Interpretation von Rang-2-Spinoren

Question

Interpretation von Rang-2-Spinoren

Physik
Spinoren
Tensorkalkül
Spezielle Relativität
Repräsentationstheorie

jak

Bei der Inspektion der $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ Darstellung der Lorentz-Gruppe und Definition eines rechtshändigen Spinors mit oberem gepunktetem Index und eines linkshändigen Spinors mit unterem undottiertem Index und daher

v_{B}^{\dot{A}} = v^{v} σ_{B v}^{\dot{A}} = (\begin{matrix} v_{1} + ich v_{2} & - (v_{0} + v_{3}) \\ v_{0} - v_{3} & - (v_{1} - ich v_{2}) \end{matrix})

$v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_1+iv_2&-(v_0+v_3) \\v_0-v_3&-(v_1-iv_2) \end{pmatrix}$ Und

v^{\dot{A} B} = ϵ^{B C} v_{C}^{\dot{A}}

$v^{ \dot{a} b} = \epsilon^{bc} v_c^{\dot{a}}$

mit Spinormetrik

ϵ^{B C} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

$\epsilon^{bc}= \begin{pmatrix} 0&1 \\ -1&0 \end{pmatrix}$

es ist ersichtlich, dass der Spinor Rang 2 $v^{ \dot{a} b}$ hat genau die gleichen Transformationseigenschaften wie ein 4-Vektor $v_{\mu}$ . Aber genauso kann man das zum Beispiel sehen $v^{\dot{a}}_b$ verwandelt sich anders. Gibt es physikalische Interpretationen dieser Objekte? Beschreiben sie bestimmte Partikel (keine Vektorpartikel?)? Jede Hilfe oder Leseempfehlung wäre sehr willkommen.

Trimok

Es ist besser, Standardformalismus zu verwenden, siehe zum Beispiel dieses Papier , Formeln

2.18 \to 2.32

$2.18 \to 2.32$ . Nun die Matrix

ϵ^{b c}

$\epsilon^{bc}$ die Spinprojektion eindeutig invertiert

m

$m$ des undotierten (Spinor-) Teils, zum Beispiel wenn man von Zuständen spricht,

(\pm \frac{1}{2}, + \frac{1}{2}) \to \mp (\mp \frac{1}{2}, + \frac{1}{2})

$( \pm \frac{1}{2}, +\frac{1}{2}) \to \mp ( \mp \frac{1}{2}, +\frac{1}{2})$ .

jak

Danke für deinen Lesetipp, das Papier sieht toll aus. In Gl. 2.32 der Arbeit wird die explizite Verbindung zwischen 4-Vektoren und Bi-Spinoren hergestellt. Was mir unklar ist, ist, warum diese bestimmte Wahl getroffen werden muss und was eine andere Wahl zum Beispiel bedeutet

v_{b}^{\dot{a}} = v^{ν} σ_{b ν}^{\dot{a}} = (\begin{matrix} v_{0} + v_{3} & v_{1} - i v_{2} \\ v_{1} + i v_{2} & v_{0} - v_{3} \end{matrix})

$v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ beschreiben?

Trimok

Ich denke, dass die Idee zum Beispiel beim Betrachten von Gleichungen

2.30

$2.30$ , ist, dass "Matrizen" haben

2

$2$ Indizes auf dem gleichen Niveau (oben oder unten). Nun, Sie könnten Ihre eigenen Konventionen wählen, solange der gesamte Formalismus kohärent ist, aber es ist besser, den Standardregeln zu folgen, die mehr oder weniger in wissenschaftlichen Arbeiten verwendet werden.

jak

Das klingt logisch, aber soweit ich sehen kann, haben die Transformationsmatrizen immer einen Index nach oben und einen Index nach unten, und das widerspricht irgendwie der Konvention. Siehe zum Beispiel in der Zeile darunter 2.18.

Trimok

Ja, aber diese Matrizen haben Raumzeit-(Vektor-)Indizes, keine Spinor-Indizes, also gibt es keinen Widerspruch.

jak

Ich denke, das sind Spinor-Indizes, weil zum Beispiel in der Zeile unter Gl. 2.18 gibt es Punkte auf den Indizes.

Trimok

Ach ja, die

M

$M$ Matrix zwischen

2.17

$2.17$ Und

2.18

$2.18$ . Nun, hier ist es logisch, denn wenn man sich die Spinoren ansieht, auf die diese Matrix wirkt, hat der endgültige Spinor die gleiche Natur wie der anfängliche Spinor, also muss es notwendigerweise einen oberen Index und einen unteren Index geben. Sie haben hier keine Wahl.

Valter Moretti

@JakobH Ich verstehe deine Frage nicht. Oder besser gesagt, ich denke, es könnte diesem ähnlich sein. Wenn

S^{μ}

$S^\mu$ hat eine physikalische Bedeutung, die sich von der von unterscheidet

S_{μ}

$S_\mu$ .Ich glaube nicht, weil die Räume dieser Vektoren aufgrund der Existenz der Metrik kanonisch isomorph sind. Die beiden von Ihnen betrachteten Spinorräume sind ähnlich kanonisch isomorph durch den metrischen Spinor, sodass sie dieselben Informationen enthalten.

jak

Hallo Valter. In den Büchern finde ich Sätze wie: Wenn wir das Objekt definieren

v^{\dot{a} b} = v^{ν} σ_{ν}^{\dot{a} b} = (\begin{matrix} v_{0} + v_{3} & v_{1} - i v_{2} \\ v_{1} + i v_{2} & v_{0} - v_{3} \end{matrix})

$v^{\dot{a}b} = v^{\nu} \sigma_{ \nu}^{\dot{a}b}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ wir sehen, dass die Koeffizienten

v^{ν}

$v^{\nu}$ transformieren wie die eines Vierervektors. Aber warum betrachten wir dieses spezielle Objekt? Wir könnten stattdessen die Identifizierung vornehmen

v_{b}^{\dot{a}} = v^{ν} σ_{b ν}^{\dot{a}} = (\begin{matrix} v_{0} + v_{3} & v_{1} - i v_{2} \\ v_{1} + i v_{2} & v_{0} - v_{3} \end{matrix})

$v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ wo die Koeffizienten

v^{ν}

$v^{\nu}$ nicht wie vier Vektorkoeffizienten transformieren. Warum wird diese Möglichkeit ausgeschlossen?

Valter Moretti

Gut, wenn

S L (2, C) ∋ L \mapsto Λ_{L} \in S O (1, 3)^{+}

$SL(2,C) \ni L \mapsto \Lambda_L \in SO(1,3)^+$ ist die Standardprojektion, für erstere haben wir (wie wir wissen) mit offensichtlichen Notationen:

(Λ_{L} v) = L v L^{†}

$(\Lambda_L v)= LvL^\dagger$ , für letzteres stattdessen

(Λ_{L} v) = L v {\bar{L}}^{- 1}

$(\Lambda_L v)= Lv\overline{L}^{-1}$

jak

Ich stimme dem zu, aber wenn wir die Identifizierung vornehmen

v_{b}^{\dot{a}} = v^{ν} σ_{b ν}^{\dot{a}} = (\begin{matrix} v_{0} + v_{3} & v_{1} - i v_{2} \\ v_{1} + i v_{2} & v_{0} - v_{3} \end{matrix})

$v^{\dot{a}}_b=v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ wir können dies umwandeln

v^{\dot{a} b}

$v^{\dot{a}b}$ mit der Spinormetrik:

v^{\dot{a} b} = ϵ^{b c} v_{c}^{\dot{a}}

$v^{\dot{a} b}= \epsilon^{bc} v_c^{\dot{a}}$ Das gibt

v^{\dot{a} b} = (\begin{matrix} v_{1} + i v_{2} & - (v_{0} + v_{3}) \\ v_{0} - v_{3} & - (v_{1} - i v_{2}) \end{matrix})

$v^{ \dot{a} b}= \begin{pmatrix} v_1+iv_2&-(v_0+v_3)\\v_0-v_3&-(v_1-iv_2) \end{pmatrix}$ was anders ist, als wenn wir die Identifizierung vorgenommen hätten

v^{\dot{a} b} = v^{ν} σ_{ν}^{\dot{a} b}

$v^{\dot{a}b}=v^{\nu} \sigma_{ \nu}^{\dot{a}b}$ . Trotzdem transformieren wir sie mit den gleichen Matrizen und sie geben uns unterschiedliche transformierte Koeffizienten

v_{ν}

$v_\nu$ .

Murod Abdukhakimov

Ich denke, die beste Lektüre zu diesem Thema ist: Laporte, O. und GE Uhlenbeck, Phys. Rev. 37, 1380 (1931). Eine Antwort finden Sie in diesem Papier.

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Interpretation von Rang-2-Spinoren

Es ist besser, Standardformalismus zu verwenden, siehe zum Beispiel dieses Papier , Formeln $2.18 \to 2.32$ . Nun die Matrix $\epsilon^{bc}$ die Spinprojektion eindeutig invertiert $m$ des undotierten (Spinor-) Teils, zum Beispiel wenn man von Zuständen spricht, $( \pm \frac{1}{2}, +\frac{1}{2}) \to \mp ( \mp \frac{1}{2}, +\frac{1}{2})$ .
Danke für deinen Lesetipp, das Papier sieht toll aus. In Gl. 2.32 der Arbeit wird die explizite Verbindung zwischen 4-Vektoren und Bi-Spinoren hergestellt. Was mir unklar ist, ist, warum diese bestimmte Wahl getroffen werden muss und was eine andere Wahl zum Beispiel bedeutet $v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ beschreiben?
Ich denke, dass die Idee zum Beispiel beim Betrachten von Gleichungen $2.30$ , ist, dass "Matrizen" haben $2$ Indizes auf dem gleichen Niveau (oben oder unten). Nun, Sie könnten Ihre eigenen Konventionen wählen, solange der gesamte Formalismus kohärent ist, aber es ist besser, den Standardregeln zu folgen, die mehr oder weniger in wissenschaftlichen Arbeiten verwendet werden.
Das klingt logisch, aber soweit ich sehen kann, haben die Transformationsmatrizen immer einen Index nach oben und einen Index nach unten, und das widerspricht irgendwie der Konvention. Siehe zum Beispiel in der Zeile darunter 2.18.
Ja, aber diese Matrizen haben Raumzeit-(Vektor-)Indizes, keine Spinor-Indizes, also gibt es keinen Widerspruch.
Ich denke, das sind Spinor-Indizes, weil zum Beispiel in der Zeile unter Gl. 2.18 gibt es Punkte auf den Indizes.
Ach ja, die $M$ Matrix zwischen $2.17$ Und $2.18$ . Nun, hier ist es logisch, denn wenn man sich die Spinoren ansieht, auf die diese Matrix wirkt, hat der endgültige Spinor die gleiche Natur wie der anfängliche Spinor, also muss es notwendigerweise einen oberen Index und einen unteren Index geben. Sie haben hier keine Wahl.
@JakobH Ich verstehe deine Frage nicht. Oder besser gesagt, ich denke, es könnte diesem ähnlich sein. Wenn $S^\mu$ hat eine physikalische Bedeutung, die sich von der von unterscheidet $S_\mu$ .Ich glaube nicht, weil die Räume dieser Vektoren aufgrund der Existenz der Metrik kanonisch isomorph sind. Die beiden von Ihnen betrachteten Spinorräume sind ähnlich kanonisch isomorph durch den metrischen Spinor, sodass sie dieselben Informationen enthalten.
Hallo Valter. In den Büchern finde ich Sätze wie: Wenn wir das Objekt definieren $v^{\dot{a}b} = v^{\nu} \sigma_{ \nu}^{\dot{a}b}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ wir sehen, dass die Koeffizienten $v^{\nu}$ transformieren wie die eines Vierervektors. Aber warum betrachten wir dieses spezielle Objekt? Wir könnten stattdessen die Identifizierung vornehmen $v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ wo die Koeffizienten $v^{\nu}$ nicht wie vier Vektorkoeffizienten transformieren. Warum wird diese Möglichkeit ausgeschlossen?
Gut, wenn $SL(2,C) \ni L \mapsto \Lambda_L \in SO(1,3)^+$ ist die Standardprojektion, für erstere haben wir (wie wir wissen) mit offensichtlichen Notationen: $(\Lambda_L v)= LvL^\dagger$ , für letzteres stattdessen $(\Lambda_L v)= Lv\overline{L}^{-1}$
Ich stimme dem zu, aber wenn wir die Identifizierung vornehmen $v^{\dot{a}}_b=v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ wir können dies umwandeln $v^{\dot{a}b}$ mit der Spinormetrik: $v^{\dot{a} b}= \epsilon^{bc} v_c^{\dot{a}}$ Das gibt $v^{ \dot{a} b}= \begin{pmatrix} v_1+iv_2&-(v_0+v_3)\\v_0-v_3&-(v_1-iv_2) \end{pmatrix}$ was anders ist, als wenn wir die Identifizierung vorgenommen hätten $v^{\dot{a}b}=v^{\nu} \sigma_{ \nu}^{\dot{a}b}$ . Trotzdem transformieren wir sie mit den gleichen Matrizen und sie geben uns unterschiedliche transformierte Koeffizienten $v_\nu$ .
Ich denke, die beste Lektüre zu diesem Thema ist: Laporte, O. und GE Uhlenbeck, Phys. Rev. 37, 1380 (1931). Eine Antwort finden Sie in diesem Papier.

JeffDror · Answer 1

Die Lorentz-Gruppe ist der Satz von Matrizen, die das Punktprodukt aus vier Vektoren erhalten.

$v^2 = v_0^2 - v_1^2 - v _2 ^2 - v _3 ^2$

Beide $v ^\mu$ Und $v ^{ \alpha \dot{\alpha} } \equiv v ^ {\mu} (\sigma_\mu) ^{ \alpha \dot{\alpha} }$ Transformation unter der Lorentz-Gruppe. Sie verwandeln sich einfach unter einer anderen Darstellung (aber immer noch unter derselben Transformation!).

Darüber hinaus gibt es eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen jedem Vektor $v ^\mu$ Und $v ^{ \alpha \dot{\alpha} }$ . So können Sie immer wählen, ob Sie in der einen oder der anderen Darstellung arbeiten möchten.

Beachten Sie, dass der einzige wichtige Unterschied zwischen den beiden Darstellungen darin besteht, dass für jede Boost-Matrix z $v ^\mu$ , $\Lambda ^{ \mu } _\nu$ , gibt es zwei äquivalente Verstärkungsmatrizen für $v ^{ \alpha \dot{\alpha} }$ , $N _{\alpha \beta}$ . Es stellt sich heraus, dass dies einige der Unannehmlichkeiten behebt, die mit der fundamentalen (vier Vektoren) Lorentz-Gruppendarstellung verbunden sind.

Zum Beispiel, wenn Sie einen Vier-Vektor haben und ihn in eine bestimmte Richtung verstärken möchten. Sie können die Matrix finden $\Lambda ^\mu_\nu$ und multiplizieren $v ^\mu$ als

$v' ^\mu = \Lambda _\nu ^\mu v ^\nu$

oder Sie könnten die Matrix finden $N _{\alpha \beta }$ und wende es auf den Spinor Rang 2 an:

$v' _{\alpha \dot{\alpha}} = N _\alpha ^ \beta v _{\beta \dot{\gamma}} N ^{\ast \, \dot{\gamma}} _{\dot{\alpha}}$

Beide Methoden sind gleichwertig.

Danke für deine Antwort. Obwohl ich allem, was Sie sagen, zustimme, ist mir immer noch etwas unklar. Es macht einen Unterschied im Transformationsverhalten von $v^{\nu}$ wenn ich wähle $v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ oder wenn ich wähle $v^{\dot{a}b} = v^{\nu} \sigma_{ \nu}^{\dot{a}b}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ als meine erste Definition (ich denke, das entspricht in gewisser Weise der Wahl einer Basis). Ich verstehe nicht, was die verschiedenen transformierenden Objekte beschreiben.
Normalerweise definieren wir die Indizes $\alpha, \dot{\alpha}$ so dass $v ^{\alpha \dot{\alpha}} = (\sigma ^{\mu} v _\mu) ^{\alpha \dot{\alpha}}$ . Dies führt zu einer besonderen Form der Transformationsmatrizen. Wenn Sie jedoch die Transformationsmatrix für $v ^{\alpha \dot{\alpha}}$ kannst du ganz einfach ausrechnen $v ^{\alpha}_{ \dot{\alpha}}$ durch Anwendung des Levi-Cevita-Tensors. Das anders transformierende Objekt beschreibt einen Schub oder eine Rotation im Raum.
Ich habe die gleichen Definitionen für die Indizes vorgenommen, also $v ^{\alpha \dot{\alpha}} = (\sigma ^{\mu} v _\mu) ^{\alpha \dot{\alpha}}$ liefert die richtigen Transformationen für die Koeffizienten $v_{\nu}$ . Sie transformieren sich wie die Koeffizienten eines 4-Vektors. Trotzdem wählen $v ^{\alpha \dot{\alpha}} = (\sigma ^{\mu} v _\mu) ^{\alpha \dot{\alpha}}$ erscheint mir etwas unmotiviert. Mit denselben Definitionen für die Indizes kann ich ein anderes Objekt definieren $v' ^{\alpha}_{ \dot{\alpha}} = (\sigma ^{\mu} v' _\mu) ^{\alpha}_{ \dot{\alpha}}$ das verwandelt sich ganz anders. Was beschreibt dieses Objekt?
Sicher. Sie können eine andere Konvention zuweisen. Aber das wird auch die Konvention Ihrer Transformationsmatrizen ändern. Wenn Sie also am Ende zurück zur Vier-Vektor-Form wechseln, erhalten Sie immer noch denselben transformierten Vektor $v_ \mu '$ . Die Position der Indizes ist nicht heilig. Wichtig ist nur, dass Sie konsequent sind.
Ich meine nicht eine andere Konvention. Ich meine, in einer Konvention zu bleiben und nachzusehen $v ^{\alpha \dot{\alpha}} = (\sigma ^{\mu} v _\mu) ^{\alpha \dot{\alpha}}$ Ich schaue mir an, wie $v' ^{\alpha}_{ \dot{\alpha}} = (\sigma ^{\mu} v' _\mu) ^{\alpha}_{ \dot{\alpha}}$ transformiert. Die Koeffizienten $v' _\mu$ transformieren sich nicht wie die Indizes eines Vierervektors. Die Definitionen, die wir machen, sind soweit ich verstehe, für Spinor-Indizes, dh die Position von rechtshändigen und linkshändigen Spinor-Indizes. Mit anderen Worten: Was fixiert mich auf die erste Wahl?

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