Ist ∂μ+ieAμ∂μ+ieAμ∂_\mu + dh A_\mu eine "kovariante Ableitung" im Sinne der Differentialgeometrie?

Es ist das Gleiche. Mathematiker würden eine Eichtheorie als Faserbündel bezeichnen.$A_\mu$übernimmt die Rolle einer Verbindung auf dem Faserbündel. Von den drei Indizes natürlich die Cristoffel-Symbole$\Gamma^i{}_{jk}$haben, zwei Indizes "leben" in der Faser. Sie können dies leichter einschätzen, wenn Sie sich nicht-Abelsche Eichtheorien ansehen, in denen$(A_\mu)_{ij}=A_\mu^a T_{ij}^a$.

NACHTRAG :

1. Warum sollte es einen interessieren? Wenn Sie nur daran interessiert sind, die NNNLO-Korrektur in einem QFT-Prozess zu berechnen, und Sie in Eile sind, können Sie die Untersuchung dieser Dinge verschieben. Andernfalls profitieren Sie meiner Meinung nach sehr davon, sich die geometrische Beschreibung anzusehen, die eine universelle Beschreibung der Schwerkraft, des Elektromagnetismus und der schwachen und starken Kräfte liefert.
2. Ist diese Deutung neu? Gar nicht. Erinnern Sie sich, dass die alte Kaluza-Klein-Idee diese Verbindung bereits hergestellt hat. Das U(1) des Elektromagnetismus wurde aus den Symmetrien eines Kompakten "abgeleitet".$\mathbf{S}^1$. In diesem Fall ist der kompakte Raum natürlich eindimensional, daher ist es schwieriger, dies zu schätzen$A$hat zwei Indizes in diesem Bereich.
3. Wozu ist das gut? Genau in dem Moment, in dem Sie verstehen möchten, warum beispielsweise eine Instanton-Zahl eine ganze Zahl ist, ist dies meiner Meinung nach der einfachste Weg. Alles läuft auf einige ziemlich einfache Topologieaussagen hinaus.
4. Wo kann man mehr lesen? Es gibt viele Quellen, eine davon ist Nakaharas Lehrbuch "Geometrie, Topologie und Physik", und wenn Sie kein Buch kaufen möchten, können Sie sich zB diese Notizen ansehen .

Ich werde die vorhandene Antwort mit einigen Punkten erweitern, die hier ausführlicher erläutert werden. Ich werde darin gegebenenfalls auf Abschnittsnummern verweisen, und Sie werden mir verzeihen, dass ich zu ihrer Notation gewechselt bin.

Kovariante Ableitung der Eichtheorie der Yang-Mills-Theorie$D_\mu$ist so aufgebaut, dass$\psi\to U\psi$mit$U$in der Lie-Gruppe auferlegt$D_\mu\psi\to UD_\mu\psi$, und wir können es beweisen$[D_\mu,\,D_\nu]=igF_{\mu\nu}$(1.2.2). Die analoge Behandlung der Schwerkraft nimmt allgemeine Koordinatentransformationen (GCT) als Eichtransformationen (1.3.1), also die GCT$T_{\mu\nu\cdots}^{\rho\sigma\cdots}\to \tilde{T}_{\mu\nu\cdots}^{\rho\sigma\cdots}$auferlegt$\nabla_\lambda T_{\mu\nu\cdots}^{\rho\sigma\cdots}\to \nabla_\lambda \tilde{T}_{\mu\nu\cdots}^{\rho\sigma\cdots}$. Während die Christoffel-Symbole die Rolle von spielen$A_\mu$, ist der Riemann-Tensor analog zu$F_{\mu\nu}$seit$[\nabla_\mu,\,\nabla_\nu]A_\rho=R_{\mu\nu\rho\sigma}A^\sigma$.

Wir können die allgemeine Relativitätstheorie ebenso wie den Elektromagnetismus (1.1) aus eichtheoretischen Prinzipien „ableiten“; dass die Gravitation anziehend ist, schließt ein Spin-1-Graviton aus, und dass sie Photonen linsen lässt, schließt ein Spin-0-Graviton aus, also müssen wir stattdessen ein Spin-2-Graviton haben. Diese Unähnlichkeit zu den Eichbosonen des Standardmodells legt nahe, dass Gravitation eine „quadratische“ Eichtheorie ist, eine Idee, die in den KLT-Beziehungen (9.1) formalisiert ist, die historisch aus der Stringtheorie stammt, aber nur aus der üblichen Behandlung von Feynman-Diagrammamplituden abgeleitet werden kann .

Abgesehen davon kann aber trotz der Nichtrenormierbarkeit der 4-dimensionalen Quantengravitation eine effektive Feldtheorie erhalten werden (8). Die Behandlung der Gravitonspur als Skalarfeld fixiert die EFT-Parameter (8.4.1), was zu Quantenkorrekturen des Newtonschen Potentials (8.5) und der Reissner-Nordström-Metrik (8.6) führt.