Warum müssen Sie für jedes Koordinatensystem das Jacobi-Koordinatensystem angeben, aber das kartesische?

Weil unsere Welt (lokal) euklidisch ist .

In einer euklidischen Welt werden gerade Linien bevorzugt und wir haben unterbewusst Dinge wie Abstand, Fläche und Volumen mit geraden Linien definiert. Wenn das reale Objekt, das wir besetzen, nicht aus geraden Linien besteht, schneiden wir es in kleine Stücke, bis wir ungefähr gerade Linien erhalten, und dann summieren wir diese kleinen Stücke, um den „echten“ Wert zu erhalten.

In einer euklidischen Welt besteht eine direkte Korrelation zwischen kartesischen Koordinaten und Längen in der realen Welt. Beispielsweise ist ein Kreis in kartesischen Koordinaten ein Kreis in der realen Welt; aber ein Kreis in der realen Welt ist ein Rechteck in Polarkoordinaten.

Stellen Sie sich eine Oberfläche vor, die in unserer Welt durch die folgenden Kurven begrenzt wird:$y=a_0 /x$,$y=a_1 /x$,$y=b_0 x$,$y=b_1 x$

In einer Welt, in der ihre vertikalen Linien einer definierten Kurve entsprechen$u=xy$bei uns entsprechen horizontale Linien den Kurven$v=y/x$, wird diese komplexe Figur einfach zu einem Quadrat mit Seiten$a_1-a_0$Und$b_1-b_0$und Bereich$A=(a_1-a_0)(b_1-b_0) \, u.a$.

In unserer Welt ist das nicht so einfach und der Bereich, der von diesen Linien begrenzt wird, ist es definitiv nicht. Jetzt ist der Jacobi das Werkzeug, das wir verwenden, um den Wert einer Messung von einem Koordinatensystem in den Wert umzuwandeln, der erhalten würde, wenn die Messung in kartesischen Koordinaten durchgeführt würde. Es stellt die infinitesimale Beziehung zwischen den Längen eines Objekts dar, wenn ein System in das andere gezeichnet wird. Unendlich kleine Längen können immer als gerade Linien betrachtet werden.

Es ist wichtig klarzustellen, dass kartesische Koordinaten nicht das einzige „gerade“ Koordinatensystem sind. Jedes System, das durch nicht orthogonale gerade Linien gebildet wird, kann betrachtet werden. Die Sache ist die, dass wir diese Systeme als geschert und dann nicht unbedingt natürlich betrachten würden.

PS: Der Jacobian ist immer dabei. Wir definieren nur$|J|=1$für ein kartesisches Koordinatensystem, da die Ergebnisse dieses Systems in direktem Zusammenhang mit unserer Welt stehen. Einige außerirdische Arten, die in einer Welt mit einem sehr starken Gravitationsfeld leben (z. B. neben einem Schwarzen Loch ;-), hätten ihre definiert$|J|=1$zu einem anderen System.

---

BEARBEITEN:

Verwenden

$$I_c= \int \int dx \, dy$$ Als Doppelintegral in kartesischen Koordinaten und $$I_p= \int \int dϱ \, dθ$$ Als Doppelintegral in Polarkoordinaten.

Aufgrund der Übereinstimmung von kartesischen Koordinaten und der „realen Welt“ konnte man dies entweder experimentell oder durch Logik (mit Methoden wie Quadratur des Kreises und Schneiden des Kreises ) feststellen$I_c$ergibt den gleichen Nennwert wie die durch die Grenzkurven begrenzte Fläche. Daher kann man den Bereich als definieren

$$A= \int \int \, dA=\int \int dx \, dy$$ Und das Flächenelement $$dA=dx \, dy$$ Jedoch, $I_p$ergibt einen anderen Wert (in diesem Fall den Umfang des Kreises). Von diesem Punkt an können 2 Dinge getan werden;

1. Definieren$│J│=1$im Startsystem

Mit dieser Definition erhalten Sie durch Anwenden der Jacobi-Zahl beim Übergang vom ursprünglichen System zum nächsten denselben numerischen Wert, aber doppelte Integrale haben alle möglichen Bedeutungen, abhängig von der Bedeutung, die sie auf dem Startsystem haben, was sie zu einem macht zumindest wenig zweideutig.

2. Definieren$│J│=1$im kartesischen System

Mit dieser Definition haben alle Systeme nicht nur den gleichen Zahlenwert, sondern alle Doppelintegrale ergeben eine Fläche der durch die Kurven begrenzten Fläche.

Dasselbe gilt für Volumenintegrale.

Denn das infinitesimale Flächenelement und das infinitesimale Volumenelement, die in kartesischen Koordinaten liegen$\:\mathrm{dS}=\mathrm dx\mathrm dy\:$Und$\:\mathrm{dV}=\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\:$, im Allgemeinen sind krummlinige Koordinaten nicht$\:\mathrm{dS}=\mathrm du\mathrm dv\:$Und$\:\mathrm{dV}=\mathrm du\mathrm dv\mathrm dw$. Die Jacobi-Koeffizienten sind die „Korrektur“-Koeffizienten. Siehe zum Beispiel Abbildung 01.

Außerdem ist eine überall von Null verschiedene Jacobi-Zahl eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Inversibilität von Koordinatentransformationen.

Wenn Sie also das Doppelintegral in Abbildung 02 finden möchten:

$$\begin{equation} A=\iint\limits_{\mathrm S} f\mathrm {dS} \tag{01} \end{equation}$$ dann durch kartesische Koordinaten $$\begin{equation} A=\iint\limits_{\mathrm S} f \!\left(x,y\right)\mathrm dx\mathrm dy \tag{02} \end{equation}$$ da in diesen Koordinaten $$\begin{equation} \mathrm {dS}=\mathrm dx\mathrm dy \tag{03} \end{equation}$$ Hier ist kein Jacobi erforderlich.

Aber wenn es bequem ist, andere krummlinige allgemeine Koordinaten zu verwenden$\left(u,v\right)$, dann unter der Koordinatentransformation:

$$\begin{equation} x=x\left(u,v\right)\,, \quad y=y\left(u,v\right) \tag{04} \end{equation}$$ wir haben $$\begin{equation} \mathrm {d S}=\:\underbrace{\left\vert \! \left(\dfrac{\partial \mathbf r}{\partial u}\mathrm d u\right)\!\! \boldsymbol{\times}\!\!\left( \dfrac{\partial \mathbf r}{\partial v}\mathrm d v \right)\!\right\vert}_{\textbf{algebraic magnitude}} \!=\underbrace{\left\vert \dfrac{\partial \mathbf r}{\partial u}\boldsymbol{\times}\dfrac{\partial \mathbf r}{\partial v}\right\vert}_{\textbf{algeb. magn.}}\,\mathrm d u\,\mathrm dv = \underbrace{ \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial u}\\ \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}}_{\textbf{Jacobian}} \mathrm du\,\mathrm dv=\dfrac{\partial \left(x,y\right)}{\partial \left(u,v\right)}\mathrm du\,\mathrm dv \tag{05} \end{equation}$$ Auch wir haben $$\begin{equation} g \left(u,v \right)=f\left[x\left(u,v\right),y\left(u,v\right)\right] \tag{06} \end{equation}$$ Durch Einfügen der Ausdrücke (05) und (06) in (01) haben wir $$\begin{equation} A=\iint\limits_{\mathrm S}g\left(u,v\right)\dfrac{\partial \left(x,y\right)}{\partial \left(u,v\right)}\mathrm du\mathrm dv=\iint\limits_{\mathrm S}g\left(u,v\right)\left(\dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v}-\dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial v}\right)\mathrm du\mathrm dv \tag{07} \end{equation}$$ Wir brauchen hier einen Jacobi.

Abbildung 02 (3D-Version)

Der Jacobi ist das mehrfache integrale Analogon der u-Substitutionsmethode. Zum Beispiel, wenn Sie die Vertretung vornehmen möchten$x = 2u$In einem Integral führen Sie effektiv eine Änderung der Koordinaten ein$x$Zu$u$und du musst setzen$dx = 2 \space du$anstelle von$dx$. In ähnlicher Weise nehmen Sie für den mehrdimensionalen Fall die Ersetzung vor.

$$dxdy= |J(x(u,v),y(u,v))| dudv$$

Ohne eine Änderung der Variablen gibt es keine Notwendigkeit. Sie könnten den Jacobi verwenden, wenn Sie wollten, indem Sie sich selbst für die Substitution halten

$$x(x,y) = x,\space y(x,y)=y$$ aber der Jacobi wäre nur die Identitätsmatrix, die

hat eine Determinante von$1$dir geben$dxdy=dxdy$

Ebenso im Fall einer Variablen die Substitution$x=x$gibt$dx=dx$

Wenn Ihr Integral ursprünglich beispielsweise in Polarkoordinaten war, müssten Sie den Jacobi verwenden, um ihn zurück in den Euklidischen zu konvertieren. Euklidische Koordinaten erhalten keinen Pass, es ist nur so, dass Sie im Allgemeinen von euklidischen Koordinaten zu sphärischen / polaren usw. wechseln, anstatt umgekehrt.

Die ursprüngliche Frage: "Warum muss man für jedes Koordinatensystem das Jacobi-Koordinatensystem angeben, aber das kartesische?"

Vielleicht sollten Sie näher darauf eingehen, warum │J│=1 für kartesische Koordinaten, und der Rest Ihrer Antwort wird perfekt gelten.

Warum schreibt jemand nicht$1 x = 2$und statt$x = 2$? Dies ist die gleiche Frage.

Die meisten Menschen definieren die Ausdehnung eines rechteckigen Objekts in$\Bbb{R}^n$im kartesischen Sinne als Produkt der$\Bbb{R}^1$Ausmaße. In diesem Fall der Transformation eines kartesischen ursprünglichen n-dimensionalen Raums in einen kartesischen$\Bbb{R}^n$ist die Identitätsmatrix, die das Matrixäquivalent von ist$1$für Koordinatentransformationen. Aber warum sollten Sie sich die Mühe machen, eine 1 in Ihre Formeln einzufügen?

$$\int _{\varphi _1}^{\varphi _2}\int _{\theta _1}^{\theta _2}\int _{\tau _1}^{\tau _2}f((\left( \begin{array}{ccc} \tau & \theta & \varphi \\ \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right))^\mathsf{T})d\tau d\theta d\varphi$$ Wo$f$ist eine reellwertige Funktion eines dreidimensionalen Zeilenvektors. Aber, wie nicht das Schreiben$1$in der Algebra-Gleichung, warum nicht einfach verwenden$f(\left( \begin{array}{ccc} \tau & \theta & \varphi \\ \end{array} \right))$? Alles, was die Matrixmultiplikation tut, ist eine Umbenennung$\left(\begin{array}{ccc} \tau & \theta & \varphi \\ \end{array} \right)$als$\left(\begin{array}{ccc} x & y & z \\ \end{array}\right)$.