Einfache Erklärung, was ein Torsor ist

Vereinfacht & kurz zusammengefasst:

1. Erinnern Sie sich an den Slogan

   A$G$-torsor ist wie die Gruppe$G$das sein neutrales Element vergessen hat.

2. Beispiel: Ein affines Leerzeichen $A$ist ein Torsor für einen Vektorraum $V$.

3. Der Raum von$U(1)$Gauge-Felder ist ein affiner Raum, während$\Omega^1(X)$ist ein Vektorraum.

Ein Torsor T ist nur eine Algebra, die mit einer ternären Operation a,b,c ∈ T ↦ abc ∈ T ausgestattet ist, so dass abb = a = bba und (abc)de = ab(cde).

Das archetypische Beispiel eines Torsors ist eine Gruppe G, deren Produkt a,b ∈ G ↦ a·b ∈ G und Inverses a ∈ G ↦ a⁻¹ ∈ G die Torsoroperation abc ≡ a·b⁻¹·c ergibt. Diese Operation ist "affin" in dem Sinne, dass sie bezüglich der Multiplikation links und rechts kovariant ist – (g·a·h)(g·b·h)(g·c·h) = g·abc·h; so beseitigt die Struktur den „erstklassigen“ Stellenwert der Gruppenidentität.

Die Gruppenoperationen selbst können aus der ternären Operation zurückgewonnen werden, sobald eine Gruppenidentität e ∈ G spezifiziert wurde, indem a·b ≡ aeb, a⁻¹ ≡ eae definiert wird. Dann ist es eine Routineangelegenheit zu zeigen, dass die Gruppenaxiome aus den Torsoraxiomen folgen.

Beziehungen, die durch dieses Beispiel vorgeschlagen werden, wie diese (ade)(bde)(cde) = (abc)de, (abc)(abd)(abe) = ab(cde), (abe)(ace)(ade) = a (dcb)e, (abc)de = a(dcb)e = ab(cde), lassen sich alle aus den Torsor-Axiomen beweisen.

Die Torsoren, die zu abelschen Gruppen gehören, sind genau die, für die auch die Identität abc = cba gilt. Folglich können diese als abelsche Torsoren bezeichnet werden.

Ein Torsor T enthält auf zweierlei Weise eine natürliche Gruppenstruktur. Erstens kann jedes e ∈ T als die Identität einer Gruppe T_e angenommen werden, deren Operationen wie gerade angegeben definiert sind. Dies könnte man die "Tangentengruppe" nennen, z. Dass sie alle Gruppen sind, bestätigt die gleiche Stellung, die alle Punkte im Torsor haben: dass jeder von ihnen als Gruppenidentität genommen werden kann.

Zweitens kann man auch einen formalen Quotienten a,b ∈ T ↦ a\b ≡ ρ[(a,b)] mit den Äquivalenzklassen bezüglich der aus den Relationen (cba, d) ρ (a,bcd). Dies implementiert die Beziehung cba\d = a\bcd. Die resultierende Algebra δT ≡ (T×T)/ρ ist eine Gruppe mit Produkt (a\b)·(c\d) = cba\d = a\bcd und (also) einer Gruppenidentität gleich a\a für alle a ∈ T, und eine Inverse (a\b)⁻¹ = b\a.

Diese Gruppe wirkt auf den rechten Torsor durch die Wirkung a(b\c) = abc. Sie können dies bestätigen, indem Sie beachten, dass a(b\c)(d\e) = (abc)de = ab(cde) = a(b\cde); während die Wohldefiniertheit der Operation aus a(dcb\e) = a(dcb)e = ab(cde) folgt.

Die Tangentialgruppen T_e, für jedes e ∈ T sind isomorph zueinander und zu δT; mit dem Isomorphismus gegeben durch die Korrespondenzen π_e: a ∈ T_e ↦ e\a ∈ δT, π_e⁻¹: a\b ∈ δT ↦ eab ∈ T_e, die zueinander invers sind. Die Zusammensetzung π_f⁻¹ ∘ π_e: a ∈ T_e ↦ fea ∈ T_f ergibt die Isomorphismen zwischen den jeweiligen Tangentengruppen.

Man kann daher auch von einem Lie-Torsor T als Mannigfaltigkeit sprechen, dessen Torsorbetrieb geeignete Glätteeigenschaften erfüllt. Die Tangentialgruppen und die Gruppenwirkung liefern dann die Struktur eines Hauptbündels auf dem Torsor T mit der Faser δT. Tatsächlich kann die eigentliche Definition von Hauptbündeln (und zugehörigen Bündeln) selbst in einer transparenteren und direkteren Weise in analoger Weise zu dem, was hier getan wurde, wiedergegeben werden.

Ebenfalls verwandt sind affine Geometrien, die zu Vektorräumen die gleiche Beziehung haben wie Torsoren zu Gruppen. Neben der abelschen Torsoroperation a,b,c ∈ A ↦ abc = a - b + c ∈ A einer affinen Geometrie A gibt es noch die "Schwerpunkt"-Operation a,c ∈ A, λ ∈ F ↦ [a ,λ,c] = (1-λ)a + λc ∈ A, wobei F das zugrunde liegende Feld ist.

Um die Torsoreigenschaften und die Struktur eines Vektorraums über dem Feld F für die Fasern A_o wiederzugewinnen, genügt es, für jedes o ∈ A die folgenden Identitäten [a,0,c] = a, [a ,1,c] = c und [a,λν(1-ν),[b,μ,c]] = [[a,λν(1-μ),b],ν,[a,λμ(1- v),c]]; und die Torsoroperation durch abc = [b,1/(1-λ),a],λ,[b,1/λ,c]] für beliebige λ ∈ F - {0,1} ... zu definieren Unabhängigkeit von λ folgt als Folge der anderen Eigenschaften. Dies reicht aus, um affine Geometrien über alle Felder außer den 2- und 3-Element-Feldern zu charakterisieren; die besonders behandelt werden müssen.

Andere, unnötig komplexe und verschleierte Definitionen wurden für Torsoren aufgestellt und werden allgemein verwendet (dasselbe gilt für affine Geometrien sowie für Haupt- und zugehörige Bündel). Es ist eine Routinesache, die Äquivalenz von ihnen jeweils mit dem, was hier beschrieben wurde, festzustellen. Die alternativen Konstruktionen sind meistens unnötig, außer um Ideen, die transparenter entwickelt und ausgedrückt werden können, einige Namen zu geben, wie es gerade hier getan wurde. Vielleicht möchten Sie die Übung ausprobieren, die relevanten Korrespondenzen zu zeichnen, nur um zu sehen, wie sie damit zusammenhängen, und um die darin beschriebenen Ideen zugänglich zu machen.

Es lohnt sich, eine Beobachtung zu wiederholen, die ich zuvor an anderer Stelle zu diesem Thema gemacht habe. Ich weiß nicht, warum Mathematiker ihren Formalismus verschleiern, indem sie sich alle Mühe geben, Dinge auf natürliche, offensichtliche und transparente Weise zu schreiben, wie es hier getan wird. Aber ich denke, ein großer Teil davon ist das, was wir „Arbeitsplatzsicherheit“ nennen. Wie die ägyptischen Schreiber, die ein Monopol auf die Rechtschreibung behielten, indem sie absichtlich ein überarbeitetes System verwendeten, selbst wenn schließlich viel bessere (und leichter lehrbare) Alternativen verfügbar waren (die Sinai-Schrift und das Phönizische), tun sie dies möglicherweise, um das Thema zu intellektualisieren und zu setzen eine intellektuelle Firewall um das Thema, um eine Eintrittsbarriere zu errichten.

Dies ist natürlich nur die Spitze des Eisbergs. Um die meisten anderen Gebiete der Mathematik herum ist eine Schleiermauer errichtet worden, ähnlich wie Sie es hier gerade gesehen haben. Dieses Problem ist tief in der menschlichen Natur verwurzelt und ist natürlich der Grund, warum ich denke, dass die Zeit gekommen ist, das Feld einfach zu automatisieren und den Menschen aus dem Bild zu entfernen.

Genau wie damals, als Logic Theorist ( https://history-computer.com/Library/Logic%20Theorist%20memorandum.pdf ) den dramatisch einfacheren Beweis von Pons Asinorum fand; Die Art von Vereinfachung, die Sie gerade hier gesehen haben, ist das, was Sie als Ergebnis sehen werden. Oder vielleicht ist an diesem Standort bereits ein Framework für die Automatisierung in Betrieb, und ich spreche in der Vergangenheitsform, wobei genau diese Beschreibung ein Produkt dieser Automatisierung ist. :)

Theorem-Beweis der Logik höherer Ordnung
https://www.google.com/search?q=Theorem+Provers+in+Higher+Order+Logic ;
Vollautomatische Theorembeweiser
https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/20050184118.pdf ;
Automatisierte Theorem-Erkennung
https://www.google.com/search?q=Automated+theorem+discovery