Warum ist der Lagrangian von GR nicht RabcdRabcdRabcdRabcdR_{abcd}R^{abcd}? Was ist die mathematische oder physikalische Bedeutung von RabcdRabcdRabcdRabcdR_{abcd}R^{abcd}?

Für die Eichfeldtheorie ist der Lagrangian des Eichfelds

L = − 1 4 T R ( F μ v F μ v ) = − 1 8 F A   μ v F A   μ v
Die Feldstärke F \A μ v A Wo μ v ist der Koordinatenindex und A ist der Faserindex.

Also analog zum Eichfeld, R A B C D Wo A B ist der Faserindex und C D ist der Koordinatenindex. Und ähnlich wie der Lagrange-Operator des Eichfelds sollte der Lagrange-Operator der Gravitation sein R A B C D R A B C D . Dabei handelt es sich eigentlich um die Einstein-Hilbert-Aktion R . Meine Fragen sind:

  1. Was ist die mathematische oder physikalische Bedeutung von R A B C D R A B C D ?
  2. Warum die Lagrange-Funktion der Schwerkraft keine ist R A B C D R A B C D ? Wenn der Lagrange eines Feldes ist R A B C D R A B C D , was sind die physikalischen Eigenschaften dieses Feldes?
Es gibt ungefähr 50 Variationen im Wikipedia-Artikel Alternatives to GR , vielleicht finden Sie weitere Informationen, warum sie abgelehnt oder beiseite gelegt werden. Der Begriff taucht auf, z. B. Lovelock und Gauss-Bonnet- Schwerkraft (die nicht in 3 + 1-Dimensionen zu leben scheinen) und ich denke darin F ( R ) Varianten.

Antworten (2)

Die Lagrangedichte für GR ist

L ∝ ∫ R − G D 4 X

Wo R ist der Ricci-Skalar

R = R μ μ = R μ v μ v

Dies ist also ein Skalar, der linear mit allen Komponenten des Riemann-Tensors zusammenhängt und ein Differential zweiter Ordnung der Metrik ist G des Formulars

R ∼ G ∂ 2 G + ( ∂ G ) 2
Das ist typisch für einen Lagrange. Ihr Vorschlag beinhaltet das Quadrat des Riemann-Tensors und damit ein nichtlineares Differential zweiter Ordnung von G mit Begriffen wie ( ∂ G ) 4 Und ( ∂ 2 G ) 2 .

Die konkrete Antwort ist, dass der oben gezeigte Lagrange zu Einsteins Gleichungen führt und Ihr Vorschlag nicht.

Sie sind nicht analog. R A B C D ist nur Riemann Tensor und R A B C D R A B C D ist das Quadrat des Riemann-Tensors.

  1. Mathematisch müssen sie quadriert werden, da es keinen Sinn macht, einen einzelnen Term Riemann-Tensor / Ricci-Tensor in der Gravitationswirkung zu haben. Physikalisch gesehen sind sie eine Modifikation der Einstein-Hilbert-Aktion.

  2. Sie sind Krümmung, nicht Feld, man darf die beiden nicht verwechseln. Ich ermutige Sie, die Gauß-Bonnet-Schwerkraft als Beispiel für solche Theorien zu lesen.

Aber Ihre dynamische Variable ist nicht der Riemann-Tensor, sondern der metrische Tensor. Und R enthält ein G A B ∂ 2 G A B Begriff, der stückweise zu a integriert werden kann ∂ C G A B ∂ C G A B Begriff. Dies ist der kinetische Term, den Sie in einer Aktion haben möchten.
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