Wie können wir die Eichfeld-Lagrangedichte ableiten?

Der Lagrangian muss ein eichinvariantes und Lorentz-invariantes Objekt sein, das über die gesamte Raumzeit integriert werden kann$\Sigma$.

Also müssen wir zuerst eine erhalten$n$-Formular (z$n$die Dimension der Raumzeit), und alles, was wir dafür haben, ist das Eichfeld$A$, die sich selbst auf hässliche Weise unter der Spurweitentransformation verwandelt. Das einzige Objekt, das wir daraus aufbauen können, ist seine eigene kovariante Ableitung$\mathrm{d}_A A$, Wo$\mathrm{d}_A \omega = \mathrm{d} \omega + A \wedge \omega$für beliebige Formen. (In Koordinaten ist dies in der Tat$D_\mu = \partial_\mu - \mathrm{i}g A_\mu$auf 1-Formen, wenn wir die Faktoren von wiederherstellen$g$Und$\mathrm{i}$Physiker scheinen so sehr zu lieben). Das kann man überprüfen

damit beides$\mathrm{d}_A A$Und$[D_\mu,D_\nu]$sind äquivalente Definitionen der Feldstärke$F_{\mu\nu}$. Durch direkte Rechnung wird gezeigt, dass sich die Feldstärke in der adjungierten Darstellung der Eichgruppe, also bei einer Eichtransformation, transformiert$t : \Sigma \to G$es verwandelt sich als

Jetzt,$F$ist ein$2$-Form (da es die Ableitung von ist$1$-form$A$). Wie machen wir in einer beliebigen Umgebung a$n$-form daraus? Antwort: Vorausgesetzt, es gibt eine Metrik für die Raumzeit, nehmen wir das Hodge-Dual $\star F$, die ein$n - 2$-Form, davon und verkeilen sie zusammen als$F \wedge \star F$. Als ein$n$-Form, es ist eine pseudoskalare Form und damit (eigentlich) Lorentz-invariant. Darüber hinaus transformiert es sich immer noch in die Adjungierte durch Linearität des Keils und des Hodge-Sterns:

und durch die Zyklizität der Spur ($\mathrm{Tr}(A_1\dots A_n) = \mathrm{Tr}(A_n A_1 \dots A_{n-1})$), seine Spur transformiert sich überhaupt nicht . Deshalb,$\mathrm{Tr}(F \wedge \star F)$ist eine Lorentz- und Eich-Invariante$n$-Form und damit ein brauchbarer Summand im Lagrange. In der allgemeinen Einstellung gibt es keine andere solche$n$-Form, die nur aus dem Eichfeld konstruiert ist, daher ist die Yang-Mills-Lagrangian die einzige Aktion, die wir nur für das Eichfeld in beliebiger Dimension aufschreiben können.

Beachten Sie, dass in der üblichen 4D-Umgebung die zweite Chern-Klasse prominent ist$\mathrm{Tr}(F\wedge F)$als zweiter Invariantenterm, dessen Integral aber eine topologische Invariante ist und die Instantonzahl beschreibt .