QFT: Wie würden Sie einem Mathematiker erklären, was „transformiert als“ bedeutet?

Ich kenne diesen speziellen Ausdruck nicht, aber das übliche Bild ist das folgende:

• Auf der einen Seite hat man ein System und ordnet ihm Größen zu, die das System beschreiben, wie die Gesamtenergie, der Impulsvierer, der Spin usw.

• Andererseits gibt es Symmetrien dieses Systems, zum Beispiel Lorenz-Transformationen, Parität, Zeitumkehr und Transformationen wie Zeitentwicklungsoperatoren (sofern diese nicht als Symmetrien gelten).

Offensichtlich verhalten sich Symmetrien für verschiedene Objekte unterschiedlich. Wenn ich eine Zeitumkehr mache, bleibt die Gesamtenergie gleich, während der Impuls das Vorzeichen ändert, weil sich das Objekt in die andere Richtung bewegt. Natürlich müssen Sie wissen, wie sich alles verhält.

Die Mathematik

Jedes Objekt lebt in einer Art Raum oder Mannigfaltigkeit. Zum Beispiel könnte die Energie darin leben$\mathbb{R}$, in dem die vier Vektoren leben könnten$\mathbb{R}^4$oder auf einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit. Jetzt sind die Symmetrien normalerweise eine Gruppe, und für jede Gruppe können Sie Gruppendarstellungen untersuchen . "Transformiert als" bezieht sich nur auf die besondere Darstellung der Symmetrie.

Bleiben wir zur Veranschaulichung bei der Lorentz-Symmetrie: Die Lorentz-Symmetrien bilden eine Gruppe, die aus Rotationen und „Boosts“ besteht und üblicherweise bezeichnet wird$SO(3,1)$. Sie können eine Darstellung der Lorentz-Gruppe weiter betrachten$\mathbb{R}$oder$\mathbb{R}^4$(oder irgendein Vektorraum; die Darstellungen sind nicht unbedingt eindeutig, aber nehmen wir einfach an, dass sie es sind). Nennen Sie diese Darstellungen$\pi_1$Und$\pi_2$dann haben wir:

Das Objekt$\phi$transformiert als Vektor und das Objekt$\psi$als Skalar transformiert

bedeutet:

Ein Element der Lorentzgruppe$L\in SO(3,1)$wirkt auf$\phi\in \mathbb{R}^4$als$\pi_2(L)\phi$während es einwirkt$\psi\in \mathbb{R}$als$\pi_1(L)\psi$.

Mit anderen Worten: Sie müssen die verschiedenen irreduziblen Darstellungen der Symmetriegruppe klassifizieren. Zu sagen, dass sich ein Objekt beispielsweise als Tensor, Vektor oder Skalar (oder was auch immer) transformiert, bedeutet nur, dass es sich gemäß der Darstellung transformiert, die Sie als "Tensor", "Vektor" oder "Skalar" (oder was auch immer) bezeichnet haben. Beachten Sie, dass dies auch den mathematischen Raum angibt, in dem die Objekte tatsächlich leben.

Wie David Z erwähnte, trat diese Transformation in verschiedenen Situationen in QFT auf. Anstatt formal zu sein, können wir versuchen, ein Beispiel zu haben, wo dieses „Umwandeln in“ realisiert werden kann.

Die Darstellungen der Lorentz-Algebra können durch zwei Halbzahlen gekennzeichnet werden:$(j_{-},j_{+})$. Die Dimension der Darstellung$(j_{-},j_{+})$wird von gegeben$(2j_{-}+1)(2j_{+}+1)$. Insbesondere

• $\left(\frac{1}{2},0\right)$bekannt als linkshändiger Spinor ($\psi_{L}$) als$\psi_{L} \in \left(\frac{1}{2},0\right)$.
• Und$\left(0,\frac{1}{2}\right)$bekannt als rechtshändiger Spinor ($\psi_{R}$) als$\psi_{R} \in \left(0,\frac{1}{2}\right)$.

(Die Sie vielleicht schon aus Ihrem QFT-Kurs kennen)

Nun, beides$\psi_{L}$Und$\psi_{R}$unter Lorentz-Transformationen anders transformieren. Wohingegen

$$\begin{eqnarray} \psi_{L} \to \psi_{L}' = \Lambda_{L}\psi_{L} & = &\exp\left[(-i\theta-\eta)\cdot\frac{\sigma}{2}\right]\psi_{L}\\ \psi_{R} \to \psi_{R}' = \Lambda_{R}\psi_{R} & = &\exp\left[(-i\theta+\eta)\cdot\frac{\sigma}{2}\right]\psi_{R} \end{eqnarray}$$ Wo $\sigma's$sind Pauli-Matrizen und $\theta,\psi$sind Rotations- bzw. Boost-Parameter. Nun, indem man die grundlegenden Eigenschaften von Pauli-Matrizen verwendet, kann man das zeigen $\sigma^{2}\psi_{L}^{*}\sigma^{2}=\psi_{R}$. Daraus lässt sich zeigen, $$\begin{equation} \sigma^{2}\psi_{L}^{*} \to \sigma^{2}(\Lambda_{L}\psi_{L})^{*}=(\sigma^{2}\Lambda^{*}_{L}\sigma^{2})\sigma^{2}\psi^{*}_{L} = \Lambda_{R}(\sigma^{2}\psi_{L}^{*}) \end{equation}$$ Fazit ist aber $\psi_{L}$ als linkshändiger Spinor umwandeln, der zu gehört $(1/2,0)$, Die $\sigma^{2}\psi_{L}^{*}$ als rechtshändiger Spinor transformieren, was ist $(0,1/2)$.

Es ist also nur die Frage, wie sich ein Zustand unter einer bestimmten Transformation verändert, ohne tief in die mathematische Terminologie einzusteigen.

Was Ihr Lehrer meint, ist nur eine Karte, sagen wir$f$, die Elemente aus einer Menge (Domäne) nimmt$\mathcal{S}$und ordnet sie einem Element einer anderen Menge zu$\mathcal{S}'$(die Kodomäne). In mathematischer Form wird dies normalerweise geschrieben als

$$f: \mathcal{S} \to \mathcal{S}'$$

Wenn$x\in \mathcal{S}$, Dann$f(x)\in \mathcal{S}'$. Zum Beispiel die Karte$f(x)=e^x$nimmt ein Element$x\in\mathbb{R}$(Domäne) und transformiert es in das Element$e^x\in\mathbb{R}^+$(Kodomäne).

In deinem Beispiel nehme ich das$\psi$ist die Wellenfunktion und$A$ein linearer Operator, der darauf einwirkt, was nur eine lineare Abbildung ist, die ein Element annimmt$\psi$des Raums der Wellenfunktionen$\mathcal{H}$(Domäne) und wandelt es in ein anderes Element um$A\psi$eines anderen (oder gleichen) Raums$\mathcal{H'}$(Kodomäne).

Ich beginne mit einem Beispiel aus der linearen Algebra. Angenommen, wir haben einen endlichdimensionalen Vektorraum$V$. Wir wählen eine Basis$e_i$,$i=1...n$und erweitere alle Vektoren nach der Basis. Für$x \in V$wir haben

$$x = x^i e_i,$$ wobei die Summation über wiederholte Indizes implizit ist (Einsteins Summationskonvention). Ab jetzt werde ich den Vektor identifizieren $x$mit seinen Komponenten $x^i$. Linearer Operator $O$wird durch eine Matrix dargestellt $O^i_{\ \ j}$usw. Nehmen wir nun an, ich möchte die Basis ändern $f_i = \beta^j_{\ \ i}$, Wo $\beta$ist eine nichtsinguläre Matrix. Dann die Komponenten von $x$auch ändern, aber $x$wie ein geometrisches Objekt nicht. Deshalb schreibe ich $$e_i \mapsto f_i = e_j \left( \beta ^{-1} \right)^j_{\ \ i},$$ $$x^i \mapsto \beta^i_{\ \ k} x^k,$$ $$x \mapsto x .$$ Natürlich müssen lineare Operatoren entsprechend geändert werden. Zum Beispiel, $$O^{i}_{\ \ j} \mapsto \beta^i_{\ \ k} O^k_{\ \ m} \left( \beta^{-1} \right)^m_{\ \ j}.$$ Diese Transformation durch Ähnlichkeitsmatrix stellt dies sicher $(Ox)^i=O^i_{\ \ j}x^j$transformiert als Komponenten eines Vektors, wie es sein sollte: $$(Ox)^i \mapsto \beta^i_{\ \ j} x^j.$$ Dies ist nur ein spezifisches Beispiel eines allgemeinen Schemas: In der Theorie gibt es eine Gruppe von Transformationen, die auf Objekte einwirken. In diesem Fall war es eine Gruppe aller möglichen Basiswechsel. Wir geben der Transformation keinen Namen oder ein spezielles Symbol, wir schreiben nur explizit, was sie mit bestimmten Objekten macht.

Was ich oben vorgestellt habe, ist die sogenannte passive Interpretation von Transformationen. Ich betrachtete Vektoren als unveränderliche Objekte. Der Basiswechsel wird als "Standpunktwechsel" bezeichnet. In vielen physikalischen Situationen gibt es physikalisch äquivalente Möglichkeiten, das System zu beschreiben. Sie können viele Koordinaten verwenden, um dasselbe physikalische System zu beschreiben. Oder Sie können verschiedene Referenzrahmen verwenden. Natürlich ändern sich einige in der Beschreibung verwendete Objekte, wie numerische Werte von Geschwindigkeiten oder die funktionale Form des Hamilton-Operators.

Es gibt auch aktive Sicht. Die Idee ist, dass Sie an Basis denken$e_i$als fest. Sie ändern die Koordinaten von$x$entsprechend

$$x^i \mapsto \beta^i_{\ \ j} x^j.$$ Beachten Sie, dass dies eine echte Transformation von ist $x$Vektor: $$x \mapsto \beta x,$$ Wo $\beta$wird jetzt als linearer Operator (und nicht als Übergangsmatrix) betrachtet. Was wir jetzt normalerweise suchen, ist Kovarianz: seit $Ox$auch ein Vektor ist, möchten wir ihn entsprechend transformieren, $$Ox \mapsto \beta Ox .$$ Diese Forderung zwingt uns zur Transformation $O$entsprechend, $$O \mapsto \beta O \beta^{-1} .$$

Beachten Sie, dass diese beiden Sichtweisen auf Transformationsgesetze dual zueinander sind. In einem Fall ist die Menge aller möglichen Transformationen eine Menge aller nicht singulären Matrizen und im anderen Fall eine Menge aller nicht singulären linearen Operatoren. Natürlich sind Matrizen nur Komponenten in irgendeiner Basis von linearen Operatoren. Dieses Thema ist in der Mathematik ziemlich universell und von großer Bedeutung.