Warum bricht ein Monopoloperator die globale Symmetrie mit topologischem Strom?

Eichtheorien werden oft mit höheren Form "elektrischen" und "magnetischen" globalen Symmetrien ausgestattet. Die Kopplung solcher Theorien an elektrisch oder magnetisch geladene Quellen bricht explizit die entsprechende Symmetrie (entweder teilweise oder vollständig).

Lassen Sie mich zunächst überprüfen, wie dies für den bekannteren Fall von funktioniert$\mathrm{U}(1)$Eichtheorien in 4d. Betrachten Sie also ein abelsches Eichfeld der 1-Form$A$mit Feldstärke$F=\mathrm{d}A$auf einer 4er-Mannigfaltigkeit$M$. Beginnen Sie mit der reinen Eichtheorie, mit Aktion

$$S \propto \int_M F \wedge \star F.$$

(Wir müssen eigentlich nicht über eine Aktion sprechen, aber es kann die Dinge in einfachen Beispielen transparenter machen.) Die Bewegungsgleichung und die Bianchi-Identität sagen das aus

$$\mathrm{d} \star F = 0 \quad\text{and}\quad \mathrm{d} F = 0.$$

In der Quantentheorie sind dies Operatorgleichungen. Das heißt, wir haben zwei verschiedene 2-Form-Erhaltungsströme$j= F$Und$\tilde j = \star F$, die befriedigen$\mathrm{d} \star j = \mathrm{d} \star \tilde j=0$. Jedes davon ist ein$\mathrm{U}(1)$1-Form globale Symmetrie, oft "elektrisch" genannt ($\mathrm{U(1)_E}$) und "magnetisch" ($\mathrm{U(1)_M}$), bzw. Sie werden 1-Form-Symmetrien genannt, weil die geladenen Objekte, Wilson-Linien und 't-Hooft-Linien, auf 1-Mannigfaltigkeiten gestützt werden. (Während für gewöhnliche 0-Form-Symmetrien die geladenen Objekte lokale Operatoren sind). Sie können sie sich als Weltlinien elektrischer Sondenladungen und magnetischer Monopole vorstellen. Der$\mathrm{U(1)_E}$Und$\mathrm{U(1)_M}$Ladungen selbst werden durch Integration erhalten$\star j$Und$\star \tilde j$über 2 Sphären, die diese Linien verbinden,$Q = \oint_{S^2} \star F$Und$\tilde Q = \oint_{S^2} F$. Diese messen natürlich nur die elektrischen und magnetischen Ladungen des Teilchens, dessen Weltlinie sie umgeben.

In diesen Variablen nimmt einfach eine Wilson-Linie die Form an$W_q(C) = e^{iq\oint_C A}$. Die elektrische 1-Form-Symmetrie entspricht der Invarianz der Wirkung unter der Verschiebung$A \to A + \lambda$, Wo$\lambda$ist ein ebenes Feld$(\mathrm{d}\lambda = 0),$und klar$W_q(C)$transformiert sich unter dieser Symmetrie. Die Wilson-Linie fügt eine Quelle in die Bewegungsgleichung ein,$\mathrm{d}\star F = q \delta_C$. Die 't Hooft-Linie ist in ähnlicher Weise die Holonomie des Feldes mit zwei Spurweiten$\hat A$, und die magnetische 1-Form-Symmetrie würde ebenfalls einer Verschiebung entsprechen$\hat A$durch ein flaches Eichfeld, wenn wir die Theorie in den dualen Variablen geschrieben haben. In Bezug auf die ursprünglichen Variablen, den 't Hooft-Operator$H_m(C)$entspricht einer Löschvorschrift$C$aus$M$und das verlangen$\oint_{S^2} F = 2\pi m$, Wo$S^2$ist eine Kugelverknüpfung$C$. Entsprechend fügt der 't Hooft-Operator eine Quelle in die Bianchi-Identität ein,$\mathrm{d} F = 2\pi m \delta_C$.

Bisher haben wir die reine Eichtheorie besprochen. Nehmen wir nun an, wir koppeln es an elektrisch geladene Materie (z. B. an ein Feld mit Ladung 1). Die geladene Materie geht als Quelle in die Bewegungsgleichung ein,$\mathrm{d} \star F = \star j_E$, und bricht explizit die elektrische 1-Form-Symmetrie. In ähnlicher Weise bricht die Kopplung der Theorie an einen Monopoloperator explizit die magnetische 1-Form-Symmetrie.

Hoffentlich können Sie jetzt die Antwort auf Ihre ursprüngliche Frage sehen. Die Autoren erwägen eine 3D-Theorie mit abelschen Eichfeldern$b$Und$\hat b$. Wie immer implizieren die Bianchi-Identitäten in Abwesenheit von magnetisch geladener Materie die Existenz konservierter Ströme$\star \mathrm{d}b$Und$\star \mathrm{d} \hat b$. Beachten Sie, dass dies, da wir uns in drei Dimensionen befinden, gewöhnliche globale Symmetrien der 0-Form sind. Die Theorie hat also zwei$\mathrm{U(1)}$gewöhnliche globale Symmetrien (beide "magnetisch" in der obigen Sprache). Jetzt koppeln sie die Theorie an einen Monopoloperator für$\hat b$. Dies führt eine magnetische Quelle in die Bianchi-Identität ein$\mathrm{d}\hat b$, und unterbricht explizit die entsprechende$\mathrm{U(1)}$Symmetrie.

(Ich glaube nicht$\phi^\dagger \mathcal{M}_{\hat b}$ist ein Tippfehler. Sie sagen, dass$\mathcal{M}_{\hat b}$trägt eine Ladung unter der$b$Symmetrie messen und daher mit multiplizieren$\phi^\dagger$um einen eichinvarianten Operator zu erstellen.)