Eichfeldtensor von Wilson Loop

Es ist möglich, das Eichfeld rein aufgrund geometrischer Argumente in eine QFT einzuführen. Betrachten Sie der Einfachheit halber QED, beginnen Sie nur mit Fermionen und sehen Sie, wie das Eichfeld auf natürliche Weise entsteht. Die Beobachtung ist, dass die Ableitung des Dirac-Feldes keine wohldefinierte Transformation hat, weil:

$$n^\mu \partial_\mu \,\psi = \lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\big[\psi(x+\epsilon n)-\psi(x)\big],$$ dh die Ableitung kombiniert zwei Felder an verschiedenen Raumzeitpunkten (mit unterschiedlichen Transformationsregeln). Wir müssen einen parallelen Transporter einführen $U(y,x)$das verwandelt sich als $$U(y,x) \rightarrow e^{ig\alpha(y)}U(y,x) e^{-ig \alpha(x)},$$ so dass wir die Definition der Ableitung in eine kovariante Ableitung anpassen können, die sich auf wohldefinierte Weise transformiert: $$n^\mu D_\mu \,\psi = \lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\big[\psi(x+\epsilon n)- U(x+\epsilon n,x)\psi(x)\big].$$ Aus geometrischen Argumenten lässt sich leicht zeigen, dass der parallele Transporter eine Wilson-Linie ist: $$U(y,x) = \mathcal{P}\,e^{ig\int\limits_x^y dz^\mu\, A_\mu(z)},$$ die ein neues Feld einführt, nämlich das Eichfeld $A_\mu$. Siehe zB Peskin & Schroeder Kapitel 15 für weitere Details.

Allerdings.. Wo der Interaktionsbegriff$\bar{\psi} A_\mu \psi$auf natürliche Weise entstanden sind, verstehe ich absolut nicht, wie die kinetischen Terme entstehen. Die Standardvorgehensweise besteht darin, eine Wilson-Schleife (eine Wilson-Linie auf einem geschlossenen Pfad) zu betrachten und den Satz von Stokes zu verwenden:

$$\text{exp}\left\{ig\oint_\mathcal{C}dx^\mu\, A_\mu \right\} = \text{exp}\left\{ig\int_\Sigma dx^\mu \wedge dx^\nu\,\left(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \right)\right\},$$ wo natürlich $\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \equiv F_{\mu\nu}$. Bei Peskin & Schroeder betrachten sie dann eine kleine rechteckige Schleife und sehen das im Limit $\epsilon\rightarrow 0$, $F_{\mu\nu}$ist unveränderlich. Aber was ist der Sinn? Ich meine, das Umwandlungsgesetz für $A_\mu$lässt sich leicht aus der Definition der Wilson-Schleife berechnen: $$A_\mu\rightarrow A_\mu+\partial_\mu \alpha,$$ Herstellung $F_{\mu\nu}$per definitionem unveränderlich: $$F_{\mu\nu}\rightarrow \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu +\square \alpha-\square \alpha.$$

Ich hätte mir eine Rechnung gewünscht, die ausgehend von einer bestimmten Schleifenparametrisierung natürlich zu den korrekten kinetischen Termen im Lagrangian führt, wie es beim Wechselwirkungsterm der Fall war. Mit anderen Worten

$$\text{exp}\left\{ig\oint_\mathcal{C}dx^\mu\, A_\mu \right\} \leadsto -\frac{1}{4}\left(F_{\mu\nu}\right)^2,$$ aber ich habe keine ahnung wie ich das machen soll.

Oder ist die Idee einfach: „Sehen Sie, ich habe einige quadratische Ableitungsterme gefunden, die unveränderlich sind, jetzt lassen Sie mich ein bisschen herumspielen und ihr Quadrat einfügen$\mathcal{L}$'? Wenn ja, warum machen sich dann Peskin & Schroeder die Mühe, eine Schleifenparametrisierung (p484) zu berechnen, wenn die Verwendung des Satzes von Stokes ausgereicht hätte, um sie zu finden$F_{\mu\nu}$irgendwo?

BEARBEITEN

Basierend auf den Kommentaren einige Klarstellungen. Hier geht es nicht darum, warum wir kinetische Terme brauchen oder wie sie aussehen sollten. Ich weiß genau, wie man den SM-Lagrange auf die übliche Weise konstruiert. Du hast ein Vektorfeld$A_\mu$, Sie brauchen kinetische Terme, also verwenden Sie eine Klein-Gordon-ähnliche Struktur, passen Sie sie ein wenig an (wegen des Eichverhaltens von$A_\mu$) usw. Standard-QFT.

Aber das ist alles manuell , fast ein bisschen Trial-and-Error, da Sie wissen, dass sie so funktionieren, wie sie sollten. Es ist, als würde man die Lagrange-Funktion wie ein Puzzle erstellen: Man fügt einfach die Teile hinzu, die passen. Kein Problem damit, es funktioniert und ist eine weithin akzeptierte Art, Physik zu betreiben, aber aus theoretischer Sicht ist es nicht so elegant.

Aber wir können es eleganter machen. Wenn wir nur von einem Dirac-Feld und der Dirac-Gleichung ausgehen, dann erscheint das Eichfeld, wie oben diskutiert, rein durch mathematische und geometrische Argumente. Die Frage ist, ob wir auch die kinetischen Terme für das Eichfeld rein auf der Grundlage mathematischer und geometrischer Argumente erscheinen lassen können. Wenn Sie dem QFT-Buch von Peskin & Schroeder glauben, können Sie ausgehend von einer Wilson-Schleife (wie oben diskutiert, siehe S. 484-494). Aber dann landet man bei einem Faktor$\epsilon^4$, die Schleifenfläche quadriert, vor dem Feldtensor. Sie könnten sich auf eine Klasse von Schleifen mit Fläche beschränken$S=1$, aber es gibt zwei Probleme damit:

• In der Berechnung wurden Exponent und Integral erweitert, indem die Tatsache verwendet wurde, dass$\epsilon <\!\!< 1$. Dies widerspricht unserer Einschränkung$S=1$.
• Diese Einschränkung macht die Eleganz etwas zunichte, da nun der Loop-Bereich feinjustiert werden muss. Ich hatte erwartet, so etwas wie 'in the limit' zu finden$\epsilon\rightarrow 0$, was bleibt, ist der Feldtensor.

Ist es also nicht möglich, die kinetischen Terme für das Eichfeld rein aus geometrischen Argumenten zu erhalten?

Wenn die Antwort nein ist, macht es keinen Sinn, mit der natürlichen Entstehung des Interaktionsbegriffs zu prahlen. Es ist nicht elegant, wenn der Wechselwirkungsterm auf natürliche Weise entsteht, aber Sie müssen die kinetischen Terme von Hand auswählen. Zum einen, wie beweisen Sie, dass das natürlich entstehende Feld (Wechselwirkungsterme) und das von Ihnen eingegebene (kinetische Terme) dasselbe Feld sind?