Kovariante Ableitung eines Dirac-Spinors und Kosmann-Lift

In [1] habe ich eine Definition der kovarianten Ableitung eines Dirac-Feldes mit allgemeinem Zusammenhang gefunden ω μ A B (mit Torsion und Nichtmetrik) [siehe Gl. (29)]:

∇ μ ψ = ∂ μ ψ − 1 4 ω μ A B γ A γ B ψ

Sie verwenden den sogenannten Kosmann-Lift, um die Spinorverbindung aufzubauen

Γ μ = − 1 4 ω μ A B γ A γ B
aus ω μ A B . Ich habe zwei Fragen,

(Frage 1) Gibt es eine einfache Möglichkeit, diesen „Kosmann-Lift“ zu erklären? Ich habe grundlegende Ideen zur Faserbündeltheorie, aber ich verliere mich völlig, wenn wir tiefer in diesen Formalismus einsteigen. Ich suche keine streng strenge Erklärung.

(Frage 2) Wenn Sie diese kovariante Ableitung erweitern, erhalten Sie die Standard-Lorentz-Ableitung plus einen neuen Term, der sich unter Lorentz-Transformationen nicht gut transformieren lässt:

∇ μ ψ = ∂ μ ψ − 1 4 ω μ A B γ [ A γ B ] ψ − 1 4 ω μ A A ψ = ∇ μ L Ö R ψ − 1 4 ω μ A A ψ

Ich würde denken, dass dieser Ausdruck keine „gute kovariante Ableitung“ sein kann, weil Sie etwas Diff und (lokale) Lorentz-Invariante schreiben möchten. Liege ich falsch?

[1] M. Adak, T. Dereli, LH Ryder, Dirac-Gleichung in der Raumzeit mit Torsion und Nichtmetrik. arXiv:gr-qc/0208042

Für eine metrisch kompatible Verbindung ω μ A B ist schiefsymmetrisch in A , B , auch bei Torsion --- so der Begriff ω μ A A = ω μ A B η A B ist identisch Null.
@mikestone Ja, aber ich erwäge den nicht metrisch kompatiblen Fall. Genau das ist das Problem, denn wenn man die Nichtmetrik in die Theorie einbezieht, ω μ A B verliert seine Antisymmetrie in den letzten beiden Indizes.

Antworten (1)

Kosmann-Aufzug

Lie-Ableitungen werden natürlich auf Vektor- und Tensorfeldern definiert, weil wir wissen, wie man Diffeomorphismen der Mannigfaltigkeit auf ihr Tangenten- und Kotangensbündel hebt. Kosmann konnte eine Lie-Ableitung eines Spinorfeldes entlang eines Killing-Vektors definieren. Im Gegensatz zu Lie-Ableitungen von Vektorfeldern hängt die Kosmann-Lie-Ableitung eines Spinorfelds von der Metrik ab, erfüllt aber ansonsten alle Eigenschaften einer Lie-Ableitung. Ihre Idee ist folgende:

Die Lie-Algebra der Gruppe S Ö ( N ) wird durch antisymmetrische Matrizen erzeugt E a β . Diese Algebra wirkt auf Spinoren über die Spinordarstellung:

ρ ( E ) = E a β γ a γ β
( γ sind die Dirac-Matrizen). Es ist nicht schwer zu zeigen, dass die Matrizen ρ ( E ) erfüllen die Lie-Algebra von S P ich N ( N ) was dasselbe ist wie S Ö ( N ) .

Auf einer Riemannschen Spinmannigfaltigkeit ( M , G ) , ein Tötungsvektor ξ erfüllt die Killing-Gleichung:

∇ a ξ β + ∇ β ξ a = 0
also das Tensorfeld ∇ a ξ β ist antisymmetrisch (nur im Fall eines Killing-Vektors), kann daher auf Spinoren über dieselbe obige Beziehung dargestellt werden. Dies ermöglicht es, eine Lie-Ableitung auf Spinoren zu definieren:
L ξ ψ = ξ a ∇ a ψ − ∇ a ξ β γ a γ β ψ
Die Motivation für die obige Definition besteht darin, dass die Lie-Ableitung auf Vektoren in Form von kovarianten Ableitungen analog geschrieben werden kann, sich jedoch im Fall von Vektoren im Gegensatz zu Spinoren alle Abhängigkeiten von der Metrik aufheben:
L ξ ζ = [ ξ , ζ ] = ξ a ∇ a ζ − ∇ a ξ ζ a

Zweite Frage

Ich denke, dass der zusätzliche Term ein echter Tensor ist und alle Eigenschaften der kovarianten Ableitung erhalten bleiben.

Danke! Sehr deutlich. Jetzt werde ich versuchen, diese Informationen über die Lie-Ableitung mit meiner kovarianten Ableitung zu verbinden. Bei der zweiten Frage, der Spur von, haben Sie recht ω ist gerade die Spur der Nichtmetrik, die brav ist. Ich finde das alles sehr seltsam, weil ich normalerweise allgemeine Verbindungen (mit Nicht-Metrik) als etwas gesehen habe, das mit der GL (4, R) -Gruppe verbunden ist, und die Notwendigkeit, Mannigfaltigkeiten, unendlich dimensionale Spinoren und so weiter einzuführen (im Kontext der metrisch-affinen Gravitation); aber hier haben Sie eine allgemeine Verbindung, die auf Lorentz-Spinoren wirkt. Interessant!
Kovariante Ableitung eines Dirac-Spinors und Kosmann-Lift
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