Welche Rolle spielt der FμνFμνF_{\mu\nu}-Tensor in der QED?

Auch in der klassischen Elektrodynamik sollte man bei der Formulierung der Theorie als Wirkprinzip die Wirkung in Begriffen von schreiben$A$. Andernfalls können Sie die Maxwell-Gleichungen nicht wiederherstellen. Mit einer Aktion$\sim F^2$, Wenn$F$ist das Feld, in Bezug auf das wir die Variation der Aktion vornehmen sollten, für das wir nur Zeitgleichungen nullter Ordnung erhalten können$F$, was wegen Maxwells Korrektur des Ampere-Gesetzes offensichtlich absurd ist,$\nabla \times \mathbf B = \mathbf j + \partial_t \mathbf E$-- Erstbestellung rechtzeitig.

Wir können auch nicht kommen$\nabla\cdot\mathbf B = 0$oder$\partial_t \mathbf B = - \nabla \times \mathbf E$ohne sie als Einschränkungen zum Lagrange hinzuzufügen, sondern weil diese Einschränkungen genau sind$dF = 0$, das ist dasselbe wie deklarieren$F = dA$auf kontrahierbaren Teilmengen.

Nun die Verwandlung$A \mapsto A + d\phi$wird Eichtransformation genannt.$F$und daher die Aktion$\sim F^2$ist invariant unter Eichtransformationen, also brauchen wir eigentlich nicht , dass ein globales Eichpotential existiert. Einer existiert auf jeder kontrahierbaren Teilmenge, wenn die Domänen von$A_1$Und$A_2$Überlappung, dann auf der Überlappung$A_1$Und$A_2$sind Eichtransformationen voneinander, und es spielt keine Rolle, welche wir verwenden.

Wir können dies durch die Verwendung von Faserbündeln zu einer besseren Formulierung der Elektrodynamik "heben". Aus dieser Sicht gibt es nur ein Eichpotential, aber es lebt von einem "Hauptbündel" über die Raumzeit. Die Lagrange-Funktion ist dann eine Funktion aus diesem Bündel. Indem wir einen "Abschnitt" des Bündels auswählen, erhalten wir das Potenzial in einem bestimmten Messgerät als Objekt in der Raumzeit, aber aus topologischen Gründen ist nicht garantiert, dass solche Abschnitte global existieren.

Der genaue Weg, dies zu tun, erfordert mehr oder weniger eine buchlange Behandlung. Kann ich empfehlen

• Baez und Muniain, Eichfelder, Knoten und Schwerkraft .
• Naber, Topologie, Geometrie und Eichfelder , 2 Bde.

mit einem Hintergrund in Differentialgeometrie aus z.

• Lee, Mannigfaltigkeiten und Differentialgeometrie

Vielleicht finden Sie auch nützliches Material in

• Penrose, Der Weg zur Realität .
• Nakahara, Geometrie, Topologie und Physik (Ich mochte dieses Buch nicht besonders, aber viele Leute erwähnen es...)

Also zur ersten Frage, warum$A_\bullet$so verdammt fundamental in der Quantenmechanik? , das liegt daran, dass der Impuls in QM so verdammt grundlegend ist, und der QED-Lagrange gibt an, dass der kanonische Impuls notwendigerweise ein gewisses Vektorpotential enthält.

Der vielleicht offensichtlichste Ort, an dem dies einen echten Quanteneffekt hervorruft, sind sogenannte AB-Ringe ("Aharonov-Bohm"-Ringe). Ein AB-Ring ist einfach ein Pfad, den ein Elektron durchlaufen kann, der als ringförmiger Pfad geformt ist, aber auch mit zwei am Ring hinzugefügten Anschlüssen: einem Eingang und einem Ausgang, für die wir die Übertragungsamplitude wissen möchten . Wir können jeden dieser Eingangs- und Ausgangsknoten mit einer Streumatrix beschreiben, ähnlich wie bei einem Strahlteiler; aber für die "Arme", die sich um den Kreis bewegen, wird das Vektorpotential extrem wichtig, weil es jedem Arm eine quantenmechanische Phase hinzufügt. Wir können etwas von dieser Phase abziehen, aber was wir absolut nicht entfernen können, ist die Quantenphase, die durch das Durchlaufen des gesamten Kreises hinzugefügt wird: Diese ist proportional zum Fluss des Feldes durch die Schleife.

Hier ist das Ergebnis: Durch Abstimmung dieses Vektorpotentials sehen wir Interferenzeffekte aufgrund der Modulation der Phasen dieser beiden Arme durch das Vektorpotential, selbst wenn das Magnetfeld auf der tatsächlichen Schleife konstant auf Null gehalten wird . Und deshalb wird dieses Vektorpotentialfeld jetzt in gewisser Weise auch als sehr "fundamental" angesehen: Diese Beschreibung ist viel einfacher, wenn Sie dies anerkennen$A_{\bullet}$als wenn Sie versuchen, es aus a herauszuarbeiten$F_{\bullet\bullet}$-zentrische Perspektive.

Ein weiterer Punkt, der in den anderen beiden guten Antworten nicht angesprochen wurde, ist, dass die von Ihnen genannte Spurtransformation erfolgt$F$körperlicher als$A$ist tatsächlich ein wesentlicher Bestandteil bei der Herstellung von Quantenfeldtheorien (QFT). Das einfachste Beispiel ist die Quantenelektrodynamik (QED). Beginnen wir mit der Lagrange-Funktion für ein freies Fermion-Massenfeld$m$(Die$\gamma_\mu$'s sind vier Matrizen, die auf den Spinor einwirken$\psi$und sein Konjugat$\bar{\psi}$und Einstein-Summierung wird durchgehend verwendet).

$$L_F = \bar{\psi}(i\gamma_\mu\partial^\mu-m)\psi$$

Eine Verwandlung$\psi(x)\to e^{-iq\Lambda}\psi(x)$, mit einer Konstante$\Lambda$, verlässt die Lagrange-Invariante, as$\bar{\psi}(x)\to e^{iq\Lambda}\psi(x)$. Sie erkennen sofort, dass diese Transformationen eine Gruppendarstellung von sind$U(1)$. Aber das Rezept, das sich zum Schreiben von QFT-Lagrangian als nützlich erwiesen hat, besteht darin, eine lokale Eichsymmetrie zu fordern, dh Invarianz unter$\psi(x)\to e^{-iq\Lambda(x)}\psi(x)$.

$L_F$ist unter dieser lokalen Eichsymmetrie jedoch nicht invariant:

$$L_F \to L_F -iq\bar{\psi}(\gamma_\mu\partial^\mu\Lambda)\psi$$

Aber wenn wir dann die Wechselwirkung zwischen dem fermionischen Feld und dem elektromagnetischen Feld hinzufügen,

$$L_I = -q\bar{\psi}\gamma_\mu\psi\,A^\mu,$$

Es sollte offensichtlich sein, dass der Begriff$-iq\bar{\psi}(\gamma_\mu\partial^\mu\Lambda)\psi$kann durch eine Spurweitentransformation aufgehoben werden$A^\mu$:

$$A^\mu\to A^\mu+\partial^\mu\Lambda$$

Moral: die Messgerät-Transformation von$A$spielt eine entscheidende Rolle bei der QED. Komplexere Spurtransformationen von$\psi$, Darstellungen von Gruppen komplexer als$U(1)$sind die Grundlage des Standardmodells. Zum Beispiel,$SU(3)$für QCD. Und eine obskure Darstellung von$SU(2)\times U(1)$für die elektroschwache Theorie. Nebenbei gesagt, in diesem letzten Fall würde ein expliziter Massenterm für das Fermion die lokale Eichinvarianz brechen, also müsste ich das weglassen und den Higgs-Mechanismus einbringen, aber das ist eine andere Geschichte, die ich nur einbringe, damit ich es nicht tue ' keine Unwahrheiten verbreiten!

"...warum in QED das wichtige Objekt zu sein scheint$A$?..."

Das ist wahr, und der Grund dafür ist, dass statische EM-Wechselwirkungen haben$1/r^2$Verhalten als$r$geht ins Unendliche. Wirklich, die Aussage bedeutet, dass der Verbreiter der EM Wechselwirkung haben muss$1/p^{2}$Form, die (unter Berücksichtigung zweier Polarisationen und Abstoßung gleichnamiger Ladungen) nur durch ein masseloses vektorartiges Feld beschrieben werden kann. Der$F_{\mu\nu}$Tensor würde ein anderes Verhalten des statischen Potentials ergeben.

„… Was in diesem Fall letztendlich die Rolle von ist$F$im QED?..."

1)$A_{\mu}$als Lorentz 4-Vektor ist völlig unphysikalisch (mit Ausnahme einiger Situationen), und das nicht nur wegen der Eichvarianz. Ein wichtigerer Grund ist, dass es keine Teilchen darstellen kann, die mathematisch als irreduzible Darstellungen der Poincare-Gruppe mit Nullmasse definiert sind. Dies ist entscheidend, solange die Poincare-Symmetrie als die Symmetrie unserer Welt angesehen wird. Das wahre Poincare-kovariante Feld, das Photonen darstellt, ist$F_{\mu\nu}$.

2) QED basiert wie die klassische ED auf der Eichsymmetrie (was in der Quantentheorie eher die Eichredundanz ist, aber das ist im Moment nicht wichtig). Daher werden alle beobachteten Größen in Abhängigkeit vom EM-Feld immer in Bezug auf ausgedrückt$F_{\mu\nu}$. Insbesondere wenn wir von der komplizierten Eichtheorie ausgehen$F_{\mu\nu}$, Materiefelder u$A_{\mu}$sich selbst, und dann heraus Materiefelder integrieren, wird die resultierende wirksame Aktion nur enthalten$F_{\mu\nu}$.

Die Rolle von besteht darin, die Maxwell-Gleichung in vier Dimensionen zu schreiben, Sie sind jetzt der Vierer-Vektor von Energie-Impuls$P^{\mu}$, so betrachten wir den Vierervektor des Potentials$A^{\mu} = (\phi, \textbf{A})$, Die Quantität$A$wird als Vektorpotential oder Eichfeld bezeichnet. Dabei ist die Feldstärke definiert durch:\$F^{\mu\nu} = \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu}$

Die Maxwell-Gleichungen können in Form des antisymmetrischen Tensors geschrieben werden$F^{\mu\nu}$definiert von:\$F^{\mu\nu} = \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu} =$ $\begin{pmatrix} 0 & - E_{x} & - E_{y} & - E_{z}\\ E_{x} & 0 & - B_{z} & B_{y}\\ E_{y} & B_{z} & 0 & -B_{x}\\ E_{z} & -B_{y} & B_{x} & 0\\ \end{pmatrix}$\ Es ist offensichtlich, dass das elektromagnetische Feld ein Tensorfeld ist. \ Daher finden wir:

$$\begin{equation} F_{0i} = \partial_{O}A_{i} - \partial_{i}A_{0} = \frac{\partial A_{i}}{\partial t} +\partial_{i}\phi = E_{i} \end{equation}$$ $$\begin{equation} F_{ij} = \partial_{i}A_{j} - \partial_{j}A_{i} = \varepsilon_{ijk}(\nabla \times A) = \varepsilon_{ijk}B_{k} \end{equation}$$ \ Ex:\ $$\begin{equation} F^{01} = \frac{\partial A^{1}}{\partial x_{0}} - \frac{\partial A^{0}}{\partial x_{1}} = - E_{x} \end{equation}$$ Als dieses Beispiel können Sie alle Maxwelle-Gleichungen umschreiben. Wir können Bewegungsgleichungen auch schreiben durch: Die Bewegungsgleichungen, die aus Lagrange folgen $$\begin{equation} L = - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \end{equation}$$ die wir erwähnt haben sind:\ $$\begin{equation} \partial_{\mu}(\frac{\partial L}{\partial(\partial_{\mu} A_{\nu})}) = - \partial_{\mu}F^{\mu\nu} = 0. \end{equation}$$ $A$ergibt sich aus einer Korrektur der Maxwell-Gleichungen in der Form: $$\begin{equation} B = \nabla \times A \end{equation}$$ Und $$\begin{equation} E = - \nabla \phi - \frac{\partial A}{\partial t} \end{equation}$$ $$\begin{equation} L_{QED} = \bar{\psi}[\gamma^{\mu}(i\partial_{\mu} - qA_{\mu}) - m]\psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - J^{\mu}A_{\mu} \end{equation}$$

Sie verwechseln "physisch" im Sinne von "eichinvariant" mit kanonisch (d.h. die$q$in der Euler-Lagrange-Gleichung). Während$F$ist unveränderlich,$A$ist kanonisch. Wir brauchen eine$F^2$Begriff in der Aktion, weil ohne Ableitungen von$A$sein Impuls verschwindet und wir können keinen interessanten Hamiltonschen Formalismus formulieren.

Es ist nicht verwunderlich, dass wir das kanonische Feld mit einer aktionserhaltenden Transformation ändern können, wenn Sie etwas über kanonische Transformationen in der klassischen Mechanik wissen. Es ist auch nicht verwunderlich, dass wir eine Dynamik brauchen$A$-Feld, da ohne eine On-Shell-Steuerung dessen, wie es variiert, die Messgerättransformation nicht funktioniert. Was ich damit meine, ist, dass wir es nicht sehr gut sagen können$A$ist eine von Hand eingegebene Konstante, da willkürliche Eichtransformationen diese nicht erhalten.