Konforme Kompatibilität von Minkowski und AdS

Die konforme Kompaktifizierung soll zum projektiven Raum gehören, also identifizieren wir immer noch Punkte entlang der Strahlen (Äquivalenzklassen unter Skalierung)

$$(u,v,x_i)\sim \lambda (u,v,x_i), \quad \lambda \neq 0$$ Dann gibt es noch die quadrische Gleichung, die Sie aufgeschrieben haben – eine Gleichung, die die obige Identifizierung respektiert – also beide hinzugefügten Variablen $u,v$sind ziemlich entfernt.

Für$v\neq 0$, Sie können skalieren$v$unter Verwendung der obigen Äquivalenz zu$v=1$, Und$u$wird durch die Quadrik bestimmt. Also die$v\neq 0$Ein Teil der konformen Verdichtung kann durch parametrisiert werden$x_i$, Genau so, wie Sie sagten.

Für$v=0$, erhalten wir eindeutig "neue Punkte", die dem Minkowski-Raum hinzugefügt werden. Der resultierende Raum ist also nicht ganz derselbe wie der Minkowski-Raum. Es hat neue Punkte. Wenn es genau dasselbe wäre, würden wir es nicht "die konforme Verdichtung des Minkowski-Raums" nennen, sondern nur "den Minkowski-Raum" (in anderen Koordinaten).

Die Punkte, für die Sie erhalten$v=0$kann eine willkürliche$u$aber Sie haben immer noch die Gleichung, die sich reduziert auf

$$\eta_{ij} x^i x^j = 0$$ und die Skalierungsäquivalenz. Letzteres ermöglicht uns die Einstellung $u=1$, Zum Beispiel. Also addieren sich die Punkte ab $v=0$stehen in einer Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den Nullvektoren $x^i$im Minkowski-Raum. Sie können diese auch neu visualisieren $v=0$Punkte anders. Wenn Sie den Vektor skalieren $(u,v,x^i)$mit $v=0$damit du bekommst $v=1$, beide $u$Und $x^i$wird auf unendliche Werte skaliert. Genauer gesagt, stellen Sie sich vor $v=\epsilon$, $u=c_u/\epsilon$, $x^i= c_x^i / \epsilon$. Hier $c_u$wird aus der Quadrik berechnet, aber der Punkt ist, dass wir Klassen von Punkten hinzufügen $c^x_i/\epsilon$die im Unendlichen liegen – sowohl in raumartiger, zeitartiger als auch in Nullrichtung. Es wäre eine spezielle Diskussion erforderlich, um die Topologie in der Nähe des Nullübergangs zwischen den beiden Regionen usw. zu beschreiben.

Diese besonderen Feinheiten machen die Interpretation der winkeltreuen Verdichtung etwas kompliziert. Das Ergebnis ist für den 1+1-dimensionalen Minkowski-Raum einfach. Die konforme Verdichtung ist eigentlich$S^1\times S^1$. Das Kausaldiagramm von Penrose sieht so aus$I^1\times I^1$, das Produkt zweier Linienintervalle (die Raute), aber die konforme Verdichtung vervollständigt es und verbindet die Endpunkte beider Linienintervalle, um einen Kreis zu erzeugen. Aufgrund der Diskussion über das Penrose-Kausaldiagramm sehen wir möglicherweise, dass wir nicht wirklich Punkte im Unendlichen aus "generischen Richtungen" hinzufügen, sondern nur diejenigen, die nahe am Lichtkegel liegen. Generische Punkte im Unendlichen hätten$\eta_{ij}x^ix^j$Skalierung wie$1/\epsilon^2$aber die konforme Verdichtung wählt nur diejenigen aus, bei denen dies skaliert wird$1/\epsilon$.

Wenn Sie hinzufügen$1$Auf der rechten Seite der quadratischen Gleichung erhalten Sie nicht nur eine "konforme Verdichtung des AdS-Raums". Sie erhalten die AdS-Fläche selbst! Der globale AdS-Raum kann als das Hyperboloid definiert werden, das genau durch die von Ihnen aufgeschriebene Gleichung gegeben ist, in diesem Fall ohne Skalierungsidentifikationen (die Gleichung ist aufgrund der$1$Begriff auf der rechten Seite, also wäre es unmöglich). Und tatsächlich, das kann man sehen$AdS_{d+1}$hat die Symmetrie$SO(d,2)$aus dem (um eins) höherdimensionalen Raum, in dem das Hyperboloid eingebettet ist.