Inwiefern ist die chirale Zerlegung von Spinoren einzigartig?

Wir können ein Spinorfeld zerlegen ψ = ψ L + ψ R Wo ψ L = 1 2 ( 1 − γ 5 ) ψ Und ψ R = 1 2 ( 1 + γ 5 ) ψ . (Ich glaube, das liegt daran, dass die Clifford-Algebra vollständig reduzierbare Darstellungen hat?) Ist dies die einzige Möglichkeit für uns, den Spinor in links- und rechtshändige Teile zu zerlegen? Oder besser gesagt, gibt es eine andere Möglichkeit für uns, es aufzuschreiben? ψ = ψ L + ψ R ?

links- und rechtshändige Spinoren sind auf diese Weise definiert , und ihre explizite Struktur hängt auch von der Darstellung der verwendeten Gamma-Matrizen ab.
So wie du es geschrieben hast, haben wir es ψ = ψ L + ψ R . Aber wir können auch schreiben A ψ L = 1 2 ( 1 − γ 5 ) ψ und ähnlich für ψ R . Dann haben wir eine Linearkombination ψ = A ψ L + B ψ R . Wie bei einem Blick erwähnt, ist auch die Darstellung, die wir verwenden, von Bedeutung. A , B sind komplexe konstante Koeffizienten.

Antworten (1)

Linkshändige und rechtshändige Spinoren sind als Eigenzustände von definiert γ 5 mit Eigenwerten − 1 Und + 1 bzw. Der Vektorraum der Spinorzustände ist eine direkte Summe des Unterraums der Zustände von linkshändigen Spinoren und des Unterraums von rechtshändigen Spinoren. Die Betreiber P L = 1 2 ( 1 − γ 5 ) Und P R = 1 2 ( 1 + γ 5 ) sind die einzigartigen Projektoren auf diesen Unterräumen. Daher ist die Zerlegung eines Spinors in seine links- und rechtshändigen Teile einzigartig und Sie können die links- und rechtshändigen Teile erhalten, indem Sie mit den Projektoren auf den Spinor einwirken P L Und P R .

Um die obigen Aussagen zu überprüfen

  1. Überprüfe das γ 5 hat Eigenwerte ± 1 .
  2. Zeige, dass P L Und P R gehorchen P L 2 = P L Und P R 2 = P R (die Definition von Projektoren).
  3. Zeige, dass γ 5 P L ψ = − P L ψ Und γ 5 P R ψ = P R ψ für alle ψ was Ihnen sagt, dass die Projektoren tatsächlich auf die gewünschten Eigenräume projizieren.

Für diese müssen Sie verwenden ( γ 5 ) 2 = 1 .

Inwiefern ist die chirale Zerlegung von Spinoren einzigartig?
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