorentz-Algebra erweitern. Die Kommutatoren der $\gamma$ -Matrizen bilden eine Grundlage von $\mathfrak{so}(1,3)$ , damit wir Ihre Erweiterung erhalten $\omega = \omega_\mu\mathrm{d}x^\mu = {\omega_\mu}^{ab}[\gamma_a, \gamma_b] \mathrm{d}x^\mu$ . Weitere Informationen zur Spin-Verbindung finden Sie auch in dieser Antwort von mir .
Ein Spinorfeld ist jetzt eine Funktion, die Werte in einer spinoralen Darstellung annimmt $\mathfrak{so}(1,3)$ , zB das mit der Bezeichnung by $(1/2,1/2)$ , die Dirac-Darstellung. Daher kann die Drehverbindung darauf einwirken. Anders ausgedrückt, ein Spinor-Feld ist ein Abschnitt eines zugehörigen Bündels (des Spinor-Bündels ) zu dem Bündel, auf dem die Spin-Verbindung lebt, oder äquivalent dazu lebt die Spin-Verbindung im Rahmenbündel des Spinor-Bündels. Beachten Sie, dass dies ein Spinorfeld ist . Ein "Spinor" würde allgemein so verstanden werden, dass er überhaupt nicht auf einer Mannigfaltigkeit lebt und nur ein einzelner Vektor in der ist $(1/2,1/2)$ -Repräsentationsraum.

All dieses Gerede über Bündel ist jedoch für viele physische Anwendungen übertrieben, obwohl es gut ist, sich seiner Existenz bewusst zu sein. Meistens reicht es aus, die lokale Sichtweise einzunehmen (in der die Bündel Produkte sind), sodass die Spin-Verbindung einfach a ist $\mathfrak{so}(1,3)$ -bewertetes Feld, das auf andere Felder wirkt, die Werte in irgendeiner Darstellung annehmen $\mathfrak{so}(1,3)$ .

Der Ausdruck

ψ = ψ_{S} + ψ_{v}^{A} γ_{A} + \dots

$\psi = \psi_s + \psi_v^a \gamma_a +\dots$ was du aufschreibst macht in keinem dieser Zusammenhänge Sinn. Sie können eine Basis des Darstellungsvektorraums auswählen, in dem der Spinor Werte aufnimmt, und ihn in Bezug darauf erweitern, aber die

γ

$\gamma$ -Matrizen wirken auf den Spinor, sie sind keine Grundlage für seinen Raum.

Ein Spinor lebt im selben Operatorraum (4*4-Matrizen, wenn Sie so wollen), der von der Dirac-Vektorbasis aufgespannt wird $\gamma_a$ . Der Säulenspinor ist nur eine idempotente Projektion (links/rechts ideal) des Matrixspinors.
@MadMax Das ist eine nicht standardmäßige Behauptung. Warum denkst du das?

kηives · Answer 2

Dies sind K{\"a}hler-Dirac-Fermionen

Wie in den Kommentaren darauf hingewiesen wurde, erwägen Sie a $4 \times 1$ Spalte, die einen Dirac-Spinor darstellt. Offensichtlich kann man dies in a einbetten $4 \times 4$ Matrix aus Nullen und die Gleichung

(γ^{μ} \partial_{μ} - M) Ψ = 0 (1)

$\begin{equation} (\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi = 0 \quad \quad (1) \end{equation}$ macht Sinn. Eigentlich kann man alles schreiben

4 \times 4

$4 \times 4$ Matrix als

Ψ = F_{0} + F_{μ} γ^{μ} + \frac{1}{2} F_{μ v} γ^{μ} γ^{v} + \frac{1}{6} F_{μ v σ} γ^{μ} γ^{v} γ^{σ} + F_{0123} γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3}

$\Psi = f_0 + f_{\mu}\gamma^{\mu} + \frac{1}{2}f_{\mu \nu} \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} + \frac{1}{6}f_{\mu \nu \sigma}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\sigma} + f_{0123}\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}$ einschließlich der Spalte von oben.

Betrachten Sie nun die äußere Ableitung und ihre Adjungierte, $d$ Und $\delta$ . Man kann a konstruieren $p$ -Formularfeld als Linearkombination von $p$ -Formen als

ω = F_{0} + F_{μ} D X^{μ} + \frac{1}{2} F_{μ v} D X^{μ} D X^{v} + \frac{1}{6} F_{μ v σ} D X^{μ} D X^{v} D X^{σ} + F_{0123} D X^{0} D X^{1} D X^{2} D X^{3}

$\omega = f_{0} + f_{\mu} dx^{\mu} + \frac{1}{2}f_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu} + \frac{1}{6}f_{\mu \nu \sigma}dx^{\mu}dx^{\nu}dx^{\sigma} + f_{0123} dx^{0}dx^{1}dx^{2}dx^{3}$ und den Operator anwenden

(d - δ)

$(d - \delta)$ Zu

ω

$\omega$ . Was man findet, ist, dass die Aktion von

γ^{μ} \partial_{μ}

$\gamma^{\mu}\partial_{\mu}$ An

Ψ

$\Psi$ ist die gleiche wie die Aktion von

(d - δ)

$(d - \delta)$ An

ω

$\omega$ . Aber seit

Ψ

$\Psi$ ist ein

4 \times 4

$4 \times 4$ Matrix, Gl. (1) sind vier Kopien der Dirac-Gleichung, eine für jede Spalte. Im Gegenzug,

((D - δ) - M) ω = 0 (2)

$((d - \delta) - m)\omega = 0 \quad \quad (2)$ entspricht vier Kopien der Dirac-Gleichung, da die beiden Operatoren identisch auf ihre jeweiligen Objekte wirken. Gl. (2) gilt für jede Metrik, während Gl. (1) ist nur in flacher Raumzeit gut, und das Messen der Ableitung macht die Gleichungen (1) und (2) nicht gleich.

Die Referenzen, von denen ich das gelernt habe, sind Banks und Rabin .

Ich hoffe, das hilft, lassen Sie mich wissen, wenn ich das klären soll, vielleicht kann ich später noch etwas hinzufügen.

Kleinere Bemerkungen: 1, Ihr $\omega$ ist kein $p$ -Form, aber eine formale Summe von $p$ -Formen. 2. Dass jede 4x4-Matrix durch Produktsummen von aufgespannt werden kann $\gamma$ -Matrizen ist eine Manifestation der Tatsache, dass die Clifford-Algebren in gerader Dimension sind $n$ sind die vollen komplexen Matrizenalgebren der Dimension $2^{n/2}$ . 3. Ich denke, die Informationen in Ihrem Kommentar - dass dies Kähler-Dirac-Fermionen und nicht die Standard-Dirac-Fermionen sind - würden auch gut in diese Antwort passen.
@ACuriousMind Danke für die Kommentare. Ich weiß es zu schätzen, dass Sie darüber hinwegsehen. Ich werde einige Änderungen vornehmen.

doetoe · Answer 3

Ich denke, Sie meinen eigentlich "Element der Dirac-Algebra", wo Sie "Dirac-Spinor" sagen.

Die Dirac-Algebra ist die Clifford-Algebra des Minkowski-Raums. Dies ist die kleinste Algebra, die den Minkowski-Raum enthält $\mathbb R^{1,3}$ selbst, und damit für Elemente $v,w\in \mathbb R^{1,3}$ wir haben $vw = \langle v,w\rangle$ , Wo $vw$ ist das Produkt in der Dirac-Algebra, und $\langle v,w\rangle$ ist das innere Produkt der beiden, das ein Skalar ist, und als solches auch ein Element der Dirac-Algebra. Dies hat eine Darstellung als Algebra von $4\times 4$ Matrizen, wie Sie gut wissen.

Wenn wir schreiben $\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3$ für das Bild einer orthonormalen Basis von $\mathbb R^{1,3}$ in der Dirac-Algebra, dann ist es nicht schwer, diese Elemente der Form zu sehen $\gamma_{i_1}\cdots\gamma_{i_n}$ erzeugen tatsächlich die Dirac-Algebra über $\mathbb R$ (oder $\mathbb C$ wenn wir uns die komplexe Dirac-Algebra ansehen, was wir in vielen Situationen tun), mit anderen Worten, jedes Element der Dirac-Algebra kann in der Form geschrieben werden, die Sie aufgeschrieben haben.

Die invertierbaren Elemente der Dirac-Algebra enthalten eine wichtige Untergruppe, nämlich $\text{Spin}(\mathbb R^{1,3})$ von Elementen der Norm 1. Elemente der Spingruppe heißen auch keine Spinoren. Diese Gruppe hat eine einzigartige komplexe irreduzible Darstellung (bis hin zur komplexen Konjugation). Es sind Elemente dieser Darstellung, die fast Spinoren sind: Wenn wir nämlich die metrische Struktur des Tangentenbündels des Minkowski-Raums zu einer Spin-Struktur erheben, sind die Abschnitte sogenannte Dirac-Spinoren. Darüber sprach ACuriousMind.

Nein, "Dirac-Spinor" umfasst die gesamte "Dirac-Algebra" (es ist eigentlich der Kern der Frage! nicht nur ein Teilraum davon), während Spin (1,3) nur der Bi-Vektor-Teilraum ist, in dem Spin Verbindung/Lorentz-Algebra geschätzt.
Vielleicht meinst du das: die Spinor-Darstellung von $\text{Spin}(\mathbb R^{1,3})$ erstreckt sich auf eine Darstellung (dh einen linken Modul) der Dirac-Algebra. Da letzteres einfach ist, handelt es sich tatsächlich um eine direkte Summe von Kopien davon. In diesem Sinne können Dirac-Spinoren als Elemente der Dirac-Algebra angesehen werden. Ich bin mir nicht sicher, wie nützlich das ist: Es ist eine direkte Summe von 4 Kopien davon, die in der Matrixdarstellung jeweils aus Matrizen mit einer einzigen Spalte ungleich Null bestehen. Nimmt man Linearkombinationen von Elementen verschiedener Kopien, erhält man Größen, die nur indirekt mit Dirac-Spinoren zu tun haben.
Tatsächlich gibt es nur 2 Kopien davon: ein Elektron und ein Neutrino. Die Reduktion von 4 auf 2 hat zu tun. 4*4 komplexe Matrizen sind eine 2-fache Abdeckung der echten Clifford-Algebra.

Ist Spinor die Summe aus Skalar, Vektor, Bi-Vektor, Pseudo-Vektor und Pseudo-Skalar?

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