Funktionsform von Lorentz-invarianten Funktionen

Ich skizziere einen Beweis für die äquivariante Funktion$f$die vektorwertig ist und für kausale Vektoren$p$, wobei nur die Kontinuität von angenommen wird$f$im letzten Schritt das Ergebnis von zeitartigen Vektoren auf lichtartige Vektoren zu erweitern.

Ich glaube, dass der Beweis abgeschlossen werden kann und der Fall des äquivarianten symmetrischen Tensors ähnlich behandelt werden könnte.

In Betracht ziehen$f(\Lambda p) = \Lambda f(p)$Wo$f$ist wie gesagt vektorwertig. Definieren

$$G^\mu(p) := f^\mu(p) - \frac{p_\nu f^\nu(p)}{p^2} p^\mu\:.$$ Offensichtlich $$p_\mu G^\mu(p) = 0 \quad \forall p\:. \tag{1}$$ Andererseits konstruktionsbedingt $$G(\Lambda p) = \Lambda G(p)\tag{2}$$ Nun nehme das an $k= (c,0,0,0)$mit $c \neq 0$und lass $R \in O(3)$beliebig räumlich sein $3$-Drehung verlassen $k$Fest. Es muss sein $$RG(k) = G(Rk)= G(k)$$ als Folge der Vektor $G(k)$ist parallel zu $k$(seit $O(3)$gibt nur zu $0$als Fixpunkt) damit zum Teil echt $a_k$, $$G(k) = a_k k\:.$$ Wenn $p$ist in der Zukunft oder Vergangenheit Lichtkegel, gibt es $\Lambda \in SO(1,3)$mit $p= \Lambda k$für einige $c$. Daher $$G(p) = G(\Lambda k)= \Lambda G(k) = \Lambda a_k k = a_k p$$ und da $p^2 \neq 0$, (1) impliziert $a_k=0$so dass $G(p)=0$Wenn $p$ist ein zeitartiger Vektor. Das haben wir endlich $$f^\mu(p) = \frac{p_\nu f^\nu(p)}{p^2} p^\mu\:.$$ Wir können definieren $$\alpha(p^2) := \frac{p_\nu f^\nu(p)}{p^2}$$ da die rechte Seite nur von abhängt $p^2$in Anbetracht $\Lambda f(p)= f(\Lambda p)$. Fazit, zumindest für zeitähnliche Vektoren $p$und einschließlich der Licht-ähnlichen Vektoren vorausgesetzt $f$kontinuierlich, $$f_\mu(p) =\alpha(p^2) p_\mu \:.$$

Die entscheidenden Punkte sind, dass (a)$O(3) \subset O(1,3)$, dass (b)$O(3)$keine Fixpunkte ungleich Null hat, und dass (c)$O(1,3)$wirkt transitiv auf eine Menge zeitartiger Vektoren mit fester Länge.