Anomalien und bestimmende Bündelkrümmung

Ein randvoll gepacktes Standardwerk mit weiteren Hinweisen auf alles, was Sie schon immer über Anomalien wissen wollten, ist „Anomalies in Quantum Field Theory“ von Bertlmann. Dieses spezielle Thema ist dort Teil des Kapitels 11. Ich werde die Hauptpunkte hervorheben, aber dies ist ein technisches Thema, für das Sie zu den Referenzen gehen und alle zahlreichen Schritte in den Ableitungen befolgen müssen, um sie zu verstehen:

Die Beziehung zwischen einer Eichanomalie und einem Determinantenbündel entsteht, wenn man erkennt, dass der Eichanomalieterm durch eine bestimmte Determinante berechnet werden kann, beispielsweise nach der Methode von Fujikawa. Diese besondere Konstruktion ist Alvarez-Gaumé und Ginsparg zu verdanken. Man definiert eine "Quadratwurzel"$\hat{D}$des Dirac-Operators$D$als

$$\hat{D} = \gamma^\mu \left(\partial_\mu + A_\mu P_+\right)$$ Wo $P_+$projiziert auf Fermionen mit positiver Chiralität. Die Zustandssumme eines Dirac-Fermions $\psi$mit Aktion $\int\bar\psi\mathrm{i}\hat{D}\psi$ist durch die funktionale Determinante von gegeben $\mathrm{i}D$. Anomalie des Wegintegralmaßes unter einer Eichtransformation bedeutet Nicht-Invarianz dieser Determinante und ermöglicht es einem, die Anomalie aufgrund eines Weyl-Fermions mit positiver Chiralität zu berechnen.

Das relevante Determinantenbündel lebt auf einem Unterraum (genauer gesagt einer Zweier-Sphäre) des Verbindungsraumes$\mathcal{A}$Modulo-Eichtransformationen, die im Unendlichen verschwinden$\mathcal{G}_0$. Wenn die Determinante von$\hat{D}$, die eine Funktion von ist$A$, Eichvariant ist, dann kann es keine wohldefinierte globale Funktion sein$\mathcal{A}/\mathcal{G}_0$- Das Vorhandensein einer Anomalie wird somit dadurch erkannt, dass dieses Determinantenbündel nicht-trivial ist, dh globale Abschnitte fehlen.