VEVs von Wilson-Schleifen in der Chern-Simons-Theorie mit kompakten Eichgruppen liefern uns farbige Jones-, HOMFLY- und Kauffman-Polynome. Ich habe die Berechnung für Wilson-Schleifen in der Chern-Simons-Theorie mit nicht kompakten Messgerätgruppen nicht gesehen. Ich denke, was uns davon abhält, sie zu berechnen, ist auf unendlich dimensionale Darstellungen von nicht kompakten Messgerätgruppen zurückzuführen.
Was sind die Probleme bei der Berechnung von Wilson-Schleifen in nicht kompakten Spurweitengruppen? Gibt es einen Vorschlag, sie zu berechnen? Besonders interessieren mich die einfachsten Fälle von Und .
Das ist eher ein Kommentar.
Das erste offensichtliche Problem ist, dass die Zustandssumme manchmal unendlich sein kann. Zum Beispiel, ist die Dimension des Hilbert-Raums, an dem befestigt ist , die für eine nicht kompakte Gruppe unendlichdimensional ist .
Das zweite Problem ist die Wahl der Darstellung. Strangbeziehungen in Chern-Simons entstehen aufgrund der Endlichkeit des Hilbert-Raums, der angehängt ist mit 4 markierten Punkten (2 positiv orientierte und 2 negativ orientierte). Wenn der Hilbert-Raum beispielsweise -dimensional, die nach ausgewerteten Zustandssummenfunktionen verschiedene Kreuzungen sollten linear abhängig sein, das ist die Strangbeziehung. Eine einfache Rechnung zeigt das ist die Anzahl der irreduziblen Darstellungen, die in vorkommen , Wo ist die an den Knoten gebundene Repräsentation. Einerseits wollen Sie also endlichdimensional zu sein (in diesem Fall gibt es eine Strangbeziehung). Andererseits geben endlichdimensionale Darstellungen die gleichen Antworten wie die kompakte Form, zumindest auf der Störungsebene (diese Behauptung erscheint in den Arbeiten von Gukov und Witten), sodass die Menschen nicht so sehr an ihnen interessiert sind.
Wie wäre es mit geometrischer Quantisierung , wie hier oder hier oder hier .
Dehnung
QMechaniker
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