Integral in verschiedenen Koordinatensystemen

Ihre Intuition ist richtig, dass Sie diese Formel in jedem Koordinatensystem verwenden können sollten. In der Tat haben Sie vermutlich Probleme mit dem Skalarpotential gemacht, wo Sie eine ähnliche Formel haben, die Sie in jedem Koordinatensystem auswerten können. Sie müssen jedoch vorsichtiger sein, wenn Sie definieren, was Sie mit diesem Integral im Vektorfall in allgemeinen Koordinatensystemen meinen, und ich denke, Griffiths möchte vermeiden, sich in diesen Feinheiten zu verzetteln, und gibt daher eine Warnung aus, die vielleicht etwas zu stark formuliert ist.

Aber stürzen wir uns trotzdem voran. Beginnen Sie mit der Gleichung, die Sie geschrieben haben

$$\begin{equation} \mathbf{A}(\mathbf{r})=\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau' \end{equation}$$

Dies ist nicht besonders nützlich, da es das Integral eines Vektors beinhaltet. In der Praxis endet man immer damit, Integrale von Skalaren zu berechnen. Der erste Schritt besteht also darin, dieses Vektorintegral in drei Skalarintegrale umzuwandeln.

Beispielsweise ist eines der Skalarintegrale

$$\begin{equation} A_x = \mathbf{A}(\mathbf{r})\cdot\hat{\mathbf{e}}_x=\hat{\mathbf{e}}_x\cdot\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau' = \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot{\hat{\mathbf{e}}_x}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau'= \int \frac{J_x(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau' \end{equation}$$

Der entscheidende Schritt ist der letzte, der extrem unschuldig aussieht, aber eigentlich ziemlich knifflig ist. Der Punkt hier ist, dass der Einheitsvektor$\mathbf{\hat{e}}_x$ist eine Konstante, obwohl wir sie zunächst an der Beobachterkoordinate ausgewertet haben$\mathbf{r}$, können wir den Einheitsvektor frei zur Quellkoordinate "bewegen".$\mathbf{r}'$, und somit können wir leicht das Skalarprodukt zwischen dem Einheitsvektor und dem Strom bilden. Dies ist der Schritt, der kompliziert wird, wenn Sie versuchen, Dinge in anderen Koordinatensystemen zu tun.

Als Beispiel, wo die Dinge haarig werden, versuchen wir, Dinge in sphärischen Koordinaten auszuwerten, also wollen wir rechnen$A_r,A_\theta,A_\phi$.

Versuchen Sie es also mit dem Rechnen$A_r$. Wir brauchen$\hat{\mathbf{e}}_r$damit wir es mit punktieren können$\mathbf{A}$. Jedoch,$\hat{\mathbf{e}}_r$ist keine Konstante. Seine Größe ist immer 1, aber seine Richtung hängt davon ab, wo Sie sich im Raum befinden (explizit$\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{R})=\frac{\mathbf{R}}{|\mathbf{R}|}$). Wir wollen evaluieren$A_r$an der Beobachterkoordinate$\mathbf{r}$, also ähnlich wollen wir auswerten$\hat{\mathbf{e}}_r$am Punkt$\mathbf{r}$.

In diesem Sinne gehen wir die Schritte durch, die wir im kartesischen Raum gemacht haben

$$\begin{equation} A_r = \mathbf{A}(\mathbf{r})\cdot\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r})=\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r})\cdot\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau' = \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot{\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r})}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau' \end{equation}$$

Aber jetzt

$$\begin{equation} \mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot{\hat{\mathbf{e}}_r}(\mathbf{r})\neq J_r(\mathbf{r'}) \end{equation}$$

Stattdessen muss man schreiben

$$\begin{equation} \mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r}) = J_r(\mathbf{r}') \hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r'})\cdot\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r}) + J_\theta(\mathbf{r}') \hat{\mathbf{e}}_\theta(\mathbf{r'})\cdot\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r})+ J_\phi(\mathbf{r}') \hat{\mathbf{e}}_\phi(\mathbf{r'})\cdot\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r}) \end{equation}$$

Hoffentlich können Sie sehen, dass dies ein echter Schmerz werden wird!

Sie können die Skalarprodukte natürlich explizit anhand der Geometrie auswerten (z. B.$\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r})\cdot\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r}')=\cos\theta$Wenn$\phi=\phi'$), und Sie müssen eine Summe von drei Integralen ausführen (beachten Sie, dass Sie jetzt drei Integrale zum Auswerten ausführen müssen$A_r$, eine der drei Komponenten von$\mathbf{A}$!). Es gibt einige Tricks, die Sie ausprobieren können; Beispielsweise können Sie Ihre Quellkoordinaten so auswählen, dass die Integrale, die Sie ausführen müssen, so gut wie möglich sind, und Sie haben auch eine gewisse Freiheit, die Sie verwenden können, um die Dinge zu vereinfachen.

Ich würde jedoch niemals vorschlagen, eines der oben genannten Dinge in der Praxis durchzuführen (es sei denn, Sie befinden sich in einer Situation mit viel Symmetrie, in der Sie alle Skalarprodukte auf etwas sehr Einfaches reduzieren können). Ich versuche nur, explizit zu veranschaulichen, was vor sich geht. Auf der Ebene von Griffiths ist es am besten, die kartesischen Komponenten des Vektorpotentials zu berechnen$A_x,A_y,A_z$. Falls Sie jemals die radiale Komponente brauchen$A_r$, können Sie es aus konstruieren$A_x,A_y,A_z$auf die übliche Weise.

Abschließend möchte ich nur darauf hinweisen, dass es zwar am einfachsten ist, die kartesischen Komponenten zu berechnen $A_x,A_y,A_z$, können die eigentlichen Integrationen für die Komponenten in einem beliebigen Koordinatensystem durchgeführt werden. Mit anderen Worten, bei der Bewertung

$$\begin{equation} A_x = \ \int \frac{J_x(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau' \end{equation}$$ Wo $J_x=\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{e}_x}$, Sie können beliebige Koordinaten für verwenden $\mathbf{r}'$Sie möchten das Integral auswerten. Bei den Feinheiten dreht sich alles um die Basisvektoren. Sobald Sie einen geeigneten Basisvektor ausgewählt und ein Skalarintegral gebildet haben, können Sie jedes beliebige Koordinatensystem verwenden, um das Integral auszuwerten, ohne versteckte Feinheiten gegenüber dem normalen Skalarpotential (dh elektrostatische) Fall.

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(Dies war in der ursprünglichen Antwort, ich habe es hierher verschoben, um den Fluss des obigen nicht zu stören).

Wenn Sie wirklich wissen wollen, wie man rechnet$\mathbf{A}(\mathbf{r})$(oder$\mathbf{E}$Und$\mathbf{B}$) in sphärischen Koordinaten, ohne Kartesianer zu durchlaufen, ist der „richtige“ Weg, dies zu tun, in Bezug auf die sphärischen Harmonischen des Vektors. Es gibt eine ganze Menge zusätzlicher ausgefeilter (aber interessanter!) Maschinen, die Sie benötigen, daher würde es den Rahmen dieser Antwort sprengen, sie zu erklären, aber wenn Sie interessiert sind, lesen Sie Jackson, 3. Auflage, Abschnitte 5.6 und 9.7 oder die Abschnitte über den Vektor Multipolexpansion und die inhomogene Helmholtz-Gleichung in den Vorlesungsunterlagen von Fitzpatrick http://farside.ph.utexas.edu/teaching/jk1/Electromagnetism/Electromagnetism.html oder im Wikipedia-Artikel http://en.wikipedia.org/wiki /Vector_spherical_harmonics .

Das Integral folgt aus der Verwendung einer Greenschen Funktion für den Vektor Laplace; dass die Funktion von Green nicht koordinatensystemabhängig ist. Das Integral kann in einem beliebigen Koordinatensystem abgeleitet werden.

Das Problem hier ist eher ein praktisches: der Vektor$A(r)$kann in Bezug auf eine Basis von Vektorfeldern ausgedrückt werden – insbesondere die Werte dieser Basisfelder an dem Punkt$r$. Das große Problem ist mit der$r'$Teile des Integrals: Die meisten Ansätze zur Durchführung von Integralen, die als Endergebnis Vektoren ergeben, verwenden eine feste (z. B. kartesische) Basis, sodass das Integral in skalare Integrale zerfällt, multipliziert mit festen Basisvektoren.

Ich habe dieses Buch nicht zur Hand, daher weiß ich nicht, wie es dort hergeleitet wird. Aber ich denke, die Integralformel stammt von Greens Funktionsansatz zur Lösung einer Poisson-Gleichung. Soweit ich weiß, funktioniert die Methode der Greenschen Funktionen jedoch für die normale Poisson-Gleichung, dh die unbekannte Funktion ist ein Skalar und kein Vektor A wie hier. Um die Integralgleichung zu erhalten, könnten wir uns die 1. Gleichung als drei Poisson-Gleichungen für die kartesischen Komponenten vorstellen und die Lösungen der drei Poisson-Gleichungen wieder zu einem Vektor zusammensetzen. Für diesen Zweck funktionieren jedoch andere als kartesische Koordinaten nicht.

Ob es eine Gegenstück-Integralformel gibt, die für alle Koordinatensysteme geeignet ist ... Ich freue mich auf die Antworten anderer Leute.