Gibt es einen anerkannten axiomatischen Ansatz zur Allgemeinen Relativitätstheorie?

Die Allgemeine Relativitätstheorie kann aus den folgenden Prinzipien konstruiert werden:

1. Das Äquivalenzprinzip

2. Verschwindende Torsionsannahme ($\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]$)

3. Die Poisson-Gleichung (oder jede andere äquivalente Gleichung der Newtonschen Mechanik)

Erläuterungen:

1. Das Äquivalenzprinzip kann verwendet werden, um zu zeigen, dass die Raumzeit lokal Minkowskisch ist, dh die Gesetze der speziellen Relativitätstheorie gelten in einem infinitesimalen Bereich um einen frei fallenden Beobachter. Dies entspricht der mathematischen Idee, dass eine Mannigfaltigkeit der Dimension$n$ist lokal homöomorph zu$\mathbb{R}^n$. Dies ermöglicht zwei Dinge (die mir im Moment einfallen). Wir schließen daraus, dass die Raumzeit eine Mannigfaltigkeit ist. Wir können auch die Substitutionen vornehmen$\eta\rightarrow g$Und$\partial\rightarrow\nabla$, was die korrekten (es gibt Ausnahmen) GR-Gleichungen liefert.

2. Dies ist erforderlich, damit die geodätische Gleichung aus einem Variationsprinzip erhalten werden kann, da dies impliziert, dass die Christoffel-Symbole symmetrisch sind. Diese Bedingung wird in bestimmten Theorien wie der Einstein-Cartan-Theorie oder der Stringtheorie gelockert.

3. Einfach ausgedrückt, wir brauchen diese Gleichung, um die Konstanten in Einsteins Gleichung festzulegen.

Alle Behandlungen von GR verwenden das Prinzip der Äquivalenz. Weinbergs Behandlung besonders. Der Grund dafür hat mit seinem Hintergrund als Physiker zu tun. Weinberg war (und ist) einer der größten lebenden Teilchenphysiker. Sein Traum war es, eine kohärente Quantenfeldtheorie für die Gravitation zu schreiben. In seinen Gedanken,$g_{\mu\nu}$Metrische Tensor genannt zu werden, ist ein "antiquierter" Begriff, der übrig geblieben ist, als Einstein die Differentialgeometrie aus den alten Papieren seines Freundes Grossmann und Riemann & Co. lernte$^1$. In Weinbergs Gedanken$g_{\mu\nu}$ist nur das Gravitonfeld, und jede Verbindung zur Geometrie ist rein formal$^2$. In Texten wie Carroll, Straumann oder Wald verwenden sie die EP, um die Verbindung herzustellen

$^1$Siehe Abschnitt 6.9, erster Absatz.

$^2$Siehe zum Beispiel Seite 77, wo er die geodätische Gleichung als bloß formale Analogie zur Geometrie bezeichnet.

Ich denke, man kann über den Begriff "akzeptiert" streiten, aber die Idee ist, dass die Allgemeine Relativitätstheorie erfolgreich durch eine Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit beschrieben wird, die den Einstein-Gleichungen unterliegt, mit frei fallenden Objekten, die der Geodäte folgen. Jetzt suchen Sie nach einer Reihe von Axiomen, die Ihnen diese Struktur geben. Ein solcher Satz, wenn auch nicht ganz streng, findet sich in einem Artikel von Ehlers, Pirani und Schild mit dem Titel "Die Geometrie des freien Falls und der Lichtausbreitung ". Ich gebe Ihnen eine kurze Diskussion über den Inhalt.

Beginnen Sie mit zwei Prinzipien, (1) dem Einstein-Äquivalenzprinzip und (2) der Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit. Die erste besagt, dass sich Objekte im freien Fall im Gravitationsfeld in Trägheitsbewegung befinden, und die zweite besagt, dass sich Licht nicht nur mit endlicher Geschwindigkeit bewegt, sondern nichts schneller als diese.

Mit anderen Worten, Prinzip (1) schreibt vor, dass die Flugbahn des freien Falls vom Standpunkt eines Beobachters aus eine ebenso "gerade" Linie ist wie eine Flugbahn mit konstanter Geschwindigkeit in der Newtonschen Physik. Prinzip (2) legt fest, dass, da sich alles mit endlicher Geschwindigkeit fortbewegt, ein kausaler Zusammenhang zwischen Ereignissen besteht, nämlich wenn zwei Ereignisse einen räumlichen Abstand haben, der größer ist als die Lichtgeschwindigkeit mal dem zeitlichen Abstand, können sie keine Ursache-Wirkungs-Beziehung haben natürlich beinhaltet in der Relativitätstheorie die Gleichzeitigkeit und andere Sachen aus der speziellen Relativitätstheorie.

Genauer gesagt gibt Ihnen Prinzip (1) eine Reihe von "geraden Linien", dh eine Reihe von Geodäten, während Prinzip (2) Ihnen eine Reihe von kausalen Beziehungen zwischen Ereignissen liefert. In der Arbeit von Ehlers, Pirani und Schild nennen sie diese beiden Strukturen (1) eine projektive Struktur und (2) eine konforme Struktur. Dann zeigen sie, dass diese beiden, mit der Annahme, dass sie kompatibel sind und Uhren sich vernünftig verhalten. implizieren die Existenz einer einzigartigen Lorentzschen Metrik und eines Riemann-Tensors zusammen mit der Interpretation von Geodäten und Lichtkegeln. Es bleibt nur noch zu fordern, dass die geodätische Abweichung mit der aus der Newtonschen Theorie kompatibel ist, um die Einstein-Gleichungen zu erhalten.

Sie liefern eine Reihe von Axiomen, die jeden Teil der Annahmen ansprechen, aber alles kann auf diese beiden Prinzipien zurückgeführt werden, die Einstein-Äquivalenz und die endliche Geschwindigkeit der Lichtausbreitung.

Als Bemerkung können Sie anmerken, dass sich diese Idee sehr von dem unterscheidet, was Weinberg aufdeckt, nämlich dass die Geometrie in dieser Beschreibung nicht grundlegend ist, aber, wie er selbst auf Seite 147 sagt, dies eine heterodoxe Sichtweise ist, die nicht allgemein vertreten wird Relativisten. Andererseits ist es, soweit ich weiß, der Mainstream-Standpunkt in der Stringtheorie.