TQFT ordnet einer Mannigfaltigkeit eine Kategorie zu

Hier sind vielleicht drei verschiedene Stadien zu unterscheiden und zu verstehen:

Erstens: Vielleicht ist ein Teil der Frage, warum ein$n$-dimensionale QFT sollte geschlossenen Zahlen zuweisen$n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten und geschlossene Vektorräume$(n-1)$-dimensionale Mannigfaltigkeiten. Darauf hatte ich in dieser anderen oben verlinkten Diskussion geantwortet : Die zugewiesenen Vektorräume sind nur die Räume von Quantenzuständen, die einem räumlichen Hyperslice der Raumzeit zugewiesen sind, die Zahlen, die geschlossen zugewiesen sind$n$-dimensionalen Stücken von Raumzeiten sind die Zustandssummenfunktionen und allgemein die linearen Abbildungen zugeordnet$n$-dimensionale Teile der Raumzeit mit Rand sind die Quantenpropagatoren (die Korrelatoren, die S-Matrix ), die die ankommenden Zustände zu den abgehenden Zuständen fortpflanzen.

Zweitens: Die Frage ist, warum man diese Zuweisung ("QFT vom Atiyah-Segal-Typ") zu etwas verfeinern möchte, das auch Daten zuweist$(n-k)$-dimensionale Stücke der Raumzeit, für alle$0 \leq k \leq n$. Die Antwort darauf ist, dass damit das in der Physik als „Problem der kovarianten Quantisierung“ bekannte Problem gelöst wird. Das Zuordnen von Vektorräumen von Zuständen zu räumlichen Hyperslices a priori bedeutet nämlich, die Diffeomorphismus-Invarianz der Feldtheorie zu brechen, schließlich geht es darum, diese räumlichen Hyperslices auszuwählen und ihnen Daten auf eine Weise zuzuweisen, die kein vorheriger kovarianter Aufbau ist.

Der ganze Sinn der „ erweiterten TQFT “ besteht darin, dieses „Problem der kovarianten Quantisierung der Feldtheorie“ zu lösen, indem sie erzwingt, dass die Räume von Quantenzuständen, die räumlichen Codimeninson-1-Hyperscheiben zugeordnet sind, aus dem Zusammenfügen lokaler Daten entstehen. Es ist das Lokalitätsprinzip der Quantenfeldtheorie, wonach jede globale Zuordnung aus dem Zusammenkleben lokaler Zuordnungen rekonstruierbar sein muss.

Mathematisch kommen hier höhere Kategorien ins Spiel: Wo die gewöhnliche Kategorie der Vektorräume über Vektorräume und lineare Abbildungen zwischen ihnen Bescheid weiß, also über die Daten von Räumen von Quantenzuständen und von Propagatoren zwischen ihnen, würde auch eine n-kategorische Verfeinerung davon erfolgen wissen, wie man Räume aus Quantenzuständen baut (die dann von Objekten zu befördert werden$(n-1)$-Morphismen) aus lokalen Daten (nämlich durch Composing$(n-1)$-Morphismen entlang$(n-2)$-Morphismen).

Zusammenfassend also: Der Grund für den Übergang von QFT im Atiyah-Segal-Stil, die die Zuordnung von Räumen von Quantenzuständen zu räumlichen Hyperoberflächen und von linearen Quantenpropagatorkarten zwischen ihnen zu Teilen der Raumzeit formalisiert, zu höherer kategorialer erweiterter QFT ist die vollständige Implementierung des Lokalitätsprinzips der Quantenfeldtheorie in den Axiomen.

Der Höhepunkt dieser Axiomatik ist das Kobordismus-Theorem , das alle vollständig lokalen ("erweiterten") TQFTs auf rigorose Weise vollständig klassifiziert.

drittens : die frage ist dann endlich: ob an$n$-dimensionale volllokale (topologische) Quantenfeldtheorie ist also ein n-Funktor$Bord_n \to \mathcal{C}$von der n-Kategorie von Kobordismen zu einer n-Kategorie $\mathcal{C}$was in seinen zwei Graden der oberen Dimension wie Vektorräume mit linearen Karten dazwischen aussieht, dann: was sollte$\mathcal{C}$sein wie in niedrigeren Graden?

Dies ist eigentlich eine Frage der laufenden Ermittlungen. Das Kobordismus-Theorem selbst erlaubt jede n-Kategorie mit allen Dualen , aber viele davon werden tatsächlich nicht "sehr physisch aussehen".

In jedem Fall ist dies der Punkt, der hier zu beachten ist$\mathcal{C}$ist eine Wahl . Es kann – muss aber nicht – wie oben in der Frage vorgeschlagen aussehen. So sieht es tendenziell für 3D-TQFT des Chern-Simons-Theorietyps aus . Das stärkste Theorem in dieser Richtung ist jetzt wahrscheinlich Douglas & Schommer-Pries & Snyder 13 . Siehe dort für mehr.

Ich kann den Teil der Kategorientheorie nicht kommentieren, aber die Ideen bezüglich „Zahlen“ zu einer 3-Mannigfaltigkeit und Vektorräumen zu Riemann-Oberflächen ergeben sich ganz natürlich in der Gromov-Witten-Theorie (siehe hier: http://www.math.harvard.edu /~jbland/ma273x_notes.pdf für eine schöne Einführung).

Das heuristische Rezept (physikalische Erklärung) lautet wie folgt: Man nehme eine geschlossene symplektische Mannigfaltigkeit (wie man es in TQFT tut).$\Omega$. Betrachten Sie Karten von Riemannschen Gattungsflächen$g$:$R_{g}$, zu einem glatten Raum aus gebaut$\Omega$(Wie die Grassmannsche$\mathbf{G}$). Sie können sich jetzt den Moduli-Stapel all dieser Karten ansehen (dh die Sammlung pseudoholomorpher Kurven$\psi$aus$R_{g}$Zu$\mathbf{G}$einige Bedingungen erfüllen, nennen Sie dies$\mathcal{M}$). Dieser Modulstapel$\mathcal{M}$eine Klassenkörpertheorie zulässt, dh einige Äquivalenzrelationen enthält$[Z,\tilde~]$das sagt Ihnen, wenn zwei Kurven äquivalent sind. Dies ist wichtig, da Riemann-Oberflächen einige seltsame Verhaltensweisen aufweisen. Wenn Sie sich jemals mit Zweigschnitten und anderen Dingen befasst haben, werden Sie wissen, was ich meine. Das heißt, angesichts verschiedener$g$Sie können Entartungen zwischen ihnen haben.

Dann untersucht man die Schnittmengentheorie auf diesem Modulstapel und zählt die Anzahl der pseudoholomorphen Kurven, die einigen Beziehungen modulo der Äquivalenzbeziehung gehorchen$\tilde~$. Die Schnittmengentheorie selbst erzeugt numerische Invarianten, die nützlich sind, um die topologische Natur der Mannigfaltigkeit zu beschreiben$\Omega$. Diese Ideen erinnern sehr an die Ideen der de-Rham-Kohomologie, die differenzielle Formen auf der Mannigfaltigkeit untersuchen$\Omega$seine Topologie besser zu verstehen. Dies ist ein sehr wichtiges Konzept in TQFT, da man genau wissen möchte, wie „einzigartig“ oder anders ihre vielfältige Struktur ist. Berechnung dieser Invarianten unter Verwendung von Integralen über$\mathbf{G}$grundsätzlich möglich.

Beispielsweise kann man sich in der Stringtheorie vorstellen, dass sich die Strings verschiedener Art zu verschiedenen topologischen Strukturen zusammenschließen können, die in größerem Maßstab die verschiedenen Arten von Teilchen darstellen, die wir beobachten. Um alle möglichen Konfigurationen genau zu beschreiben, wie sich diese Saiten verbinden, ist es notwendig, diese Gromov-Witten-Invarianten zu analysieren, um die interne Konsistenz aufrechtzuerhalten (dh Sie können kein Teilchen haben, das zwei unterschiedliche Energieniveaus im Grundzustand hat).

Ich bin mir nicht sicher, ob das überhaupt hilfreich ist, aber ich denke, das Studium der Gromov-Witten-Invarianten (oder Donaldson-Thomas usw.) ist das, wonach Sie hier suchen (siehe hier: http://ncatlab.org/nlab/show/Gromov -Witten+Invarianten ebenfalls).

Ich gehe davon aus, dass dies eine Art axiomatische Aussage ist, da die TQFT-Axiome die Assoziation einer Riemann-Fläche beinhalten$\Sigma$zu einem Vektorraum (oder einem Modul)$Z(\Sigma)$, und ein Element$Z(M)\in Z(\partial M)$zu einem Verteiler$M$. Sie enthalten keinen direkten Verweis auf Kategorien. Es hört sich so an, als wären die Kategorien natürliche Erweiterungen der niedrigeren Dimensionen ($d=0$Und$d=1$).