Virasoro-Algebra vs. Witt-Algebra

Der Grund liegt im Grunde darin, dass die klassische konforme Symmetrie aufgrund der Präsenz der Spurenanomalie auf der Quantenebene nicht mehr gilt . Genauer gesagt, die Spurlosigkeit des Quantenspannungs-Energie-Tensors ist mit der normalen Ordnung, die zu seiner Definition benötigt wird, unvereinbar. Aus kohomologischen Gründen muss die Spur des Spannungs-Energie-Tensors, obwohl nicht verschwindend, ein zentrales Element der „quantisierten Witt-Algebra“ sein, dh sie muss mit all ihren Erzeugern kommutieren. Dies impliziert, dass die "quantisierte Witt-Algebra" eine nicht-triviale zentrale Erweiterung der Witt-Algebra sein muss, die in diesem speziellen Fall bis auf die Isomorphie eindeutig sein muss (danke an user106422 für die Erinnerung an diesen Punkt unten) - also eine Virasoro-Algebra .

Eine Darstellung, die mir zu solchen Themen besonders gefällt, ist das Büchlein von Martin Schottenloher, "A Mathematical Introduction to Conformal Field Theory" (2nd. edition), Lecture Notes in Physics 759 (Springer -- Verlag, 2008).

Edit (15. Juni 2022): Das kommt mehr als sechs Jahre zu spät, aber erst jetzt habe ich es geschafft, über Peter Kravchuks zwei (richtige) Punkte in seinen Kommentaren nachzudenken. Ich entschuldige mich bei allen.

1. Tatsächlich tritt die Spurenanomalie nur in gekrümmter Raumzeit auf. Genauer gesagt, wenn Ihr Referenzzustand ein Nahverhalten ähnlich dem des Minkowski-Vakuumzustands hat (bei Lagrange-Freifeldern reduziert sich dies auf die Hadamard-Eigenschaft für die Zweipunktfunktion in diesem Zustand), der Erwartungswert der Spur des normalgeordneten Spannungs-Energie-Tensors (bzgl. des vorgenannten Referenzzustands durch z. B. Punktaufspaltung und Ausnutzung der Operatorproduktentwicklung) zustandsunabhängig und sowohl zur Zentralladung als auch zur skalaren Krümmung proportional ist (auch wenn z. B. in der Im Fall von Lagrange-freien Feldern koppeln Sie das Feld konform an die Krümmung, um die konforme Symmetrie des Modells auf dem klassischen Niveau zu halten). Mit anderen Worten, die Spurenanomalie ist immer da; wir sehen es einfach nicht, wo die Skalarkrümmung verschwindet. Die Rolle des letzteren besteht darin, durch die Kopplung der Felddynamik mit der Hintergrundmetrik eine Skala in das Modell einzuführen. Die Krümmung ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, dies zu tun; eine andere besteht darin, der konformen Feldtheorie Randbedingungen aufzuerlegen - die Casimir-Energie wird dann auch als proportional zur zentralen Ladung angesehen. In der Regel manifestiert sich die zentrale Ladung physikalisch als Reaktion des konformen Feldmodells auf die Einführung einer externen makroskopischen Skala durch einen teilweisen (anomalen, nicht spontanen) Zusammenbruch dieser Symmetrie. Eine ausführlichere Diskussion hierzu findet sich zB auf den Seiten 138-146 des Buches von P. Di Francesco, P. Mathieu und D. Sénéchal, Die Rolle des letzteren besteht darin, durch die Kopplung der Felddynamik mit der Hintergrundmetrik eine Skala in das Modell einzuführen. Die Krümmung ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, dies zu tun; eine andere besteht darin, der konformen Feldtheorie Randbedingungen aufzuerlegen - die Casimir-Energie wird dann auch als proportional zur zentralen Ladung angesehen. In der Regel manifestiert sich die zentrale Ladung physikalisch als Reaktion des konformen Feldmodells auf die Einführung einer externen makroskopischen Skala durch einen teilweisen (anomalen, nicht spontanen) Zusammenbruch dieser Symmetrie. Eine ausführlichere Diskussion hierzu findet sich zB auf den Seiten 138-146 des Buches von P. Di Francesco, P. Mathieu und D. Sénéchal, Die Rolle des letzteren besteht darin, durch die Kopplung der Felddynamik mit der Hintergrundmetrik eine Skala in das Modell einzuführen. Die Krümmung ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, dies zu tun; eine andere besteht darin, der konformen Feldtheorie Randbedingungen aufzuerlegen - die Casimir-Energie wird dann auch als proportional zur zentralen Ladung angesehen. In der Regel manifestiert sich die zentrale Ladung physikalisch als Reaktion des konformen Feldmodells auf die Einführung einer externen makroskopischen Skala durch einen teilweisen (anomalen, nicht spontanen) Zusammenbruch dieser Symmetrie. Eine ausführlichere Diskussion hierzu findet sich zB auf den Seiten 138-146 des Buches von P. Di Francesco, P. Mathieu und D. Sénéchal, eine andere besteht darin, der konformen Feldtheorie Randbedingungen aufzuerlegen - die Casimir-Energie wird dann auch als proportional zur zentralen Ladung angesehen. In der Regel manifestiert sich die zentrale Ladung physikalisch als Reaktion des konformen Feldmodells auf die Einführung einer externen makroskopischen Skala durch einen teilweisen (anomalen, nicht spontanen) Zusammenbruch dieser Symmetrie. Eine ausführlichere Diskussion hierzu findet sich zB auf den Seiten 138-146 des Buches von P. Di Francesco, P. Mathieu und D. Sénéchal, eine andere besteht darin, der konformen Feldtheorie Randbedingungen aufzuerlegen - die Casimir-Energie wird dann auch als proportional zur zentralen Ladung angesehen. In der Regel manifestiert sich die zentrale Ladung physikalisch als Reaktion des konformen Feldmodells auf die Einführung einer externen makroskopischen Skala durch einen teilweisen (anomalen, nicht spontanen) Zusammenbruch dieser Symmetrie. Eine ausführlichere Diskussion hierzu findet sich zB auf den Seiten 138-146 des Buches von P. Di Francesco, P. Mathieu und D. Sénéchal,Konforme Feldtheorie (Springer-Verlag, 1997).
2. In vier Dimensionen ist die konforme Lie-Algebra (semi)einfach und hat daher keine nichttrivialen zentralen Erweiterungen, aber sowohl die Spuranomalie bei Vorhandensein von Krümmung als auch die Casimir-Energie bei Vorhandensein von Randbedingungen bleiben bestehen, also was ändert sich? Nun, erinnern Sie sich, dass in vier Dimensionen konforme Transformationen (in Lorentz-Signatur) Zusammensetzungen aus Poincaré-Transformationen, (starren) Skalentransformationen und den sogenannten speziellen konformen Transformationen sind, während die Gruppe der konformen Transformationen in zwei Dimensionen viel größer ist als die (in Tatsache, unendlich dimensional!). In der euklidischen Signatur (eine der beiden chiralen Komponenten von) besteht die auf die gleiche Weise wie in höheren Dimensionen erzeugte konforme Untergruppe aus Möbius-Transformationen auf der komplexen Ebene und entspricht daher der halbeinfachen Lie-Gruppe$SL(2,\mathbb{R})$. Der entsprechende "starre" (Möbius) Teil der Witt-Lie-Algebra (erzeugt von$l_0$,$l_1$Und$l_{-1}$), die alle Möbius-Transformationen erzeugt, sieht keine Änderung in den Kommutierungsbeziehungen zwischen ihren Erzeugern, wenn wir die zentrale Erweiterung durchführen, um die Virasoro-Algebra zu erhalten, da der zentrale Teil von$[l_n,l_m]$wird dann durch gegeben$\frac{c}{12}(n^3-n)\delta_{m+n,0}$, Wo$c$ist die zentrale Ladung. Mit anderen Worten, die Möbius-Lie-Subalgebra "sieht" nicht$c$, genau wie in höheren Dimensionen. Nichtsdestotrotz zeigt das Erscheinen der skalaren Krümmung in der Spuranomalieformel, dass diese Anomalie wirklich nur "lokale" (dh nicht-"starre") konforme Transformationen betrifft. Bei Randbedingungen wirken sie auf die Feldalgebra selbst (zB bei freien Feldern muss die kausale Kommutator-Green-Funktion die Randbedingungen beachten) und damit auch auf die Normalordnung des Spannungs-Energie-Tensors durch Verschiebung um zentrale Elemente von die Feldalgebra. Natürlich überleben normalerweise globale (bzw. "starre" = Möbius) konforme Transformationen (bzw. in zwei Dimensionen) weder die Einführung von Krümmungen noch Randbedingungen, so dass die Rolle der ("starren"