Ist es sinnvoll zu fragen, wie die kovariante Ableitung auf die partielle Ableitung ∇μ(∂σ)∇μ(∂σ)\nabla_\mu ( \partial_\sigma) wirkt? Wenn ja, was ist die Antwort?

Meine Frage wäre, warum machst du das?

Die Idee der kovarianten Ableitung ist, dass sie einen Tensor auf einen Tensor mit einem weiteren niedrigeren Index abbildet, während sie einige andere Regeln wie die Liebniz-Regel erfüllt.

Aber wenn Sie ein Objekt wie$\partial_{a}\ell_{b}$, ist es im Allgemeinen bereits kein Tensor, und Ihre Abbildung hat ein Domänenproblem.

Wenn Sie versuchen, den Ausdruck einer Reihe von kovarianten Ableitungen in Form von Teiltönen und Christoffel-Symbolen herauszufinden, müssen Sie Folgendes tun:

$$\nabla_{a}\nabla_{b}v^{c} = \partial_{a}\left(\nabla_{b}v^{c}\right) - \Gamma_{ab}{}^{d}\nabla_{d}v^{c} + \Gamma_{ad}{}^{c}\nabla_{b}v^{d}\\ $$

Und dann kannst du das erweitern$\nabla v$Begriffe normal. Aber es bedeutet nichts, die kovariante Ableitung einer Teilfunktion zu berechnen, außer in einem Fall: wenn Sie die Ableitung einer Funktion berechnen. In diesem Fall haben wir für alle$f$,$\nabla_{a}f = \partial_{a}f$per Definition, also spielt es keine Rolle, welche Sie verwenden.

OP fragt im Titel (v2):

Macht es Sinn zu fragen, wie die kovariante Ableitung auf die partielle Ableitung wirkt?$\nabla_\mu ( \partial_\sigma)$?

I) Nun, ja, in einem begrenzten Sinne, wenn man mit der Notation vorsichtig ist. Denken Sie daran, dass eine partielle Ableitung$\partial_{\mu}$kann so interpretiert werden, dass es in der Differentialgeometrie einem doppelten Zweck dient: sowohl als tatsächliche Ableitung$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$einwirkende Funktionen, oder lediglich als Buchungsgerät, als Basis, die sich bei Änderung der Ortskoordinaten korrekt umwandelt$x^{\mu}$. Um diese Unterscheidung deutlich zu machen, führen wir die Notation ein$b_{\mu}$für die letztere Rolle. Dann können wir zB ein Vektorfeld schreiben als

$$X~=~X^{\mu}(x)b_{\mu}.\tag{1}$$ Wir können dann die kovariante Differenzierung reproduzieren $$X^{\nu}_{;\mu}~=~\frac{\partial X^{\nu}}{\partial x^{\mu}} + \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda} X^{\lambda}\tag{2}$$ durch einen Trick: Führen Sie den formalen Differentialoperator erster Ordnung ein $$\nabla_{\mu}~=~\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} + \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}b_{\nu} \frac{\partial}{\partial b_{\lambda}}.\tag{3}$$ Dann $$\nabla_{\mu}X~\stackrel{(1)+(3)}{=}~\left(\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} + \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}b_{\nu} \frac{\partial}{\partial b_{\lambda}}\right)(X^{\kappa}b_{\kappa})~=~\left(\frac{\partial X^{\nu}}{\partial x^{\mu}} + \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda} X^{\lambda}\right)b_{\nu}~\stackrel{(2)}{=}~X^{\nu}_{;\mu}b_{\nu}\tag{4}$$

II) Ebenso die Lie-Klammer

$$[X,Y]^{\nu} ~=~ X^{\mu}\frac{\partial Y^{\nu}}{\partial x^{\mu}} -Y^{\mu}\frac{\partial X^{\nu}}{\partial x^{\mu}}\tag{5}$$ von Vektorfeldern $$X~=~X^{\mu}b_{\mu} , \qquad Y~=~Y^{\mu}b_{\mu}, \tag{6}$$ kann durch die Schouten-Nijenhuis-Klammer reproduziert werden $$[X,Y]~=~X\left(\stackrel{\leftarrow}{\frac{\partial}{\partial b_{\mu}}}\stackrel{\rightarrow}{\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}} - \stackrel{\leftarrow}{\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}}\stackrel{\rightarrow}{\frac{\partial}{\partial b_{\mu}}} \right)Y. \tag{7}$$

III) Solcher Formalismus, der Basiselemente unterscheidet$b_{\mu}$, kann in anderen Bereichen der Differentialgeometrie weiterentwickelt werden.

Wenn Sie dies für Kommutatoren verwenden möchten, sollten Sie beides in Betracht ziehen

$$\nabla_\sigma([k,l]^\mu)=\partial_\sigma[k,l]^\mu+\Gamma^\mu_{\sigma\kappa}[k,l]^\kappa=\partial_\sigma(k^\nu\partial_\nu l^\mu-l^\nu\partial_\nu k^\mu)+\Gamma^\mu_{\sigma\kappa}(k^\nu\partial_\nu l^\kappa-l^\nu\partial_\nu k^\kappa)...$$

und verwenden Sie dies für weitere Berechnungen oder berücksichtigen Sie dies für jede torsionsfreie Verbindung, die wir haben

$$[k,l]^\mu=k^\nu\partial_\nu l^\mu-l^\nu\partial_\nu k^\mu\equiv k^\nu\nabla_\nu l^\mu-l^\nu\nabla_\nu k^\mu,$$ und der letztere Ausdruck enthält nur Terme, die "kovariant" sind.