Lorentztransformationen und Gammamatrizen

Ich lese gerade Zees QFT in a nutshell, 2nd ed. Auf S. 97 unter Gl. 14 schreibt er:

S γ λ S − 1 = ω μ λ γ μ + γ λ .

Wir haben eine endliche Lorentz-Transformation aufgebaut, indem wir infinitesimale Transformationen zusammengesetzt haben (genau wie in der Standarddiskussion der Rotationsgruppe in der Quantenmechanik).

S γ λ S − 1 = Λ μ λ γ μ .

Ich habe Schwierigkeiten zu sehen, wie diese zweite Gleichung aus der ersten folgt. Ich würde mich sehr über Hilfe zu den Zwischenschritten freuen.

Schreiben Λ λ μ = δ λ μ + ω λ μ + Ö ( ω 2 ) . Mit anderen Worten, ω ist eine infinitesimale Lorentztransformation.

Antworten (1)

Wie von @suresh in den Kommentaren vorgeschlagen, erwägt er die infinitesimale Form von Λ v μ :

Λ v μ = δ v μ + ω v μ + Ö ( ω 2 ) .
Folglich haben Sie
S ( Λ ) γ λ S − 1 ( Λ ) = Λ μ λ γ μ = ( δ μ λ + ω μ λ ) γ μ = γ λ + ω μ λ γ μ ,
Wo S ( Λ ) ist die Spinordarstellung der Lorentztransformation mit Vektordarstellung Λ = 1 + ω .

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