Frage über die wahre Natur des mathematischen Objekts Spinor [geschlossen]

Meine Frage ist etwas dumm, aber ich würde wirklich gerne wissen, was wirklich ein Spinor ist. Ich werde erklären, was mein Konzept von "wirklich" ist. Betrachten Sie während des gesamten Frageposts nur endliche Vektorräume und$\mathbb{K} \equiv \mathbb{R}$, das Feld. Ich werde keinerlei Beweise für irgendein hier definiertes und ausgestelltes Objekt vorlegen. Ich werde mich der Einfachheit halber nur mit Tensoren zweiter Ordnung befassen.

1) Was sind eigentlich Vektoren und Covektoren?

Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das Mitglied einer bestimmten algebrischen Struktur namens Vektorraum ist. Das ist:

$$\mathfrak {V} \equiv [\mathcal{V},(\mathbb{K},+_{\mathbb{K}},\cdot_{\mathbb{K}}),\boxplus_{\mathfrak{V}},\boxdot_{\mathfrak{V}}]$$

Wo$\mathcal{V}$ist eine nicht leere Menge von Elementen,$(\mathbb{K},+_{\mathbb{K}},\cdot_{\mathbb{K}})$eine andere algebrische Struktur namens Feld;$\boxplus_{\mathfrak{V}}$Und$\boxdot_{\mathfrak{V}}$sind zwei binäre Operationen, die als Summe von Vektoren bzw. Skalarmultiplikation bezeichnet werden.

Die Summe der Vektoren ist definiert als:

$$\begin{array}{rl} \boxplus_{\mathfrak{V}} :\mathcal{V}\times \mathcal{V} &\to \mathcal{V} \\ (v,u)&\mapsto \boxplus_{\mathfrak{V}}(v,u) \equiv v \boxplus_{\mathfrak{V}} u \end{array}$$

Die Skalarmultiplikation ist definiert als:

$$\begin{array}{rl} \boxdot_{\mathfrak{V}} :\mathbb{K}\times \mathcal{V} &\to \mathcal{V} \\ (\alpha,v)&\mapsto \boxdot_{\mathfrak{V}}(\alpha,v)\equiv \alpha \boxdot_{\mathfrak{V}} u \end{array}$$

Darüber hinaus muss jeder von ihnen einige Eigenschaften erfüllen:

Für$\boxplus_{\mathfrak{V}}$:

(Assoziativität):$v \boxplus_{\mathfrak{V}} (u\boxplus_{\mathfrak{V}} w) = (v\boxplus_{\mathfrak{V}} u)\boxplus_{\mathfrak{V}} w$

(Komutativität):$v \boxplus_{\mathfrak{V}} u = u\boxplus_{\mathfrak{V}} v$

(Existenz eines neutralen Elements):$\forall v\in \mathcal{V},$ $\exists$ $0_{\mathfrak{V}}$ $|$ $v\boxplus_{\mathfrak{V}} 0_{\mathfrak{V}} = v = 0_{\mathfrak{V}}\boxplus_{\mathfrak{V}} v$

(Existenz des entgegengesetzten Elements):$\exists (-v)$, für jede,$v\in \mathcal{V},$ $|$ $v\boxplus_{\mathfrak{V}} (-v) = 0_{\mathfrak{V}} = (-v) \boxplus_{\mathfrak{V}} v$

Für$\boxdot_{\mathfrak{V}}$:

$\alpha \boxdot_{\mathfrak{V}} (v\boxplus_{\mathfrak{V}} u) = \alpha \boxdot_{\mathfrak{V}} v \boxplus_{\mathfrak{V}} \alpha \boxdot_{\mathfrak{V}}u$

$(\alpha +_{\mathbb{K}} \beta)\boxdot_{\mathfrak{V}} v = \alpha \boxdot_{\mathfrak{V}} v \boxplus_{\mathfrak{V}} \beta \boxdot_{\mathfrak{V}}v$

$(\alpha \cdot_{\mathbb{K}} \beta)\boxdot_{\mathfrak{V}} v = \alpha \boxdot_{\mathfrak{V}} (\beta \boxdot_{\mathfrak{V}}v)$

$1_{\mathbb{K}} \boxdot_{\mathfrak{V}} v = v$

Wo$1_{\mathbb{K}}$ist das Identitätselement oder der Einheitsskalar aus dem Feld (in unserem Fall$1_{\mathbb{K}} = 1\in \mathbb{R}$, Und$0_{\mathfrak{V}}$ist der Nullvektor des Vektorraums.

Mit all diesen Eigenschaften können wir also wirklich darüber sprechen (wir haben definiert, was ist), was ein Vektor ist .

$$* * *$$

Betrachten Sie nun eine neue Art von Objekt, die den Begriff einer linearen Funktion verallgemeinert; die neuen Objekte heißen Lineare Transformationen (oder lineare Abbildungen):

$$\begin{array}{rl} L :\mathfrak{V} &\to \mathfrak{W} \\ v&\mapsto L[v] := \cdot\end{array}$$

(das Symbol$L[v]$bedeutet sowohl, dass die lineare Abbildung L auf einen Vektor v wirkt, als auch das Bild von L in$\mathfrak{W}$). Das andere Symbol$:= \cdot$bedeutet "geben Sie eine Definition für$L$")

Und diese linearen Karten müssen zwei "Einschränkungen" erfüllen, die als Linearitätsbedingung bezeichnet werden:

$L[v \boxplus_{\mathfrak{V}} u ] = L[v] \boxplus_{\mathfrak{W}} L[u]$

$L[\alpha \boxdot_{\mathfrak{V}} v] = \alpha \boxdot_{\mathfrak{W}} L[v]$

Betrachten Sie nun die Menge aller linearen Abbildungen:

$$\mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathfrak{W})\equiv \mathcal{L} = \Big\{ L\in \mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathfrak{W}) | L: \mathfrak{V} \to \mathfrak{W} \Big\}$$

und dann zwei neue binäre Operationen definieren:

$$\begin{array}{rl} \boxplus_{\mathfrak{Lin}} :\mathcal{L}\times \mathcal{L} &\to \mathcal{L} \\ (L,T)&\mapsto \boxplus_{\mathfrak{Lin}}(L,T) \equiv L \boxplus_{\mathfrak{Lin}} T \end{array}$$

$$\begin{array}{rl} \boxdot_{\mathfrak{Lin}} :\mathbb{K}\times \mathcal{L} &\to \mathcal{L} \\ (\alpha,L)&\mapsto \boxdot_{\mathfrak{Lin}}(\alpha,L) \equiv \alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin}} L \end{array}$$

Nun, diese Operationen definieren eigentlich zwei Karten, genannt:

Die Summe linearer Karten, definiert als:

$$\begin{array}{rl} L \boxplus_{\mathfrak{Lin}} T:\mathfrak{V} &\to \mathfrak{W} \\ v&\mapsto (L \boxplus_{\mathfrak{Lin}} T)[v] := L[v] \boxplus_{\mathfrak{W}} T[v] \end{array}$$

Die skalare Multiplikation von linearen Abbildungen, definiert als:

$$\begin{array}{rl} \alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin}} L:\mathfrak{V} &\to \mathfrak{W} \\ v&\mapsto (\alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin}} L)[v] := \alpha \boxdot_{\mathfrak{W}} L[v] \end{array}$$

und jede muss die Linearitätsbedingung erfüllen, um eine lineare Abbildung zu werden.

Dann können wir mit der obigen Maschinerie das Set aufrufen$\mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathfrak{W})$ein Vektorraum.

$$\mathfrak{Lin}(\mathfrak{V},\mathfrak{W}) \equiv \mathfrak{Lin} \equiv [\mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathfrak{W}),(\mathbb{K},+_{\mathbb{K}},\cdot_{\mathbb{K}}),\boxplus_{\mathfrak{Lin}},\boxdot_{\mathfrak{Lin}}]$$

Dieser Vektorraum wird als Vektorraum linearer Transformationen bezeichnet. Und die Elemente heißen (offensichtlich) lineare Transformationen oder lineare Abbildungen

$$* * *$$

Betrachten Sie nun eine bestimmte Art von linearer Abbildung, die wie folgt definiert ist:

$$\begin{array}{rl} f:\mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ v&\mapsto f[v] := \cdot\end{array}$$

und betrachten Sie dann die Menge all dieser linearen Abbildungen:

$$\mathcal{L'}(\mathfrak{V},\mathbb{K}) = \mathcal{L'} = \Big\{ f \in \mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathbb{K}) | f: \mathfrak{V} \to \mathbb{K} \Big\}$$

und dann zwei binäre Operationen definieren:

$$\begin{array}{rl} \boxplus_{\mathfrak{Lin}'} :\mathcal{L'}\times \mathcal{L'} &\to \mathcal{L'} \\ (f,g)&\mapsto \boxplus _{\mathfrak{Lin}'}(f,g) \equiv f \boxplus_{\mathfrak{Lin}'} g \end{array}$$

$$\begin{array}{rl} \boxdot_{\mathfrak{Lin}'} :\mathbb{K}\times \mathcal{L'} &\to \mathcal{L'} \\ (\alpha,f)&\mapsto \boxdot_{\mathfrak{Lin}'}(\alpha,f) \equiv \alpha \boxdot _{\mathfrak{Lin}'} f \end{array}$$

Nun, diese Operationen definieren eigentlich zwei Karten, genannt:

Die Summe der Covektoren, definiert als:

$$\begin{array}{rl} f \boxplus_{\mathfrak{Lin}'} g:\mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ v&\mapsto (f \boxplus_{\mathfrak{Lin}'} g)[v] := f[v] + _{\mathbb{K}} g[v] \end{array}$$

Die skalare Multiplikation von Covektoren, definiert als:

$$\begin{array}{rl} \alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin}'} f:\mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ v&\mapsto (\alpha \boxplus_{\mathfrak{Lin}'} f)[v] := \alpha \cdot_{\mathbb{K}}f[v] \end{array}$$

und wiederum muss jede die Linearitätsbedingung erfüllen, um eine lineare Abbildung zu werden.

Dann können wir mit der obigen Maschinerie das Set aufrufen$\mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathbb{K})$ein Vektorraum.

$$\mathfrak{Lin}'(\mathfrak{V},\mathbb{K}) \equiv \mathfrak{V}^{*} \equiv [\mathcal{L}(\mathfrak{V},\mathbb{K}),(\mathbb{K},+_{\mathbb{K}},\cdot_{\mathbb{K}}),\boxplus_{\mathfrak{Lin}'},\boxdot_{\mathfrak{Lin}'}]$$

Dieser Vektorraum wird dualer Vektorraum genannt. Die Elemente des dualen Vektorraums werden Kovektoren genannt

$$* * *$$

Wir haben also definiert, was ein Vektor, eine lineare Abbildung und ein Covektor ist. Insbesondere für Vektoren und Covektoren gibt es eine mathematische Tatsache (bezüglich der Basis eines Vektorraums und eines dualen Raums), die es uns erlaubt, ein Element von zu schreiben$\mathfrak{V}$(Und$\mathfrak{V}^{*}$) in Form einer Linearkombination anderer Vektoren, Basisvektoren genannt$\vec{e}_{\mu}$und Basis-Covektoren$e'^{\nu}$:

Für Vektoren (auch kontravariante Vektoren genannt) gilt:

$$\vec{v} = \sum _{\mu}v^{\mu} \boxdot _{\mathfrak{V}} \vec{e}_{\mu}$$

Für einen Covektor (auch als lineare Funktion, konvariante Vektoren und lineare Form bezeichnet) haben wir:

$$f'[v]= (\sum _{\nu}f_{\nu} \boxdot _{\mathfrak{V}} e'^{\nu})[v] \implies f= \sum _{\nu}f_{\nu} \boxdot _{\mathfrak{V}} e'^{\nu}$$

$$* * *$$

2) Was ist eigentlich ein Tensor?

Es ist durchaus üblich, Tensoren als Objekte zu definieren, die ein ziemlich vorhersagbares Verhalten haben, das als Transformation von Komponenten in Bezug auf zwei Koordinaten bezeichnet wird.$x^{\gamma} \to x'^{\gamma}(x^{\gamma})$:

$$T'^{\mu}_{\nu} = \frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{i}} \frac{\partial x^{j}}{\partial x'^{\nu}}T^{i}_{j}$$

bei dem die$T'^{\mu}_{\nu}$sind die Komponenten des Tensors T in Koordinaten$x'^{\gamma}(x^{\gamma})$und ähnlich$T^{i}_{j}$sind die Komponenten desselben Tensors$T$in Koordinaten$x^{\gamma}$. Und der Wald der Teiltöne bedeutet eigentlich "vorhersehbares Verhalten"; sie sind jakobische Matrizen oder Koordinatentransformationsmatrizen.

Also, ok, wir haben diese Definition eines Tensors. Aber was bedeutet „Tensor T “? Nun, um diese Frage zu beantworten, müssen wir den Tensor as darstellen

$$T =T^{\mu}_{\nu}\boxdot (some "tensor" basis)$$

und eine Art "Tensorraum".

Die Wahrheit ist, dass beide Konzepte gut definiert sind.

$$* * *$$

Die wahre Antwort auf die Frage "Was ist ein Tensor?" ist, dass das mathematische Objekt namens Tensor lediglich ein Element einer algebrischen Struktur namens Tensorprodukt-Vektorraum (oder einfach nur Tensorprodukt oder Tensorraum) ist.

Aber um über Tensoren zu sprechen, brauchen wir einen kleinen (notwendigen) Exkurs zur Bilinearität.

2.1) Bilineare Karten

Aus der elementaren linearen Algebra ist der Begriff des inneren Produkts bekannt. Und schon vor der linearen Algebra haben Sie sich in der Vektorrechnung sicherlich mit dem Skalarprodukt beschäftigt$\vec{A} \cdot \vec{B}$. Aber noch einmal, aus der elementaren linearen Algebra haben Sie erkannt, dass das Skalarprodukt nur ein bestimmtes Beispiel für ein inneres Produkt ist. Der Kern der Operation besteht jedoch darin, dass der gesamte Prozess mit zwei Vektoren zu tun hat (um in diesem Fall einen Skalar zurückzugeben).

Im Allgemeinen haben wir dann, dass das Skalarprodukt als folgende Abbildung definiert ist:

$$\begin{array}{rl} \langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathfrak{V}\times \mathfrak{W} &\to \mathbb{K} \equiv \mathfrak{Z} \\ (v,w)&\mapsto \langle \cdot ,\cdot \rangle[(v,w)] \equiv \langle v ,w \rangle :=\cdot \end{array}$$

und das innere Produkt muss die folgenden Eigenschaften erfüllen:

$1) \langle v \boxplus _{\frak V} v' ,w \rangle = \langle v ,w \rangle \boxplus _{\mathbb{K}} \langle v' ,w \rangle$

$2) \langle v,w \boxplus _{\frak W} w' \rangle = \langle v ,w \rangle \boxplus _{\mathbb{K}} \langle v ,w' \rangle$

$3) \langle \alpha \boxdot _{\frak V} v , w \rangle = \alpha \boxdot _{\mathbb{K}} \langle v ,w \rangle$

$4) \langle v , \alpha \boxdot _{\frak W} w \rangle = \alpha \boxdot _{\mathbb{K} } \langle v ,w \rangle$

$5) \langle v ,w \rangle = \langle w ,v \rangle$

$6) \langle v ,v \rangle \geq 0_{\mathbb{K}}$

$7)$Wenn$\langle v ,v \rangle = 0_{\mathbb{K}} \implies v = 0_{\mathfrak{V}}$

Nun, diese spezielle Karte zeigt uns, mit Eigenschaften$1)$Zu$4)$die bilineare Natur einer Karte, was bedeutet, dass die gesamte Karte auf jedem Slot linear ist. Mit anderen Worten, jeder Schlitz definiert eine lineare Abbildung.

$$\begin{array}{rl} \langle \_,\cdot \rangle :\mathfrak{V}&\to \mathbb{K} \equiv \mathfrak{Z} \\ v&\mapsto \langle \_,\cdot \rangle[v] \equiv \langle v ,\cdot \rangle :=\cdot \end{array}$$

$$\begin{array}{rl} \langle \cdot,\_ \rangle :\mathfrak{W}&\to \mathbb{K} \equiv \mathfrak{Z} \\ w&\mapsto \langle \cdot,\_ \rangle[w] \equiv \langle \cdot, w \rangle :=\cdot \end{array}$$

$$* * *$$

Jetzt können wir also eine neue Art von Objekt namens Bilineare Transformation (oder bilineare Karte, bilineare Funktion) wie folgt definieren:

$$\begin{array}{rl} B:\mathfrak{V}\times \mathfrak{W} &\to \mathfrak{X} \\ (v,w)&\mapsto B[(v,w)] :=\cdot \end{array}$$

und die bilineare Karte muss die folgenden Eigenschaften erfüllen:

$1) B[(v \boxplus _{\frak V} v' ,w)] = B[(v ,w)] \rangle \boxplus _{\frak{X}} B(v' ,w)]$

$2) B[(v,w \boxplus _{\frak W} w')] = B[(v ,w)] \boxplus _{\frak{X}} B[(v ,w')]$

$3) B[(\alpha \boxdot _{\frak V} v , w)] = \alpha \boxdot _{\frak X}B[(v , w)]$

$4) B[(v,\alpha \boxdot _{\frak W} w)] = \alpha \boxdot _{\frak X}B[(v , w)]$

Betrachten Sie nun die Menge aller bilinearen Abbildungen:

$$\mathcal{L}_{2}(\mathfrak{V}\times\mathfrak{W};\mathfrak{X})\equiv \mathcal{L}_{2} = \Big\{ B\in \mathcal{L}_{2}(\mathfrak{V}\times\mathfrak{W},\mathfrak{X}) | B: \mathfrak{V} \times \mathfrak{W} \to \mathfrak{X} \Big\}$$

und dann zwei neue binäre Operationen definieren:

$$\begin{array}{rl} \boxplus_{\mathfrak{Lin}_{2}} :\mathcal{L}_{2}\times \mathcal{L}_{2} &\to \mathcal{L}_{2} \\ (B,M)&\mapsto \boxplus_{\mathfrak{Lin_{2}}}(B,M) \equiv B \boxplus_{\mathfrak{Lin_2}} M \end{array}$$

$$\begin{array}{rl} \boxdot_{\mathfrak{Lin}_{2}} :\mathbb{K}\times \mathcal{L}_{2} &\to \mathcal{L}_{2} \\ (\alpha,B)&\mapsto \boxdot_{\mathfrak{Lin_{2}}}(\alpha,B) \equiv \alpha \boxplus_{\mathfrak{Lin_2}} B \end{array}$$

Nun, diese Operationen definieren eigentlich zwei Karten, genannt:

Die Summe der bilinearen Karten, definiert als:

$$\begin{array}{rl} B \boxplus_{\mathfrak{Lin_{2}}} M:\mathfrak{V}\times \mathfrak{W} &\to \mathfrak{X} \\ (v,w)&\mapsto (B \boxplus_{\mathfrak{Lin_{2}}} M)[(v,w)] := B[(v,w)] \boxplus_{\mathfrak{X}} M[(v,w)] \end{array}$$

Die skalare Multiplikation von bilinearen Karten, definiert als:

$$\begin{array}{rl} \alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin_{2}}} B:\mathfrak{V} \times \mathfrak{W} &\to \mathfrak{X} \\ (v,w)&\mapsto (\alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin_{2}}} B)[(v,w)] := \alpha \boxdot_{\mathfrak{X}} B[(v,w)] \end{array}$$

und jede muss die Bilinearitätsbedingungen erfüllen, um eine bilineare Abbildung zu werden.

Dann können wir mit der obigen Maschinerie das Set aufrufen$\mathcal{L}_{2}(\mathfrak{V},\mathfrak{W},\mathfrak{X})$ein Vektorraum.

$$\mathfrak{Lin_{2}}(\mathfrak{V},\mathfrak{W};\mathfrak{X}) \equiv \mathfrak{Lin_{2}} \equiv [\mathcal{L}_{2}(\mathfrak{V},\mathfrak{W};\mathfrak{X}),(\mathbb{K},+_{\mathbb{K}},\cdot_{\mathbb{K}}),\boxplus_{\mathfrak{Lin_{2}}},\boxdot_{\mathfrak{Lin_{2}}}]$$

Dieser Vektorraum wird als Vektorraum bilinearer Transformationen bezeichnet. Und die Elemente werden (offensichtlich) Bilineare Transformationen oder Bilineare Karten genannt

$$* * *$$

Betrachten Sie nun eine bestimmte Art von bilinearer Abbildung, die wie folgt definiert ist:

$$\begin{array}{rl} b:\mathfrak{V}\times \mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ (v,w)&\mapsto b[(v,w)] := \cdot\end{array}$$

und betrachten Sie dann die Menge all dieser bilinearen Abbildungen:

$$\mathcal{L'}_{2}(\mathfrak{V}\times\mathfrak{V};\mathbb{K}) = \mathcal{L'}_{2} = \Big\{ b \in \mathcal{L'}_{2}(\mathfrak{V}\times\mathfrak{V},\mathbb{K}) | b: \mathfrak{V}\times \frak V \to \mathbb{K} \Big\}$$

und dann zwei neue binäre Operationen definieren:

$$\begin{array}{rl} \boxplus_{\mathfrak{Lin'}_{2}} :\mathcal{L'}_{2}\times \mathcal{L'}_{2} &\to \mathcal{L'}_{2} \\ (B,M)&\mapsto \boxplus_{\mathfrak{Lin_{2}}}(B,M) \equiv B \boxplus_{\mathfrak{Lin'_2}} M \end{array}$$

$$\begin{array}{rl} \boxdot_{\mathfrak{Lin'}_{2}} :\mathbb{K}\times \mathcal{L'}_{2} &\to \mathcal{L'}_{2} \\ (\alpha,B)&\mapsto \boxdot_{\mathfrak{Lin'_{2}}}(\alpha,B) \equiv \alpha \boxplus_{\mathfrak{Lin'_2}} B \end{array}$$

Nun, diese Operationen definieren eigentlich zwei Karten, genannt:

Die Summe bilinearer Formen, definiert als:

$$\begin{array}{rl} B \boxplus_{\mathfrak{Lin'}_{2}} M:\mathfrak{V}\times \mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ (v,w)&\mapsto (B \boxplus_{\mathfrak{Lin'_{2}}} M)[(v,w)] := B[(v,w)] \boxplus_{\mathfrak{K}} M[(v,w)] \end{array}$$

Die skalare Multiplikation bilinearer Formen, definiert als:

$$\begin{array}{rl} \alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin'_{2}}} B:\mathfrak{V} \times \mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ (v,w)&\mapsto (\alpha \boxdot_{\mathfrak{Lin'_{2}}} B)[(v,w)] := \alpha \boxdot_{\mathbb{K}} B[(v,w)] \end{array}$$

und wiederum muss jede die Bilinearitätsbedingung erfüllen, um eine bilineare Abbildung zu werden.

Dann können wir mit der obigen Maschinerie das Set aufrufen$\mathcal{L'}_{2}(\mathfrak{V},\mathfrak{V};\mathbb{K})$ein Vektorraum.

$$\mathfrak{Lin_{2}}'(\mathfrak{V},\mathfrak{V};\mathbb{K}) \equiv[\mathcal{L'}_{2}(\mathfrak{V},\mathbb{K}),(\mathbb{K},+_{\mathbb{K}},\cdot_{\mathbb{K}}),\boxplus_{\mathfrak{Lin}'_{2}},\boxdot_{\mathfrak{Lin}'_{2}}]$$

Dieser Vektorraum hat keinen besonders berühmten Namen, aber die Elemente dieses Vektorraums werden Bilinearformen oder Bilinearfunktionen genannt .

$$* * *$$

Nach der Einführung in das Konzept der Bilinearität und der bilinearen Abbildungen ist der Weg zum Verständnis des Kernkonzepts der Tensoren also fast geschafft.

Definition: Ein Tensorprodukt ist ein Paar:$(\mathfrak{T},\bar{\otimes})$.$\frak T$ist ein Vektorraum und$\otimes$ist eine bilineare Operation (Funktion), die die folgende "Beschränkung" erfüllt:

$$B = L \circ \otimes$$

das ist das mathematische Symbol für das comutative Diagramm:

Wo$B$ist eine bilineare Karte (wenn andere Arten von bestimmten Eigenschaften),$\otimes$ist die Tensorkarte (die bilinear und NUR bilinear ist) und$L$ist eine lineare Abbildung.

Um nun sicherzustellen, dass diese Konstruktion gültig ist, konstruiert Steven Roman (Advanced Linear Algebra, Springer, Seite 361-366).$\frak V \otimes \frak W$in Bezug auf einen Quotientenraum:

$$\mathfrak{V}\otimes\mathfrak{W} := \frac{\mathfrak{F}_{(\mathfrak{V}\times\mathfrak{W})}}{\mathfrak{S}}$$

Wo$\mathfrak{F}_{(\mathfrak{U}\times\mathfrak{V})}$heißt freier Vektorraum von$\frak{V}\times \frak{W}$, welche Elemente die Form haben:

$$\sum^{N}_{i=1} r_{i}(u_{i},v_{i})$$

Und$\mathfrak{S}$, ein Unterraum von$\mathfrak{F}_{(\mathfrak{U}\times\mathfrak{V})}$die von Vektoren dieser Form aufgespannt werden:

$$\alpha(v,w)+\beta (v',w)-(\alpha v+\beta v',w)$$

$$\alpha (v,w)+\beta (v,w')-(v,\alpha w+\beta w')$$

Dann sind die Elemente von Tensorprodukten tatsächlich:

$$\sum^{N}_{i=1} [\alpha_{i}(v_{i},w_{i}) + \mathfrak{S} ]$$

Diese werden als Äquivalenzklassen bezeichnet. Es ist durchaus üblich, die äquivalenten Klassen (Elemente des Tensorprodukts, dh Tensoren) umzuschreiben als:

$$\sum^{N}_{i=1} [\alpha_{i}(v_{i},w_{i}) + \mathfrak{S}] = \sum^{N}_{i=1} v_{i}\otimes w_{i}$$

Und nun zur Tensorkarte$\otimes$, definiert Roman wie folgt:

$$\begin{array}{rl} \otimes :\mathfrak{V} \times \mathfrak{W} &\to \mathfrak{V} \otimes \mathfrak{W} \\ (v,w)&\mapsto \otimes[(v,w)] := v \otimes w \equiv (v,w) + \mathfrak{S} \end{array}$$

Und dann beweisen wir, dass die Tensorkarte tatsächlich bilinear ist und das Paar:

$$\Big(\frac{\mathfrak{F}_{(\mathfrak{V}\times\mathfrak{W})}}{\mathfrak{S}}, \otimes \Big)$$

Ist das Tensorprodukt.

$$* * *$$

Mit dieser Quotientenkonstruktion zeigt uns Roman also, dass die Idee des Tensorprodukts gültig ist und funktioniert, was bedeutet, dass die Definition dieses neuen Vektorraums namens Tensorprodukt über die Maschinerie (und Notwendigkeit) der universellen Eigenschaft ziemlich gut ist .

Wenn dann dieser Quotientenraum gut funktioniert, ist es nur noch eine Sache, für andere Arten von Vektorräumen zu beweisen, ob sie dieser "universellen Maschinerie" gehorchen.

Aufgrund all dessen können wir nun das Konzept eines Tensors als multilineare Abbildung mit zwei Definitionen einführen (ich werde die kovariante Definition geben) [Klassische Mechanik mit Mathematica,Romano,Birkhaüser,pag20-22; Allgemeine Relativitätstheorie, Wald, Chicago Press, Seite 20]:

Definition 1: Ein kovarianter Zwei-Tensor oder Tensor zweiter Ordnung (oder (2,0)-Tensor) ist eine bilineare Form:

$$\begin{array}{rl} T :\mathfrak{V} \times \mathfrak{V} &\to \mathbb{K} \\ (v,w)&\mapsto T[(v,w)] := \cdot \end{array}$$

So,$T$ist eindeutig Mitglied von$\mathfrak{Lin_{2}}'(\mathfrak{V},\mathfrak{V};\mathbb{K})$

Definition 2: Die Tensorkarte ist:

$$\begin{array}{rl} \bar{\otimes} :\mathfrak{V}^{*} \times \mathfrak{V}^{*} &\to \mathfrak{Lin_{2}}'(\mathfrak{V},\mathfrak{V};\mathbb{K}) \\ (v,w)&\mapsto \bar{\otimes}[(v,w)] \equiv f \bar{\otimes} g \end{array}$$

Und die Tensorkarte definiert die Tensorproduktoperation, definiert als:

$$\begin{array}{rl} f\bar{\otimes}g :\mathfrak{V}\times \mathfrak{V}&\to \mathbb{K} \\ (v,w)&\mapsto (f \bar{\otimes} g)[(v,w)] := f[v]\boxdot_{\mathbb{K}}g[w] \end{array}$$

Betrachten Sie sie nun als Basisvektoren${e_{i}} \in \mathfrak{V}$.

Wir haben das$T$, kovarianter 2-Tensor, ist eine bilineare Form.

$$T[(v,w)] = T[(v^{i}e_{i},w^{j}e_{j})] = (v^{i}\boxdot_{\mathbb{K}}w^{j})\boxdot_{\mathfrak{Lin_{2}}'}T[(e_{i},e_{j})] \equiv (v^{i}\boxdot_{\mathbb{K}}w^{j})\boxdot_{\mathfrak{Lin_{2}}'}T_{ij}=$$

$$= v^{i}w^{j}T_{ij}$$

Aber nun, betrachten wir doch mal Basis-Covektoren${f^{i}} \in \mathfrak{V}^{*}$unter der definierten Tensorkarte, die in denselben Vektoren wirkt$(v,w)$:

$$(f^{i} \bar{\otimes} f^{j})[(v,w)] = f^{i}[v^{k}e_{k}]\boxdot_{\mathbb{K}}f^{j}[w^{m}e_{m}] = (v^{k}\boxdot_{\mathbb{K}}w^{m})f^{i}[e_{k}]\boxdot_{\mathbb{K}}f^{j}[e_{m}] =$$ $$= (v^{k}\boxdot_{\mathbb{K}}w^{m})\boxdot_{\mathbb{K}}(\delta^{i}_{k}\boxdot_{\mathbb{K}}\delta^{j}_{m})\equiv v^{k}w^{m}\delta^{i}_{k}\delta^{j}_{m} = v^{i}w^{j}$$

Daher haben wir richtig, dass a$(0,2)$-tensor kann geschrieben werden als:

$$\{T\}[(v,w)] = \{v^{i}w^{j}T_{ij} \}[(v,w)] = \{f^{i} \bar{\otimes} f^{j}T_{ij} \}[(v,w)] \implies$$

$$T = T_{ij} \boxdot _{\mathfrak{Lin'_{2}}} f^{i}\bar{\otimes}f^{j} \equiv$$

$$T = T_{ij}f^{i}\bar{\otimes}f^{j}$$

Und nach all diesem schrecklichen Text können wir das sagen

i) Das Tensorprodukt os kovarianter Tensoren sind tatsächlich:

$$V^{*}\otimes V^{*}\equiv \mathfrak{T}^{0}_{2}(\mathfrak{V}) \approx [\mathfrak{Lin_{2}}'(\mathfrak{V},\mathfrak{V};\mathbb{K}),\bar{\otimes}]$$

Ich hab geschrieben$\approx$nicht$=$denn wenn Sie sich das Kommutativdiagramm ansehen, werden Sie feststellen, dass es eine lineare Abbildung gibt$L$. Also,$L$ist ein Isomorfismus. Das Diagramm lautet dann:

ii) A (kovariant)$(0,2)$-tensor kann geschrieben werden als:

$$T = \sum_{\mu}\sum_{\nu}t_{\mu \nu} e^{\mu}\bar{\otimes}e^{\nu}$$

mit den jeweiligen Basisvektoren$e^{\mu}\bar{\otimes}e^{\nu}$das überspannt die$\mathfrak{V}^{*}\otimes \mathfrak{V}^{*}$

3) Was ist wirklich ein Spinor?

Nun, wir wissen, was wirklich ein Vektor, ein Kovektor, eine lineare und bilineare Abbildung und Form sowie Tensoren sind. Tatsächlich ist ein Vektor ein Mitglied eines Vektorraums$\mathfrak{V}$, eine lineare Karte ist ein Mitglied von$\mathfrak{Lin}(\mathfrak{V},\mathfrak{W})$Ein Covektor ist ein Element von$\mathfrak{Lin'}(\mathfrak{V},\mathbb{K})$. Eine bilineare Karte ist Mitglied von$\mathfrak{Lin}_{2}(\mathfrak{V},\mathfrak{W},\mathfrak{X})$und eine bilineare Form ist ein Mitglied von$\mathfrak{Lin'}_{2}(\mathfrak{V},\mathfrak{W},\mathbb{K})$.

Schließlich ist ein Tensor Mitglied von$\mathfrak{V}\otimes\mathfrak{W}$(wo auch immer die Konstruktion ist, hier habe ich zwei vorgestellt: Quotientenräume und multilineare Karten), einen Raum, der die universelle Eigenschaft erfüllt.

Nun möchte ich Sie fragen, was ist eigentlich ein Spinor? Um meine Frage zu beantworten, beachten Sie bitte meinen gesamten Text, was bedeutet, dass ich eine Antwort nur im Bereich der endlichen Dimension, Felder (keine Ringe) und Vektorräume (keine Module) möchte. Auch, wenn Sie könnten, eine freundliche und intuitive, aber gleichzeitig ziemlich allgemeine und strenge Antwort.