In welche Darstellung verwandeln sich die Christoffel-Symbole?

Erstens wandeln sie sich nicht in eine tatsächliche "Darstellung" im Sinne einer linearen Darstellung der Gruppe der Koordinatentransformation um, da ihr Verhalten unter einer Koordinatentransformation liegt$x\mapsto y(x)$ist gegeben als

$${\Gamma^\alpha}_{\beta\gamma} \overset{y(x)}\mapsto \frac{\partial x^\mu}{\partial y^\beta}\frac{\partial x^\nu}{\partial y^\gamma}{\Gamma^\sigma}_{\mu\nu}\frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\sigma}\frac{\partial^2 y^\sigma}{\partial x^\beta \partial x^\gamma}\tag{1}$$

Trotzdem ist ihre Transformation nicht "zufällig", da sie diese Form haben, um die kovariante Ableitung als echten Tensor transformieren zu lassen. Sie verwandeln sich als Objekt in das Strahlbündel des Rahmenbündels der Raumzeit$\mathcal{M}$. Nun, was bedeutet das?

Eine Koordinatentransformation$y(x)$bestimmt an jedem Punkt$p\in\mathcal{M}$eine invertierbare lineare Abbildung

$$y'_p : T_p\mathcal{M}\to T_p\mathcal{M}, \frac{\partial}{\partial x^\mu}\mapsto\frac{\partial x^\nu}{\partial y^\mu}\frac{\partial}{\partial x^\nu}$$ dh $y'$ist ein Diffeomorphismus $T\mathcal{M}\to T\mathcal{M}$des Tangentenbündels, das mit der Projektion auf die Basis kompatibel ist.

Zum Tangentialbündel gibt es das Rahmenbündel $F\mathcal{M}$aller bestellten Basen von$T_p\mathcal{M}$an jedem Punkt. "Bestellte Basis" bedeutet, dass Sie einfach die nehmen$n$Basisvektoren und schreibe sie in eine$n\times n$-Matrix. Da es sich um eine Basis handelt, ist diese Matrix invertierbar - der Raum, den das Rahmenbündel jedem Punkt zuordnet, ist der von$\mathrm{GL}(n)$, und es ist daher a$\mathrm{GL}(n)$- Hauptbündel .

Die "Christoffel-Symbole" sind jetzt nur noch die Bestandteile einer Hauptverbindung auf jenem Bündel, wobei eine "Verbindungsform" den Physikern besser als Eichfeld bekannt ist , dieses nimmt Werte auf$\mathfrak{gl}(n)$, dh die Christoffel-Form ist eine 1-Form$\Gamma : T\mathcal{M}\to\mathfrak{gl}(n)$. Seine Eichtransformationen sind gegeben durch$y_\text{gauge} : \mathcal{M}\to\mathrm{GL}(n), p \mapsto y'_p = \frac{\partial x^\nu}{\partial y^\mu}\rvert_p$für eine Koordinatentransformation$y$, und wie jedes Messfeld transformiert es sich als

$$y_\text{gauge} \Gamma y_\text{gauge}^{-1} + y_\text{gauge}\mathrm{d}y_\text{gauge}^{-1}$$ Der Koordinatenausdruck ist $(1)$wird hieraus schriftlich neu eingeholt $\Gamma = {\Gamma^\mu}_{\nu\sigma}{T^\nu}_\mu\mathrm{d}x^\sigma$für eine Grundlage ${T^a}_b$des $n\times n$-Matrizen $\mathfrak{gl}(n)$.

Die Christoffel-Symbole verwandeln sich unter keiner Darstellung. Der Grund dafür ist, dass sie sich nicht linear transformieren, was sie völlig aus dem Spiel bringt. Das Umwandlungsgesetz ist

$$\tilde \Gamma^{\mu}_{\nu\kappa} = {\partial \tilde x^\mu \over \partial x^\alpha} \left [ \Gamma^\alpha_{\beta \gamma}{\partial x^\beta \over \partial \tilde x^\nu}{\partial x^\gamma \over \partial \tilde x^\kappa} + {\partial ^2 x^\alpha \over \partial \tilde x^\nu \partial \tilde x^\kappa} \right ]$$

(für einen Beweis siehe zB diese math.se-Frage ). Wie Sie sehen können, ist es möglich für$\tilde \Gamma^{\mu}_{\nu\kappa}$ungleich Null sein, selbst wenn$\Gamma^{\mu}_{\nu\kappa}$verschwindet identisch, was fatal für die Linearität ist.

Der Grund dafür ist, dass eine Darstellung eine Abbildung aus der Symmetriegruppe ist$G$der Raumzeit in die Gruppe der linearen Transformationen auf einem gegebenen Vektorraum$V$. Also: keine Linearität, keine Darstellung.