Sehr grundlegende Frage zu AdS/CFT

Hier ist eine Antwort auf die Frage, warum die$AdS_5\times S^5$Metrik erscheint. Dies ist fast direkt den TASI-Vorlesungen entnommen, die ich am Ende zitiere.

Wenn Sie N koinzidente Dp-Branes betrachten, hat die Hintergrundlösung eine Metrik und Dilaton, die wir schreiben können

$$ds^2 = H^{-1/2}(r)\left[-f(r)dt^2 +\sum_{i=1}^p(dx^i)^2\right]+H^{1/2}(r)\left[f^{-1}(r) dr^2+r^2 d\Omega_{8-p}^2\right]$$ $$e^{\Phi}=H^{(3-p)/4}(r)$$ mit den Warp-Faktoren $$H(r)=1+\frac{L^{7-p}}{r^{7-p}}, \quad f(r)=1-\frac{r_0^{7-p}}{r^{7-p}}$$ Wenn du nimmst $p=3$, so dass Sie jetzt einen Stapel von D3-Branes betrachten und zusätzlich die sogenannte Extremalgrenze ( $r_0\rightarrow 0$), dann ist dieser Messwert mit dem identisch, nach dem Sie gefragt haben. Das ist nicht ganz $AdS_5\times S^5$noch. Alles, was Sie jetzt tun müssen, ist, das Limit zu nehmen $\frac{r}{L}\rightarrow 0$und dir wird nichts anderes übrig bleiben als $$ds^2=\frac{L^2}{z^2}(-dt^2+d\vec{x}^2+dz^2)+L^2 d\Omega_5^2$$ das ist die übliche Metrik für $AdS_5\times S^5$.

Literatur: „TASI Lectures: Introduction to the AdS/CFT Correspondence“, https://arxiv.org/abs/hep-th/0009139

Zunächst durch$S$-Dualität des Typs IIB, es ist immer möglich, beizubehalten$g_s<1$. Wir werden über einen Stapel sprechen$N$D3-Branes in zwei Situationen:

1. $Ng_s$klein: Der Stapel verformt den Hintergrund nicht, sondern stört ihn nur. Diese Störungen werden durch die Kopplung von D3-Branes und Close-String-Zuständen beschrieben. Denken Sie daran, dass enge String-Zustände dual zu kleinen Störungen des Hintergrunds durch die Zustands-Operator-Korrespondenz sind.

2. $Ng_s$groß: Der Stapel erzeugt eine große Energiekonzentration pro Länge, so dass er selbst bei kleiner Saitenkopplung den Hintergrund verformen und nicht nur stören kann. Supersymmetrie fixiert vollständig die Hintergrundkonfiguration in führender Reihenfolge$\alpha '$. Diese Hintergrundkonfiguration ist bekannt als die$3$-schwarze Branlösung.

Die Idee der großen N-Dualität besteht darin, zu vermuten, dass beide Beschreibungen komplementäre Beschreibungen desselben physikalischen Systems sind. Insbesondere in der Entkopplungsgrenze, wo die Freiheitsgrade des Stapels von der Schwerkraft entkoppelt sind.

In der ersten Beschreibung oben ist die Entkopplungsgrenze offensichtlich (auf einige offene Saitenzustände abschneiden), während dies in der zweiten nicht der Fall ist. Tatsächlich wird in der zweiten Beschreibung die Entkopplungsgrenze als horizontnahe Grenze verstanden. Der Horizont ist unendlich weit von den Beobachtern entfernt, die am Anfang des Rachens sitzen, und daher ist diese Grenze wie ein sehr tiefes Eintauchen in den Rachen. Die Raumzeit dort sieht aus wie eine$AdS_{5}\times S^{5}$. Dann bedeutet die große N-Dualitätsvermutung, dass die leeren Saiten eines Stapels von D3-Branes in der Entkopplungsgrenze dual zur Supersaite vom Typ IIB auf der sind$AdS_{5}\times S^{5}$.

Um nun konkrete Formeln für diese Dualität zu erhalten, ist es interessant, ein System von zu nehmen$N+n$D3-Branes, mit$n$viel kleiner als$N$. Dann bewegt man die$n$ $D3$-Branes weg vom Stapel$N$ $D3$-Branes ändert die Hintergrundverformung in der zweiten Beschreibung nicht (die für$Ng_s$groß) da$ng_S$ist viel kleiner als$Ng_s$. Diese sind als D3-Brane-Sonden bekannt.