Das ist eine sehr gute Frage. Während es "natürlich" erscheinen mag, dass die Welt wie ein Vektorraum geordnet ist (es ist die Ordnung, an die wir gewöhnt sind!), ist es in der Tat eine völlig unnatürliche Anforderung für die Physik, die nur auf lokalen Gesetzen aufbauen soll. Warum sollte es überhaupt eine perfekte Fernordnung des Weltraums geben? Warum sollte sich der Weltraum von hier bis zum Ende des sichtbaren Universums (das jetzt etwa 40 Milliarden Lichtjahre entfernt ist) als eine nahezu triviale mathematische Struktur ohne erkennbare Ursache für diese Struktur erstrecken? Überall dort, wo wir ähnliche Strukturen wie Kristalle haben, gibt es sowohl lokale (Wechselwirkung zwischen Atomen) als auch globale (Thermodynamik der geordneten Phase, die eine niedrigere Entropie hat als die möglichen ungeordneten Phasen) ursächlichen Kräfte, die für diese Fernordnung verantwortlich sind . Wir tun

Wenn man keine offensichtliche Ursache finden kann (und das haben wir bisher nicht), dann ist die Annahme, dass der Raum „so geordnet werden muss, wie er ist“, nicht natürlich, und alle Theorien, die wir auf dieser Annahme aufbauen, basieren auf a kludge, das aus Unwissenheit stammt.

"Warum brauchen wir überhaupt koordinatenfrei?" ... nun, es ist nicht klar, ob wir das tun. Nur weil wir sie mit einigem Erfolg eingesetzt haben, heißt das nicht, dass sie notwendig waren. Es bedeutet nur, dass sie für die Beschreibung der makroskopischen Welt geeignet waren. Diese Bequemlichkeit hört leider auf, sobald wir uns mit der Quantentheorie befassen. Das Integrieren über alle möglichen Impulszustände in QFT ist eine unglaublich teure und chaotische Operation, die zu einer Reihe trivialer und nicht so trivialer Divergenzen führt, mit denen wir ständig kämpfen müssen. Es gibt ein paar Hinweise aus der Natur und der Theorie, dass es tatsächlich ein Narrtum sein könnte, die Natur auf diese hochgradig geordnete Weise zu betrachten, und dass der Versuch, mikroskopisch zu ordnen, mehr Probleme verursacht als löst.https://www.youtube.com/watch?v=sU0YaAVtjzE . Der Vortrag ist am Anfang viel besser, wenn er die Probleme mit koordinatenbasiertem Denken darlegt und dann auf das ungelöste Problem absteigt, wie man es überwindet. Wenn überhaupt, ist dieser Vortrag ein wunderbarer Einblick in das kreative Chaos der modernen Physiktheorie.

Als letzte Bemerkung möchte ich Sie vor der Tendenz des menschlichen Geistes warnen, Dinge, die er von anderen gehört hat, als "völlig normal und hier erfunden" zu übernehmen. Jemand hat dir davon erzählt$\mathbb R$und Sie haben es angenommen, als wäre es die natürlichste Sache der Welt, dass eine unzählbare Unendlichkeit von nicht existierenden Objekten namens "Zahlen" existieren sollte und dass sie auf magische Weise auf Objekte der realen Welt abgebildet werden sollten, die durchaus zählbar und niemals unendlich sind. TU das niemals! Nicht in der Physik und nicht in der Politik.

Warum brauchen wir überhaupt koordinatenfrei?

Lassen Sie mich Ihnen von einer verwandten Erfahrung erzählen, die ich beim Unterrichten von Studenten hatte. Wenn ich sie bitte, das Skalarprodukt zu definieren, wird die überwiegende Mehrheit etwas in der Art von aufschreiben

$$\vec{v}\cdot \vec{w} = v_x w_x + v_y w_y + v_z w_z \qquad (1)$$ dh eine koordinatenbasierte Beschreibung. Hin und wieder wird jedoch ein Student einen Fehler machen und so etwas schreiben $$\vec{v}\cdot \vec{w} = |(v_x w_x , v_y w_y , v_z w_z)| \qquad (2)$$ (Es ist überraschend üblich; ich unterrichte einen Einführungskurs in mathematische Methoden und sehe ihn mindestens einmal im Semester ...)

Natürlich können Sie ihnen beibringen, (1) statt (2) zu tun, aber zu erklären, warum (1) in der Koordinatenbeschreibung „richtig“ und (2) „falsch“ ist, ist ziemlich schwierig. Warum sollten wir Vektoren wie (2) nicht kombinieren?

In diesem Fall gehe ich in die koordinatenfreie Beschreibung. Da ist es offensichtlich$\vec{v}\cdot\vec{w} = |v||w|\cos\theta$unter Drehungen unveränderlich ist, während Sie leicht überprüfen können, dass (2) dies nicht ist. Da physikalische Gesetze rotationsinvariant sind, kann jeder mathematische Ausdruck davon nur Operationen verwenden, die die Rotationssymmetrie bewahren. Daher ist (1) in Ordnung, während (2) nicht gut ist.

Damit zeigt sich zumindest ein Vorteil koordinatenfreier Beschreibungen: Sie machen die Symmetrien der Gleichungen sofort deutlich.

Dies ist eine großartige Frage mit drei großartigen Antworten, und hier bin ich, etwas spät zur Party. Es gibt zwei entscheidende Dinge, die die obigen Antworten nicht anzusprechen scheinen, also werde ich versuchen, eine wirklich einfache Erklärung auf diesen Ebenen zu geben.

Lokalität / Mannigfaltigkeiten

Ich werde nahe daran sein, Ihnen eine technische Definition einer Mannigfaltigkeit zu geben , in Anlehnung an Penroses Buch Spinors and Space-Time , aber ich werde versuchen, diese leicht und vernünftig zu halten. Beginnen wir damit, für eine Sekunde zu vergessen, was wir sonst noch über den Weltraum wissen, und konzentrieren uns auf eine Sache: Die Raumzeit ist eine Menge von "Punkten". Sicher, es ist keine „diskrete“ Menge (es enthält eine unabzählbar unendliche Anzahl von Punkten), aber die Raumzeit wird grundlegend durch die Tatsache definiert, dass sie diese anderen Objekte enthält, die „Punkte“ in der Raumzeit sind, und wir können es nicht Definieren Sie diese Punkte wirklich weiter . Sie sind nur eine Art atomare Sache, über die wir sprechen können, und die Raumzeit ist eine Menge$\mathcal S$dieser Punkte.

Offensichtlich stecken wir ohne weitere Informationen ziemlich fest.

Pfeile als Informationen

Die einfachste Form der Information besteht darin, die zulässigen Skalarfelder zu erstellen $\mathcal A \subseteq (\mathcal S \rightarrow \mathbb R)$, was bedeutet "$\mathcal A$ist eine Teilmenge (oder gleich) der Funktionen, die Punkte aufnehmen$\mathcal S$zu Zahlen ein$\mathbb R$.“ Wir könnten diese „Skalarfelder“ nennen, aber vielleicht ist es ein noch besserer Gedanke, etwas Kategorientheorie zu stehlen und sie „Pfeile“ zu nennen, indem wir die Pfeile einschränken, die wir in der Menge auswählen$\mathcal A$wir können tatsächlich abstimmen, wie pingelig/pingelig wir in Bezug auf unsere Beschreibungen sind$\mathcal S$, da sie unser einziges Werkzeug zur Beschreibung sind$\mathcal S$. Es ist dennoch gut, einige wirklich grundlegende Annahmen zu treffen. Eine allgemeine Annahme betrifft die Schließung : Angenommen$f$ist eine glatte Funktion$\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$, dann macht es Sinn, dass wenn$a_1, \dots a_n$sind alles Pfeile (Skalarfelder in$\mathcal A$), dann das Skalarfeld$p \rightarrow f(a_1(p), \dots, a_n(p))$sollte auch drin sein$\mathcal A$. Ich werde diese glatten Funktionen wieder verwenden, also lasst uns schreiben$p \rightarrow f(a_1(p), \dots, a_n(p))$wie$f[a_1, \dots, a_n]$mit eckigen Klammern, um uns daran zu erinnern, dass wir die Definition von "anheben".$f$aus$\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$zu$\mathcal A^n \rightarrow \mathcal A$auf die "offensichtlichste" Weise, die wir können.

Dieses Schließungsaxiom gibt uns nützliche Operationen wie$+$und$\cdot$auf Pfeilen, "Anheben" dieser Operationen von reellen zu skalaren Feldern$\mathcal A$. In der Tat die Schließung von$\mathcal A$gibt uns etwas noch Tieferes: die "Kernel-Closed-Set-Topologie". Definiere einen Satz$s \in \mathcal S$als "geschlossen", wenn ein Pfeil vorhanden ist$a \in \mathcal A$so dass$\operatorname{ker} a = s$(mit anderen Worten,$s$ist die Menge von Punkten, die$a$nimmt die Nummer an$0$). Definiere eine Menge als offen, wenn ihr Mengenkomplement abgeschlossen ist. Dieser Satz von Definitionen wird als Topologie bezeichnet (wenn er bestimmte Axiome erfüllt, was das Abschlussaxiom garantiert) und lässt Sie definieren, was es bedeutet, dass Karten "kontinuierlich" sind (was, wie sich herausstellt, alle Pfeile sind). Dies geschieht mit einigen anderen Definitionen: Beispielsweise ist eine "Nachbarschaft" eines Punktes eine offene Menge, die diesen Punkt enthält.

Also wenn$\mathcal S$eine 2-Kugel ist (also eine Oberfläche einer 3-Kugel), liegt es nahe, 3D-Koordinaten zu verwenden und Werte zuzuweisen$x$,$y$, und$z$auf die Kugel, wodurch reibungslose Funktionen ermöglicht werden$\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R$dieser drei Zahlen unsere "Pfeile" sein.

Koordinaten als Pfeile

Und jetzt können wir endlich darüber sprechen, was es bedeutet, Koordinaten zu haben, indem wir ein weiteres Axiom hinzufügen$\mathcal A$: für jeden Punkt$s \in S$dann hat es eine Nachbarschaft$N_s$und einige Pfeile$c^s_1, ... c^s_d$so dass, wenn zwei Punkte$p, p' \in N_s$sind anders ($p \ne p'$), dann ist eine Koordinate anders ($c^s_i(p) \ne c^s_i(p')$für einige$i$). Die Pfeile können also lokal verwendet werden, um Punkte voneinander zu unterscheiden.

Beachten Sie, dass wir dies mit 2 Koordinaten auf der 2-Sphäre tun können – wir können es lokal tun, aber nicht global. ($\theta$ist kein Pfeil; es hat eine Diskontinuität.) Wenn sich also ein Punkt in der nördlichen oder südlichen Hemisphäre befindet, können wir verwenden$x, y$als Koordinaten. Wenn es auf dem Äquator liegt, müssen wir entweder verwenden$x, z$oder$y, z$als Koordinaten. Es gibt kontinuierliche Funktionen, die abbilden$x \le 0$zu$0$und so weiter, das ist alles, was wir brauchen: die Nachbarschaften sind Hemisphären.

Dies gibt einen sehr technischen, aber 100% gültigen Grund für "warum brauchen wir koordinatenfreie Beschreibungen": Sobald Sie wissen, was Koordinaten sind , bedeutet die Tatsache, dass sie lokal zu bestimmten Punkten in der Raumzeit liegen, dass jede koordinatenspezifische Definition nur gültig ist in der Nähe Ihrer aktuellen Position . Sie beginnen mit einer 2D-Beschreibung Ihrer Welt in Bezug auf Nord/Süd und Ost/West, aber Ihre Beschreibung schlägt fehl, wenn Sie beginnen, mehr als 10.000 km nach Osten oder Westen zu gehen. Sobald Sie Ihre Funktion gut genug definiert haben, wird sie zu einem Pfeil und damit "koordinatenfrei".

In ähnlicher Weise sieht man oft Leute sagen, dass "es ewig dauern würde, um ein schwarzes Loch zu erreichen" oder "die Zeit steht still am Ereignishorizont" oder ähnliche Dinge. Wir wissen eigentlich schon lange, dass das nicht stimmt , und es ist ein Fehler der gleichen Art. Wenn Sie still stehen und sich weit entfernt vom Schwarzen Loch befinden, haben Sie bestimmte Koordinaten, die "natürlich" sind, um es zu beschreiben. Es stellt sich heraus, dass Ihre Koordinaten den Ereignishorizont des Schwarzen Lochs nicht passieren können. Aber das bedeutet nicht, dass es darauf ankommtkippen. Tatsächlich haben wir entdeckt, dass es „mitbewegte Koordinaten“ gibt, eine Reihe von Koordinaten, die von jemandem verwendet werden, der auf natürliche Weise in das Schwarze Loch fällt, die gut funktionieren, um über den Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs zu gelangen. Es ist nur so, wenn Sie zu Ihrer Ortszeit über den Ereignishorizont hinausfallen$t$, Sie hören auf, Licht von sich selbst an die Person zu senden, die weit vom Schwarzen Loch entfernt ist: Das letzte Bild, das sie von Ihnen sehen, ist also zu Ihrer Zeit$t$, und weil das Licht von damals immer mehr der Schwerkraft entkommen muss, je näher man dem Horizont kommt, brauchen Bilder aus dieser Zeit immer länger, um dorthin zu gelangen. Aus ihrer Perspektive „sieht es dann natürlich so aus, als würde man ewig brauchen, um das Schwarze Loch zu erreichen, und wie alles am Ereignishorizont „aufhört sich zu verändern“ und so weiter. Aber das liegt daran, dass ihre Koordinaten es nicht passieren können.

Vektorfelder machen es noch deutlicher

Ein anderes Beispiel: Sie können sicherlich jetzt auf unserer beginnen, Vektorfelder zu definieren$(\mathcal S, \mathcal A)$Topologischer Raum, als Ableitungen : Funktionen von Pfeil zu Pfeil, die eine "Kettenregel" in dem Sinne erfüllen, dass, wenn$f$ist eine glatte Funktion$\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$(Erinnerst du dich an die?) Wo$f_(i)$ist die erste Ableitung von$f$in Bezug auf seine$i^{\text{th}}$Parameter, dann

$$\mathbf v(f[a_1,\dots,a_n]) = \sum_{i=1}^n f_{(i)}[a_1, \dots, a_n] \cdot \mathbf v(a_i).$$ Beachte noch einmal, dass dies das bedeutet $\mathbf v(a + b) = \mathbf v(a) + \mathbf v(b)$und $\mathbf v(a \cdot b)$= $a \cdot \mathbf v(b) + \mathbf v(a) \cdot b$. Wir profitieren sehr von diesen reibungslosen Funktionen $\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$! (Wenn Sie noch nie ein Vektorfeld als Ableitung gesehen haben, im euklidischen Raum mit Ihren üblichen orthonormalen Koordinaten, inneres Produkt $\langle\cdot,\cdot\rangle$und Vektorfelder, wobei die Ableitung dem Feld entspricht $\vec v$ist die Funktion $\mathbf v(f) = \langle \vec v, \nabla f \rangle$.

Jetzt können Sie lokal Vektorfelder auf Ihren Koordinaten definieren, die überall ungleich Null sind, und diese Regeln erfüllen: Aber auf der 2-Sphäre gibt es keine Vektorfelder, die überall ungleich Null sind. Dieses hat den charmanten Namen „hairy ball theorem“ und wenn man die Vektorfelder auf der 2-Sphäre als Windprofile interpretiert, besagt es, dass es im Grunde immer mindestens zwei „Zyklone“ gibt (gemessen durch Zählen von Sturmaugen wo die Windgeschwindigkeit 0 ist) auf der Kugel.

Das hätten Sie bei Ihren koordinatenbasierten Beschreibungen des Windes nicht erwartet, oder?

Verallgemeinerte Koordinaten

Von der Koordinatenunabhängigkeit profitieren Sie eigentlich nicht nur bei Mannigfaltigkeiten und der Allgemeinen Relativitätstheorie: Viel früher in der Schulzeit fangen wir an, den Schülern Variationsrechnung und verallgemeinerte Koordinaten beizubringen . Der übliche Weg, diese zu motivieren, ist das Brachistochrone-Problem:

Stellen Sie sich eine rein durch die Schwerkraft gespeiste, reibungsfreie Achterbahn vor, beginnend bei$(-L, 0)$und endet bei$(L, 0)$. Finden Sie die Strecke$y(x)$die die Achterbahn nehmen muss, damit die Fahrt von Anfang bis Ende möglichst wenig Zeit in Anspruch nimmt.

Wir sehen zwei Extreme. Stellen Sie sich einen Weg vor, der direkt in die Höhe führt$h$, gefolgt von einer scharfen Kurve, die alles in Vorwärtsdrang umwandelt$(-L, -h)$, gefolgt von einer scharfen Kurve, die alles in Aufwärtsdynamik umwandelt$(L, -h)$. Von der Energie wissen wir, dass die Geschwindigkeit am Ende dieser Spur ist$v^2 / 2 = g h$oder$v = \sqrt{2 g h}$. Die Freifälle beschleunigen linear nach oben ab$0$zu$h$, also durchschnittlich halb so schnell,$\sqrt{g h / 2}$. Die Gesamtzeit für diese Art von Track ist also

$$T = \frac{2 h}{\sqrt{g h / 2}} + \frac{2 L} {\sqrt{2 g h}} = \frac {4 h + 2 L} {\sqrt{2 g h}}.$$

Die beiden Extreme sind hier$h \rightarrow 0$wo$T \rightarrow \infty$(kein freier Fall, aber auch zu wenig Vorwärtsgeschwindigkeit) und$h \rightarrow \infty$wo$T \rightarrow \infty$auch (indem du dich unendlich schnell bewegst, überquerst du die$2L$Entfernung in kürzester Zeit – aber Sie brauchen ewig, um weit genug zu fallen, um dorthin zu gelangen. Mit etwas Kalkül kann man sogar ein Minimum finden$T$zwischen diesen, wenn man diese Form des Weges annimmt – aber es gibt andere, kurvigere Wege , die man zwischen diesen geraden Linien untersuchen kann.

Das Problem ist, dass diese "scharfen Kurven" im obigen Beispiel die einzigen Zwangskräfte sind, die "schön" sind. Eine Zwangskraft muss zusammen mit dem Impuls eines Partikels wirken und diesen Impuls in die zulässigen Richtungen lenken. Und wenn Sie die Spur noch nicht kennen, kennen Sie noch nicht die Richtung der Zwangskraft – geschweige denn die Größe! Die wichtigste Kraft für dieses Problem (tatsächlich die einzige Kraft außer der Schwerkraft) ist also eigentlich ziemlich schwer herauszufinden, selbst wenn wir davon ausgehen, dass Sie eine Form dafür haben$y(x)$. Es ist schwierig, dieses Problem mit klassischen, koordinatenbasierten Methoden und Kräften und dergleichen zu lösen.

Ähnliches passiert bei Doppelpendeln : Die Zwangskraft, die die beiden Teile des Pendels auf gleichem Abstand hält, ändert ständig ihre Richtung; wie wirst du damit umgehen? Nun, wäre es nicht schön, wenn Sie ein koordinatenunabhängiges Verständnis der Physik hätten, so dass Sie Koordinaten auswählen könnten, die die Einschränkungen erzwingen - in diesem Fall$\theta_1, \theta_2$, und dann Physik damit machen ? Wenn Sie die richtigen Koordinaten wählen, müssen Sie die Zwangskraft schließlich nicht modellieren . Und dann können Sie einige Differentialgleichungen für das Doppelpendel bekommen, beweisen, dass es chaotisch ist, und zwei davon bauen, um Ihrem Klassenzimmer Chaos zu zeigen.

Lassen Sie mich Ihnen zunächst sagen, dass das, was Sie lesen, sehr vage ist. In GR wird davon ausgegangen, dass die Gesetze der Physik vom Beobachter unabhängig sind. Ein Beobachter wird durch einen Referenzrahmen repräsentiert, den der Beobachter verwendet, um physikalische Phänomene zu messen.

Es gibt eine Reihe von Koordinatentransformationen, die Observablen für verschiedene Beobachter in Beziehung setzen. Angenommen, die Geschwindigkeit eines Autos, wie sie von einem stationären Beobachter beobachtet wird, und ein Beobachter, der sich mit konstanter Geschwindigkeit in Bezug auf den stationären Beobachter bewegt, hängen durch die Galilei-Transformationen zusammen (Dies ist nur ein Beispiel, lesen Sie nicht zu viel hinein).

Wenn wir sagen, dass die Physik koordinatenfrei ist, meinen wir, dass die Gleichungen der Physik ihre Form behalten, wenn wir von einem Bezugsrahmen in einen anderen übergehen.

Weniger formal ausgedrückt: Wenn es zwei Beobachter mit unterschiedlichen Raum-Zeit-Koordinaten gibt und sie versuchen, die physikalischen Gesetze durch eine Reihe von Experimenten in ihren jeweiligen Referenzrahmen abzuleiten, sollten sie dieselben physikalischen Gesetze oder Gleichungen erhalten Sie finden, dass die Gesetze der Physik die gleichen sein sollten. Sprich für die Elektrodynamik sollten beide die Maxwell-Gleichungen erhalten.

Die Darstellung der Koordinatenunabhängigkeit in einer offensichtlichen Form wird als kovariante Darstellung bezeichnet (die Sie bei Interesse überprüfen können).

Wenn Sie Differentialgleichungen lesen, kann ich Ihnen am nächsten kommen, um dies zu verstehen, indem Sie nach der koordinatenfreien Darstellung der Geoscheibengleichung suchen und versuchen, eine beliebige Koordinatentransformation durchzuführen und zu beobachten, wie die Form gleich ist.

Warum wir eine koordinatenfreie Beschreibung brauchen, liegt einfach daran, dass die koordinatenfreie Beschreibung alle experimentellen Ergebnisse korrekt erzeugt und eine kompliziertere koordinatenabhängige Beschreibung nicht erforderlich ist.

Warum brauchen wir überhaupt eine koordinatenfreie Beschreibung?

In der Physik haben wir überhaupt eine koordinatenfreie Beschreibung.

Betrachten Sie Ihr Beispiel:

Wenn ich von der Schule nach Hause gehe

Die Beschreibung dieser besteht aus

• Sie und die Schule (Gebäude) voneinander abweichen,
• Sie und Ihr Haus treffen sich,

und, füllen Sie ein paar weitere Details aus,

• Ihre Füße treffen und passieren bestimmte Bestandteile des "Pflasters"; zwischen Ihrer Angabe, die Schule zu verlassen, und Ihrer Angabe, bei Ihnen zu Hause anzukommen.

(Noch mehr Details könnten ausgefüllt werden, zum Beispiel darüber, was Sie sonst noch bei einem bestimmten dieser "Schritte" beobachtet haben, die Sie gemacht haben,
und was die Schule und Ihr Haus und die verschiedenen eindeutig identifizierbaren Bestandteile des Bürgersteigs an Ihnen beobachtet haben und untereinander.)

Und das war's, soweit es um die physikalisch-geometrische Beschreibung geht.
Es wird nichts Sinnvolles hinzugefügt, indem die Elemente der Beschreibung mit irgendwelchen Tupeln von reellen Zahlenwerten als Koordinaten bestreut werden.

Ich gehe auf einem 2D-Flugzeug

In der Tat können die identifizierbaren Bestandteile des Pflasters (die Ihre Füße berührt hatten oder sogar darüber hinaus) zum Beispiel bestimmen, dass sie (zumindest in gewisser Näherung) in Ruhe zueinander und eben zueinander waren.

Nochmals: Wenn dies gemessen wurde (abgeleitet von dem, was die jeweiligen Teilnehmer voneinander beobachtet haben), dann wird dieses Ergebnis durch keinerlei Zuordnung von Koordinaten verändert.

Nun können natürlich Koordinaten vergeben werden, um geometrische Ergebnisse (mehr oder weniger) darzustellen . Zum Beispiel:

• Sie können es vorziehen, (den Schritten von) Ihren Gehkoordinatenwerten zuzuweisen$t$so dass sie in Bezug auf die Reihenfolge Ihrer Schritte (die Sie am besten kennen) monoton ansteigen ; oder

• den identifizierbaren Bestandteilen des Pflasters können Paare von reellen Zahlen als Koordinaten zugeordnet werden (anstatt nur einzelne Zahlen oder Tripel usw.), weil (um darzustellen) das Ergebnis ist, dass sie plan zueinander waren.

Mehr noch:
Angesichts der Abstände zwischen allen Bestandteilen der Fahrbahn,

$$d : \mathcal P \times \mathcal P \rightarrow \mathbb R,$$

jede Eins-zu-Eins-Koordinatenzuweisung

$$c : \mathcal P \rightarrow \mathbb R^2$$

induziert eine bestimmte Abstandsdarstellungsfunktion

$$\mathfrak g : \mathbb R^2 \times \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R,$$

so dass für zwei beliebige (nicht unbedingt unterschiedliche) Bestandteile$A$und$B$

$$\mathfrak g[~c[~A~], c[~B~]~] = d[~A, B~].$$

Dann bevorzugen Sie vielleicht solche Koordinatenzuweisungen für die$\mathfrak g$ist eine glatte Funktion beider Argumente.

Die Entscheidung, ob und in welchem ​​Sinne Ergebniswerte durch bestimmte Koordinatenwerte (mit ihren impliziten Eigenschaften bezüglich Topologie und Algebra) repräsentiert werden können, folgt immer der Gewinnung solcher Werte und insbesondere der Entscheidung und Festlegung, wie sie überhaupt gemessen werden sollen.