Kovariante Ableitung für Spinorfelder

Skalare (Spin-0)-Ableitungen werden ausgedrückt als:

∇ ich ϕ = ∂ ϕ ∂ x ich .

Vektor-(Spin-1)-Ableitungen werden ausgedrückt als:

∇ ich v k = ∂ v k ∂ x ich + Γ m ich k v m .

Meine Frage: Was ist der Ausdruck für kovariante Ableitungen von Spinorgrößen (Spin-1/2)?

Antworten (4)

Es gibt eine interessante Möglichkeit, Christoffel-Verbindungen mit Spinorfeldern zu betrachten. Der übliche Dirac-Operator wird geschrieben als γ μ ∂ μ . Es ist interessant, dies zu ändern ∂ μ ( γ μ ψ ) . Dies wird dann

∂ μ ( γ μ ψ )   =   γ μ ∂ μ   +   ( ∂ μ γ μ ) ψ .
Der Antikommutator { γ μ ,   γ v }   =   2 g μ v und die kovariante Konstanz der Metrik ergibt ∂ μ γ μ   =   Γ μ σ μ γ σ . Wir können den Dirac-Operator dann also in dieser anderen Form schreiben als
δ v μ ∂ μ ( γ v ψ )   =   δ v μ γ v ∂ μ ψ   +   δ v μ Γ μ σ v γ σ ψ .
Wenn Sie nun das Kronecker-Delta abziehen, haben Sie eine kovariante Ableitung des Spinorfelds.

Das bedeutet im Allgemeinen die Clifford-Algebra C L ( 3 , 1 ) Darstellung der Dirac-Matrizen ist lokal. Der Verbindungskoeffizient kann dann als Folge von Übergangsfunktionen zwischen diesen Darstellungen angesehen werden, sodass das Differential Verbindungskoeffizienten erzeugt.

So hatte ich mir das nicht vorgestellt. +1

Für die kovariante Spinorableitung müssen wir eine Verbindung einführen, die einen Spinor parallel transportieren kann. Eine solche Verbindung nimmt Werte in der Lie-Algebra der Gruppe an, unter die sich der Spinor transformiert. Dann haben wir:

D ich ψ = ∂ ich ψ + g EIN ich ich T ich ψ

Hier T ich sind die Erzeuger der Lügenalgebra und werden matrixbewertet. Wir haben Spinorial-Indizes unterdrückt. Wenn wir sie explizit ausschreiben, erhalten wir:

D ich ψ a = ∂ ich ψ a + g EIN ich ich T ich a b ψ b

Zum Beispiel für S U ( 2 ) Die Lie-Algebra-Generatoren sind durch die drei Pauli-Matrizen gegeben σ x , σ j , σ z die dann auf zwei Komponentenspinoren wirken. Wenn Sie mit Vierkomponenten-Spinoren arbeiten möchten ψ EIN , Transformation unter der Lorentz-Gruppe, die relevanten Generatoren sind die von S Ö ( 3 , 1 ) . Diese finden Sie bei Peskin und Schroeder, Seite 41.

Es gibt Beziehungen zwischen der Spin-Verbindung, der Christoffel-Verbindung und der Metrik, aber dies ist die Definition der Spin-Verbindung.

Für Vierkomponenten-Spinoren verwenden wir meiner Meinung nach eine Linearkombination von Lorentz-Generatoren, die wie folgt aussehen S U ( 2 ) ⨁ S U ( 2 ) , ich weiß jetzt nicht mehr, wo ich das gelesen habe
@lurscher - ja, du kannst faktorisieren s Ö ( 3 , 1 ) in zwei Kopien von s u ( 2 ) (wir sprechen über die Lügen-Algebren, nicht über die Gruppen, wohlgemerkt). Dies ist wiederum in Kap. 3 von Peskin. Ich habe das Buch anfangs gehasst. Aber es wächst einem wie Bier oder Kaviar an :)
@lurscher: du hast recht (und @Deepak auch). Und lassen Sie mich diese Gelegenheit nutzen, um Ihnen diese Aussage glasklar zu machen, indem ich Ihnen Dynkin-Diagramme dieser Algebren zeige. s Ö ( 1 , 3 ) ist D 2 und s u ( 2 ) ist EIN 1 . Wie Sie sehen, sind zwei Punkte doppelt so viel wie ein Punkt. QED :)
Was sind hier g und A?

Bevor Sie überhaupt Spinorbündel in die gekrümmte Raumzeit einführen können, müssen wir zuerst Vierbeins einführen. Dies definiert einen lokalen orthonormalen Rahmen. Wenn Sie möchten, können Sie grundsätzlich ein Rahmenpaket mit einführen S p ich n ( d , 1 ) als Gauklergruppe. Spinoren können bezüglich dieses Rahmens definiert werden. Der Schlüssel ist, dass Spinoren Darstellungen von sind S p ich n ( d , 1 ) , eine doppelte Abdeckung von S Ö ( d , 1 ) , aber nicht von der allgemeinen linearen Gruppe G L ( d + 1 , R ) . Die affine Verbindung ist eine Verbindung über die letztere Gruppe, aber unter der Annahme von Metrik können wir dies in eine Spinverbindung über das erstere Hauptbündel abbilden.

Ich möchte Sie darauf aufmerksam machen, dass diese Art der Einführung von "Interaktion" nur gut ist, um externe Felder (die physikalisch an- und abgeschaltet werden können) zu beschreiben. Diese Art der Kopplung mit dem richtigen Feld (das niemals abgeschaltet werden kann) ist nicht gut und erfordert die Auflösung von IR- und UV-Divergenzen, wenn sie implementiert wird. Nach Renormierungen und IR-Diagramm-Summierung unterscheidet sich die wahre Kopplung mit dem Eigenfeld von der "kovarianten Ableitung".

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