Die Spurumwandlung der Wilson-Linie

Question

Die Spurumwandlung der Wilson-Linie

Physik
Wilson-Schleife
Eichtheorie
Eichinvarianz
Quantenfeldtheorie
Differentialgleichung

GotchaP

Ich habe eine Frage in Kapitel 15 von Peskin & Schroeder.

Die Eichtransformation hier in ihrer infinitesimalen Form:

{\begin{cases} ψ (X) \to v (X) ψ (X) (15.41) \\ v (X) = 1 + ich a^{A} (X) T^{A} + Ö (a^{2}) (15.42) \\ A_{μ}^{A} \to A_{μ}^{A} + \frac{1}{G} \partial_{μ} a^{A} + F^{A B C} A_{μ}^{B} a^{C} (15.46) \end{cases}

$\begin{cases} \psi(x) \to V(x)\psi(x) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\,\,\, \text{(15.41)} \\ V(x)=1+i\alpha^a(x)t^a+ \mathcal{O}(\alpha^2) \quad \quad \text{(15.42)} \\ A_{\mu}^a \to A_{\mu}^a +\frac{1}{g} \partial_{\mu}\alpha^a +f^{abc}A_{\mu}^b \alpha^c \quad \,\,\,\, \text{(15.46)} \end{cases}$ Wenn

\tilde{s}

$\tilde{s}$ ist ein Parameter des Pfades

P

$P$ , läuft von 0 an

x = y

$x=y$ zu s an

x = z

$x=z$ Und

P

$P{}$ Pfadordnung bezeichnet, wird die Wilson-Linie geschrieben

U_{P} (z (S), j) = P {\exp [ich G \int_{0}^{S} D \tilde{S} \frac{D X^{μ}}{D \tilde{S}} A_{μ}^{A} (X (\tilde{S})) T^{A}]}

$U_p(z(s),y)=P \biggl\{ \exp \left[ ig\int_0^s d\tilde{s}\frac{dx^{\mu}}{d\tilde{s}}A_{\mu}^a(x(\tilde{s}))\,t^a \right] \biggl\}$

In Analogie zum Propagator (4.23) der zeitlich geordneten Exponentialfunktion $U_P$ ist die Lösung einer Differentialgleichung

\begin{aligned} (15.57) & \frac{D}{D S} U_{P} (X (S), j) & = (ich G \frac{D X^{μ}}{D S} A_{μ}^{A} (X (S)) T^{A}) U_{P} (X (S), j) . \\ (15.58) & \Leftrightarrow \frac{D X^{μ}}{D S} D_{μ} U_{P} (X, j) & = 0 \end{aligned}

$\begin{align}\frac{d}{ds}U_p(x(s),y) &=\left( ig\frac{dx^{\mu}}{ds}A_{\mu}^a(x(s))\,t^a \right) U_p(x(s),y). \tag{15.57} \\ \Leftrightarrow ~~~~\frac{dx^{\mu}}{ds} D_{\mu} U_p(x,y) &=0 \tag{15.58} \end{align}$

Im Folgenden wird dieses Buch zeigen

\begin{matrix} (15.59) & U_{P} (z, j, A^{v}) = v (z) U_{P} (z, j, A) v^{†} (j) \end{matrix}

$U_p\left(z,y,A^V\right)=V(z)U_p(z,y,A)V^{\dagger}(y) \tag{15.59}$ Wo

A^{V}

$A^V$ ist die Eichtransformation von

A

$A$ .

Und

\begin{matrix} (15.60) & D_{μ} (A^{v}) v (X) = v (X) D_{μ} (A) \end{matrix}

$D_{\mu}\left(A^V\right)V(x)=V(x)D_{\mu}(A) \tag{15.60}$ in seiner infinitesimalen Version bewiesen ist.

Diese Beziehung impliziert, dass die rechte Seite von (15.59) (15.58) für das Eichfeld erfüllt $A^V$ Wenn $U_P(z,y,A)$ erfüllt diese Gleichung für das Eichfeld $A$ . Aber die Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung mit fester Randbedingung ist eindeutig. Also wenn $U_P(z,y)$ als Lösung von (15.57) oder (15.58) definiert ist, hat sie tatsächlich das Transformationsgesetz (15.59).

Ich denke, dass die Entwicklung entlang des Weges $x^{\mu}$ (oder der Parameter $s$ )
und die Evolution hinsichtlich der Spurweitenumstellung sind völlig unterschiedliche Themen.
Warum beansprucht dieses Buch die letzte Zeile dieses Absatzes?

GotchaP

In der ersten Hälfte habe ich die Sätze umgeschrieben, um sie zu verkürzen. Aber wenn ich alle Sätze wörtlich zitiere, wie im Buch geschrieben, verstößt das gegen das Urheberrechtsgesetz (weil das Zitat zu lang ist)?

Prof. Legolasov

Dies beantwortet Ihre Frage wahrscheinlich nicht vollständig, aber Sie könnten die transformierte Holonomie (Wilson-Linie, was auch immer) in der definierenden Differentialgleichung für die transformierte Spurverbindung ersetzen. Dass es immer noch gilt, ist der Beweis für das Umwandlungsgesetz.

GotchaP

@Solenodon: Ähm ..... wenn (15.59) wäre

U_{p} (z, y, A^{V}) = V (z) U_{p} (z, y, A)

$U_p\left(z,y,A^V\right)=V(z)U_p(z,y,A)$ , die rechte Seite davon würde auch (15.58) erfüllen. Aber das wird in Diraculas Antwort erwähnt.

Prof. Legolasov

ja, aber es wird die Anfangsbedingungen nicht erfüllen. Sie haben eine Differentialgleichung erster Ordnung, was bedeutet, dass es für jede Anfangsbedingung nur eine Lösung geben kann.

GotchaP

@Solenodon: Ich bin mir immer noch nicht sicher über die Logik. Ich habe den Punkt meiner Zweifel in den Kommentaren unten geschrieben.

Prof. Legolasov

Stimmen Sie dem für eine bestimmte Messgeräteverbindung zu?

A_{μ} (x)

$A_{\mu}(x)$ und für jeden gegebenen parametrischen Pfad

x (τ)

$x(\tau)$ Die parallele Transportgleichung ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung in

U (τ)

$U(\tau)$ ? Wenn ja, vorausgesetzt, die Anfangsbedingung

U (0) = 1

$U(0) = 1$ Sie würden eine eindeutige Lösung finden, die durch das pfadgeordnete Exponential gegeben ist.

Prof. Legolasov

Sobald Sie damit einverstanden sind, ist es leicht zu sehen, dass die Paralleltransportgleichung zusammen mit der Anfangsbedingung

U (0) = 1

$U(0) = 1$ bestimmt die Holonomie vollständig. Sie können diese Gleichung eichtransformieren und die Holonomie untersuchen, die durch ihre eichtransformierte Version definiert ist. Dies ist natürlich die Eich-transformierte Holonomie, die sich als solche herausstellt

v (0) U (τ) v^{- 1} (τ)

$v(0)U(\tau)v^{-1}(\tau)$ . Die Wahl

U (τ) v^{- 1} (τ)

$U(\tau)v^{-1}(\tau)$ reicht nicht aus, weil es die Anfangsbedingung verletzt

U (0) = 1

$U(0) = 1$ , was ein Teil der Definition von Holonomie ist.

GotchaP

@Solenodon: Von

\frac{d x^{μ}}{d s} D_{μ} (A^{V}) U_{p} (x, y, A^{V}) = 0

$\frac{dx^{\mu}}{ds} D_{\mu}(A^V) U_p(x,y,A^V)=0$ ,

\frac{d x^{μ}}{d s} D_{μ} (A^{V}) V (x) U_{p} (x, y, A) V^{†} (y) = 0

$\frac{dx^{\mu}}{ds} D_{\mu}(A^V) V(x)U_p(x,y,A)V^{\dagger}(y)=0$ und die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung können wir festhalten

U_{p} (x, y, A^{V}) = V (x) U_{p} (x, y, A) V^{†} (y)

$U_p\left(x,y,A^V\right)=V(x)U_p(x,y,A)V^{\dagger}(y)$ . Jetzt verstehe ich. Vielen Dank!

Antworten (1)

Die Spurumwandlung der Wilson-Linie

In der ersten Hälfte habe ich die Sätze umgeschrieben, um sie zu verkürzen. Aber wenn ich alle Sätze wörtlich zitiere, wie im Buch geschrieben, verstößt das gegen das Urheberrechtsgesetz (weil das Zitat zu lang ist)?
Dies beantwortet Ihre Frage wahrscheinlich nicht vollständig, aber Sie könnten die transformierte Holonomie (Wilson-Linie, was auch immer) in der definierenden Differentialgleichung für die transformierte Spurverbindung ersetzen. Dass es immer noch gilt, ist der Beweis für das Umwandlungsgesetz.
@Solenodon: Ähm ..... wenn (15.59) wäre $U_p\left(z,y,A^V\right)=V(z)U_p(z,y,A)$ , die rechte Seite davon würde auch (15.58) erfüllen. Aber das wird in Diraculas Antwort erwähnt.
ja, aber es wird die Anfangsbedingungen nicht erfüllen. Sie haben eine Differentialgleichung erster Ordnung, was bedeutet, dass es für jede Anfangsbedingung nur eine Lösung geben kann.
@Solenodon: Ich bin mir immer noch nicht sicher über die Logik. Ich habe den Punkt meiner Zweifel in den Kommentaren unten geschrieben.
Stimmen Sie dem für eine bestimmte Messgeräteverbindung zu? $A_{\mu}(x)$ und für jeden gegebenen parametrischen Pfad $x(\tau)$ Die parallele Transportgleichung ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung in $U(\tau)$ ? Wenn ja, vorausgesetzt, die Anfangsbedingung $U(0) = 1$ Sie würden eine eindeutige Lösung finden, die durch das pfadgeordnete Exponential gegeben ist.
Sobald Sie damit einverstanden sind, ist es leicht zu sehen, dass die Paralleltransportgleichung zusammen mit der Anfangsbedingung $U(0) = 1$ bestimmt die Holonomie vollständig. Sie können diese Gleichung eichtransformieren und die Holonomie untersuchen, die durch ihre eichtransformierte Version definiert ist. Dies ist natürlich die Eich-transformierte Holonomie, die sich als solche herausstellt $v(0)U(\tau)v^{-1}(\tau)$ . Die Wahl $U(\tau)v^{-1}(\tau)$ reicht nicht aus, weil es die Anfangsbedingung verletzt $U(0) = 1$ , was ein Teil der Definition von Holonomie ist.
@Solenodon: Von $\frac{dx^{\mu}}{ds} D_{\mu}(A^V) U_p(x,y,A^V)=0$ , $\frac{dx^{\mu}}{ds} D_{\mu}(A^V) V(x)U_p(x,y,A)V^{\dagger}(y)=0$ und die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung können wir festhalten $U_p\left(x,y,A^V\right)=V(x)U_p(x,y,A)V^{\dagger}(y)$ . Jetzt verstehe ich. Vielen Dank!

Dirakula · Answer 1

Ich werde versuchen, die Logik des Arguments klarzustellen. Wir wissen das $U_P(x,y,A)$ erfüllt eine bestimmte Differentialgleichung, nämlich $\frac{dx^{\mu}}{dt}(\partial_{\mu}-igA_{\mu})U_P(x,y,A)=0$ , für alle Pegelfeldwerte $A$ . Wir wollen wissen wie $U_P(x,y,A^V)$ bezieht sich auf $U_P(x,y,A)$ , Wo $A^V$ bezieht sich auf $A$ durch eine Eichtransformation. Wir prüfen den Vorschlag,

U_{P} (X, j, A^{v}) = v (X) U_{P} (X, j, A) v^{†} (j) .

$U_P(x,y,A^V)=V(x)U_P(x,y,A)V^{\dagger}(y)\,.$ Es ist dann leicht zu zeigen, ob

U_{P} (x, y, A)

$U_P(x,y,A)$ erfüllt die Differentialgleichung

\frac{d x^{μ}}{d t} (\partial_{μ} - i g A_{μ}) U_{P} (x, y, A) = 0

$\frac{dx^{\mu}}{dt}(\partial_{\mu}-igA_{\mu})U_P(x,y,A)=0$ , dann mit diesem Vorschlag

U_{P} (x, y, A^{V})

$U_P(x,y,A^V)$ erfüllt

\frac{d x^{μ}}{d t} (\partial_{μ} - i g A_{μ}^{V}) U_{P} (x, y, A^{V}) = 0

$\frac{dx^{\mu}}{dt}(\partial_{\mu}-igA^V_{\mu})U_P(x,y,A^V)=0$ .

Wir wissen jedoch auch, dass was auch immer die wahre Beziehung zwischen ist $U_P(x,y,A^V)$ Und $U_P(x,y,A)$ , das muss immer so sein $U_P(x,y,A^V)$ erfüllt $\frac{dx^{\mu}}{dt}(\partial_{\mu}-igA^V_{\mu})U_P(x,y,A^V)=0$ weil wir wissen, dass diese Gleichung für alle Pegelfeldwerte gilt. Und tatsächlich hat unsere vorgeschlagene Beziehung diese notwendige Eigenschaft, wie wir gerade gesehen haben. Aber wie Peskin und Schroeder feststellen, ist diese Differentialgleichung erster Ordnung, und wenn zusätzlich eine Randbedingung erfüllt werden muss, dann ist die Lösung eindeutig. Daher muss die vorgeschlagene Relation die eindeutig richtige Relation sein.

(Sie sagen in einem Kommentar, dass $V(z)U_P(z,y,A)$ würde auch die Differentialgleichung erfüllen, also warum sollten wir das sagen $V(z)U_P(z,y,A)V^{\dagger}(y)$ ist das richtige Verhältnis? Der Grund ist, dass es zusätzlich eine Randbedingung gibt: Das fordern wir $U_P(x,x,A)=1$ .)

In einer Differentialgleichung erster Ordnung können wir die numerisch gelöste Lösung aus diskreten Werten der Ableitungen mit kleinem Abstand erhalten. Zur Verdeutlichung beschrifte ich $A_{\mu}^a$ entlang der Bewegung der Eichtransformation als $A_{\mu}^a(i)\,, i\in \mathbb{Z}$ auf diskrete Weise. Dann $A_{\mu}^a(i)$ wird sequentiell transformiert $A_{μ}^{A} (ich = 0) \to A_{μ}^{A} (ich = 1) \to A_{μ}^{A} (ich = 2) \to A_{μ}^{A} (ich = 3) \dots$ $A_{\mu}^a(i=0) \to A_{\mu}^a(i=1) \to A_{\mu}^a(i=2) \to A_{\mu}^a(i=3) \cdots$ Und $U_P(x,y,A)$ wird auch sequentiell transformiert $U_{P} (X, j, A) (ich = 0) \to U_{P} (X, j, A) (ich = 1) \to U_{P} (X, j, A) (ich = 2) \to U_{P} (X, j, A) \dots$ $U_P(x,y,A)(i=0) \to U_P(x,y,A)(i=1) \to U_P(x,y,A)(i=2) \to U_P(x,y,A) \cdots$
$U_p\left(z,y,A^V\right)=V(z)U_p(z,y,A)V^{\dagger}(y)$ (15.59) handelt von der Evolution von $U_P(x,y,A)$ hinsichtlich $A$ . Die Differentialgleichung wurde also durch differenziert $A_{\mu}^a$ (oder $\alpha^a$ ), Ich konnte verstehen. Beantwortet Ihre Antwort meine Frage?
@GotchaP Das Messfeld $A$ überall einige feste Werte hat und dann diese Werte erhält $U_P(x,y,A)$ ist eine Funktion dieser Feldkonfiguration (insbesondere müssen wir diese Eichfeldwerte über einen Pfad integrieren). Die Differentialgleichung für $U_P$ formuliert nur das Problem des Trainings neu $U_P$ (ein Integral wird gegen eine Differentialgleichung eingetauscht), und diese Differentialgleichung kann zur Bestimmung verwendet werden $U_P$ numerisch, wenn Sie möchten. Jedoch $A$ wird in dieser Differenzialgleichung nicht entwickelt, außer dass wir, während wir uns entlang des Pfades bewegen, unterschiedliche Eichfeldwerte abtasten.
$U_P$ ist eine Funktion der Feldkonfiguration $A$ , und daher ist es von diesen Feldwerten abhängig, insbesondere von den Feldwerten in dieser Schleife, um die herum wir integrieren. Aber wir haben noch nie eine Differentialgleichung wie geschrieben $\frac{\partial U_P}{\partial A}=\ldots$ , wodurch wir die Abhängigkeit von herausfinden konnten $U_P$ An $A$ . (Die Differentialgleichung, die wir haben, sagt uns etwas über die Abhängigkeit von $U_P$ auf einer Raum-Zeit-Koordinate $x$ .) Im Grunde kennen wir bereits die Abhängigkeit von $A$ , aus dem Ausdruck für $U_P$ . Aber die Logik in dem Buch ist nur eine Abkürzung zu einer sauberen Beziehung.
Aus $\frac{dx^{\mu}}{ds} D_{\mu}(A^V) U_p(x,y,A^V)=0$ , $\frac{dx^{\mu}}{ds} D_{\mu}(A^V) V(x)U_p(x,y,A)V^{\dagger}(y)=0$ und die Eindeutigkeit der Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung können wir festhalten $U_p\left(x,y,A^V\right)=V(x)U_p(x,y,A)V^{\dagger}(y)$ . Jetzt verstehe ich. Vielen Dank!
Es könnte erwähnenswert sein, dass Betreiber mögen $D$ (geschrieben als $D_\mu$ ) auf dem direkten Produktraum operieren $A \times B$ , wobei A der Minkowski-Raum ist und B SU(2)-Symmetrie hat. $\frac{dx^\mu}{dt}$ steht eigentlich für $\frac{dx^\mu}{dt} \times I$ , während $V(x)$ steht für $I \times e^{i\alpha^i(x)\frac{\sigma^i}{2}}$ . Deshalb $\frac{dx^\mu}{dt}$ Und $V(x)$ miteinander pendeln.
@PetraAxolotl Warum ist $D_\mu U_p=\partial_\mu U_p-igA_\mu U_p$ ? Wenn $U_p(x, y, A)\rightarrow V(x)U_p(x, y, A)V^\dagger(y)$ , wie können wir dann die kovariante Ableitung von finden $U_p$ sein $D_\mu U_p=\partial_\mu U_p-igA_\mu U_p$ ?
@Bohemianrelativist Dies ist die Definition: $D_\mu \equiv \partial_\mu - ig A_\mu$ .
Es könnte sich lohnen, klarzustellen, dass die Randbedingung, auf die Bezug genommen wird, dies ist $U(x,x,A) = 1$ , nicht das $U_P(x,x,A) = 1$ . Hier verwende ich die $P$ Notation, um eine Wilson-Linie und tatsächlich eine Schleife entlang eines Pfades P zu unterscheiden, der bei beginnt und endet $x$ , von einer Wilson-Linie mit Nullausdehnung, die sich einfach bei befindet $x$ und geht nirgendwo hin. Die Grenzbedingung gilt für das Null-Extent-Objekt. Die Wilson-Schleife ist natürlich nicht immer gleich 1, sonst wäre dies trivial, aber ich denke, die Notation kann diese Verwirrung verursachen.

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