Stringtheorie und eine Idee der "Quantenstruktur der Raumzeit"

Sie können damit beginnen, die Polyakov-Aktion für die Saite in einer flachen Hintergrundmetrik zu untersuchen$\eta_{\mu\nu}$

$$S_P = \frac{1}{4\pi \alpha '}\int d^2\sigma \sqrt{h}h^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu \eta_{\mu\nu}$$ und Sie finden, dass die geschlossene Saite eine masselose Erregung enthält, die mit dem Graviton identifiziert wird. Eine gekrümmte Raumzeit kann als kohärenter Zustand von Gravitonen interpretiert werden (Analogie: Eine Laserfeldkonfiguration ist ein kohärenter Zustand von Photonen), daher sollten wir bei Gravitonanregungen im Allgemeinen einen String in gekrümmter Raumzeit mit Metrik betrachten $G_{\mu\nu}(X)$: $$S_\sigma = \frac{1}{4\pi \alpha '}\int d^2\sigma \sqrt{h}h^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu G_{\mu\nu}(X).$$ Nun könnte man sich fragen, warum es gerechtfertigt ist, einfach die Zielraummetrik zu ändern. Aber wenn Sie eine Metrik in Betracht ziehen, die nahezu flach ist, können Sie sie erweitern $$G_{\mu\nu}(X)=\eta_{\mu\nu}+\chi_{\mu\nu}(X)$$ wo $\chi_{\mu\nu}(X)$ist eine kleine Störung. Für das Weltblattwegintegral beträgt dies $$Z=\int \mathcal{D}X\mathcal{D}h\exp(-S_\sigma)=\int \mathcal{D}X\mathcal{D}h\exp(-S_P)\left(1-\frac{1}{4\pi \alpha '}\int d^2\sigma \sqrt{h}h^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu \chi_{\mu\nu}(X)+\cdots\right)=\int \mathcal{D}X\mathcal{D}h\exp(-S_P)\left(1-V+\frac{1}{2}V^2\cdots\right)$$ wo ich bezeichne $$V=\frac{1}{4\pi \alpha '}\int d^2\sigma \sqrt{h}h^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu \chi_{\mu\nu}(X).$$ Für $\chi_{\mu\nu}=g_c \zeta_{\mu\nu}\mathrm{e}^{ik\cdot X}$Dies ist der Scheitelpunktoperator für eine ebene Gravitonwelle, aber allgemeiner $\chi$könnte berücksichtigt werden. Ein einzelner Scheitelpunktoperator $V$würde einen einzelnen Graviton-Zustand geben, aber das Exponential wie hier einfügen, $\exp(V)$, entspricht einem kohärenten Zustand von Gravitonen, was, wenn man in den obigen Argumenten rückwärts geht, einer Veränderung entspricht $$\eta_{\mu\nu} \rightarrow \eta_{\mu\nu}+\chi_{\mu\nu}=G_{\mu\nu}.$$ Fazit: Durch das Aufschreiben der Aktion für eine Saite in einer gekrümmten Raumzeit haben wir implizit einen kohärenten Zustand von Gravitonen eingefügt, so dass die Hintergrundkurvenmetrik tatsächlich aus quantisierten Gravitonen besteht.

Wenn Sie das Sigma-Modell weiter studieren$S_\sigma$, stellen Sie fest, dass die Forderung nach konformer Invarianz (durch Studium der$\beta$-Funktion) ist, dass der Zielraum Ricci flach ist

$$\mathcal{R}_{\mu\nu}=0,$$ dh es gibt die Einstein-Gleichungen im Vakuum. Das Hinzufügen des Kalb-Ramond-Feldes und der Dilatation zur Aktion wird Beiträge zu den Einstein-Gleichungen liefern.